王 彭，宋克非，張佩杰，韓振偉，陳 波

(中國科學(xué)院長春光學(xué)精密機(jī)械與物理研究所，吉林長春 130033)

0 引言

壓電執(zhí)行器因其高分辨率、高致動力和高帶寬而被廣泛應(yīng)用于精密定位系統(tǒng)，在掃描顯微鏡、自適應(yīng)光學(xué)、半導(dǎo)體加工等領(lǐng)域有重要的應(yīng)用[1]。這些應(yīng)用領(lǐng)域大多需要較高的工作帶寬和跟蹤精度，然而受到壓電材料固有的蠕變、遲滯特性[2]以及機(jī)電系統(tǒng)的動態(tài)特性影響，動態(tài)跟蹤定位系統(tǒng)工作帶寬和跟蹤精度都受到了很大限制[3]，同時由于蠕變和遲滯的非線性特征，還可能造成閉環(huán)控制系統(tǒng)的不穩(wěn)定，對整個跟蹤定位系統(tǒng)造成破壞性影響。

為了提高跟蹤精度，補(bǔ)償磁滯動態(tài)特性帶來的影響，基于磁滯動態(tài)模型的前饋控制是一種常用的控制方法[4]。前饋控制器設(shè)計需要建立壓電執(zhí)行器的準(zhǔn)確系統(tǒng)模型，然后基于系統(tǒng)的逆模型設(shè)計前饋控制器，從而線性化整個系統(tǒng)的響應(yīng)。因此，在前饋控制器設(shè)計中，準(zhǔn)確構(gòu)建壓電執(zhí)行器系統(tǒng)模型是提高系統(tǒng)跟蹤定位精度的關(guān)鍵。然而，壓電執(zhí)行器系統(tǒng)由線性動態(tài)特性、磁滯和蠕變等特性耦合而成，且線性動態(tài)特性既包含電路的動態(tài)特性，也包含機(jī)械系統(tǒng)的動態(tài)特性，這些部分的耦合造成了系統(tǒng)建模和辨識的困難，目前，對于動態(tài)特性和磁滯特性的耦合多采用分步辨識的方法[5]。磁滯模型是壓電執(zhí)行器系統(tǒng)模型的關(guān)鍵，主要分為兩大類：一類是基于微分方程的磁滯模型，包括Duhem模型、Backlash-like 模型、Boue-Wen模型[6]等；另一類是基于算子的磁滯模型包括Preisach模型、Krasnosel’skii-Pokrovskii(KP)模型、Prandtl-Ishlinskii(PI)模型和Maxwell-Slip模型等[7]。基于算子的磁滯模型能精確描述大小滯環(huán)，且方便求解逆模型，在前饋控制中有較廣泛應(yīng)用。

本文根據(jù)壓電執(zhí)行器的組成，構(gòu)建了系統(tǒng)各部分的模型結(jié)構(gòu)，對系統(tǒng)的電路、機(jī)械和磁滯特性進(jìn)行分離建模和辨識。首先利用方波小信號對系統(tǒng)電路和機(jī)械特性進(jìn)行辨識，得到系統(tǒng)的線性動態(tài)特性，然后利用改進(jìn)的PI磁滯模型對壓電材料的磁滯特性進(jìn)行建模，在線性動態(tài)模型的基礎(chǔ)上對磁滯模型進(jìn)行辨識。最后，以P841.1壓電執(zhí)行器為實驗平臺，對基于改進(jìn)PI模型的磁滯動態(tài)模型進(jìn)行了實驗驗證。

1 壓電執(zhí)行器系統(tǒng)模型

從物理結(jié)構(gòu)上壓電執(zhí)行器系統(tǒng)可以分解為驅(qū)動電路、壓電材料和機(jī)械結(jié)構(gòu)。為了準(zhǔn)確描述系統(tǒng)的動態(tài)特性，系統(tǒng)模型構(gòu)成需要綜合考慮各部分結(jié)構(gòu)的特性。根據(jù)系統(tǒng)的物理組成構(gòu)建了如圖1所示的級聯(lián)模型，其中，電路和機(jī)械結(jié)構(gòu)部分采用線性傳遞函數(shù)表征，壓電材料特性采用基于改進(jìn)PI模型的磁滯模型表征。

圖1 級聯(lián)系統(tǒng)模型

圖1中Ge表示電路的傳遞函數(shù)；H表示壓電陶瓷的磁滯模型；Gm表示機(jī)械結(jié)構(gòu)的傳遞函數(shù)；u為驅(qū)動電路的輸入電壓；ua為驅(qū)動電路的放大輸出電壓；F為壓電材料的輸出力，同時為磁滯特性的輸出；y為壓電執(zhí)行器的最終輸出位移。上述變量中除F為不可測量外，其他量均為可測量。

1.1 驅(qū)動電路模型

壓電材料在電路上可以近似表示為一個電容器，電荷型壓電驅(qū)動電路可以部分克服磁滯和蠕變的影響，但是其電路較復(fù)雜且造價較高，所以現(xiàn)在較為常用的驅(qū)動電路為電壓反饋型放大電路。由于驅(qū)動電路有一定的輸出阻抗，并且壓電負(fù)載為容性負(fù)載，因此，這兩部分構(gòu)成了一階低通電路，如圖 2所示，該模型忽視了直接壓電效應(yīng)。

圖2 驅(qū)動電路及壓電負(fù)載電特性

圖2中R為驅(qū)動電路輸出電阻；C為壓電負(fù)載的等效電容；kamp為驅(qū)動電路放大倍數(shù)。該電路的傳遞函數(shù)形式如式(1)所示。

(1)

1.2 磁滯模型

傳統(tǒng)PI模型是被廣泛應(yīng)用的基于算子的磁滯模型，PI模型利用算子的加權(quán)和以及輸入信號的線性函數(shù)表征磁滯非線性，能夠描述對稱和率無關(guān)的磁滯特性。PI模型的算子主要有兩種：Stop算子和Play算子，本文采用Play算子作為PI模型磁滯算子。Play算子為率無關(guān)算子，即算子的輸出僅取決于當(dāng)前輸入和歷史輸入極值點，而與輸入信號的頻率無關(guān)，同時Play算子也是對稱算子。假設(shè)輸入函數(shù)v(t)在分段子區(qū)間[ti,ti+1]上單調(diào)連續(xù)，則Play算子[8]可以表示為

F[v](0)=fr(v(0),0)
F[v](t)=fr(v(t),Fr[v](ti))

(2)

其中，ti

fr(v,w)=max(v-r,min(v+r,w))

(3)

輸出yp和輸入v(t)的關(guān)系如下

(4)

式中：q為正常數(shù)；p(r)為算子的密度函數(shù)；R通常取到無窮大以保證積分的收斂性；密度函數(shù)可通過實驗數(shù)據(jù)辨識得到。

因為傳統(tǒng)PI算子的對稱性，所以傳統(tǒng)PI模型只能表征對稱的磁滯模型，然而壓電材料的磁滯特性是非對稱的，因此，很多學(xué)者提出了改進(jìn)的PI模型以表征壓電材料的非對稱特性[9-10]。在文獻(xiàn)[4]的基礎(chǔ)上提出了一種改進(jìn)的PI模型，其基礎(chǔ)算子如式(5)和式(6)所示，改進(jìn)的PI基礎(chǔ)算子增加了參數(shù)η，使基礎(chǔ)算子擁有了非對稱特性，可以表征非對稱磁滯模型。

Fmr[v](0)=fmr(v(0),0)
Fmr[v](t)=fmr(v(t),Fr[v](ti))

(5)

其中，ti

fmr(v,w)=max(v-r,min(v+ηr,ω))

(6)

(7)

改進(jìn)PI模型的輸出ym和輸入v(t)的關(guān)系如式(7)所示，與傳統(tǒng)PI模型相比，模型的第一項從輸入函數(shù)的一次函數(shù)，修改為輸入的多項式函數(shù)g(v(t))，為表征非對稱磁滯現(xiàn)象提供了基礎(chǔ)。多項式函數(shù)的選取不是唯一的，后文中采用了輸入的三次多項式函數(shù)。改進(jìn)PI模型可以表征非對稱磁滯現(xiàn)象，考慮到壓電材料磁滯現(xiàn)象的非對稱性，改進(jìn)PI模型可以更好地描述壓電的磁滯特性。

1.3 執(zhí)行器動態(tài)模型

壓電執(zhí)行器的機(jī)械結(jié)構(gòu)部分可以簡化為質(zhì)量-彈簧-阻尼模型，如圖3所示。根據(jù)壓電磁滯特性和機(jī)械結(jié)構(gòu)的動力學(xué)特性可以建立如下方程

(8)

式中：H為壓電的磁滯特性模型；Fe為壓電產(chǎn)生的致動力;me為壓電執(zhí)行器的有效負(fù)載質(zhì)量；x為產(chǎn)生的位移量；ce和ke分別為機(jī)械系統(tǒng)的等效阻尼和剛度。

圖3 機(jī)械系統(tǒng)模型

機(jī)械系統(tǒng)的傳遞函數(shù)可以表示為

(9)

式中：ξ為等效阻尼比；ω為機(jī)械系統(tǒng)的共振頻率。

上述三部分共同構(gòu)成了壓電執(zhí)行器系統(tǒng)模型，系統(tǒng)的電路特性、磁滯特性和機(jī)械特性分別由式(1)、式(7)和式(9)描述。

2 壓電執(zhí)行器系統(tǒng)辨識

根據(jù)壓電執(zhí)行器系統(tǒng)的模型結(jié)構(gòu)，電路和機(jī)械模型的未知參數(shù)都有其物理意義，存在理論值，但是，考慮到實際系統(tǒng)的差異，為了準(zhǔn)確描述系統(tǒng)特性，這些參數(shù)需要根據(jù)實驗數(shù)據(jù)辨識得到，而且壓電的磁滯模型參數(shù)也需要通過辨識獲得。

系統(tǒng)磁滯特性和動態(tài)特性的耦合給系統(tǒng)參數(shù)的辨識帶來了一定困難，可以采用分步辨識的方法部分解決耦合問題。對于動態(tài)特性部分采用小幅值方波信號作為辨識信號，利用預(yù)測誤差最小化方法進(jìn)行參數(shù)辨識；對于磁滯非線性部分采用變幅值正弦信號作為辨識信號，利用非線性最小二乘法進(jìn)行參數(shù)辨識。整個辨識過程分為三步進(jìn)行。

首先對電路的動態(tài)特性進(jìn)行辨識，電路部分的輸入和輸出都是可測項，通過施加方波小信號，在帶有實際壓電負(fù)載的情況下，測量電路輸入和輸出電壓，即可辨識得到電路參數(shù)。第二步需要辨識機(jī)械結(jié)構(gòu)的動態(tài)特性，同樣使用方波小信號作為激勵信號，直接測量壓電兩端電壓和輸出位移量，進(jìn)而可以辨識出機(jī)械系統(tǒng)參數(shù)。最后需要辨識壓電材料的磁滯特性參數(shù)，由于磁滯特性部分的輸出量不可測，因此，磁滯特性的辨識需要建立在電路和機(jī)械特性已知的基礎(chǔ)上，基于辨識得出的線性模型，采用非線性最小二乘法進(jìn)行辨識，優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)為

(10)

滿足

(11)

電路和機(jī)械系統(tǒng)的增益都?xì)w一化為1，使整個系統(tǒng)的增益統(tǒng)一到磁滯模型中。

3 實驗驗證

驗證實驗平臺包括了壓電執(zhí)行器、功率放大器、應(yīng)變片式微位移傳感器和NI PXIe平臺，實驗布置如圖 4所示。

圖4 實驗平臺示意圖

壓電執(zhí)行器采用預(yù)緊的壓電平臺(P841.1)，其內(nèi)部集成了應(yīng)變片式微位移傳感器，可以用來測量輸出位移。功率放大器[11]可以將輸入電壓放大到0～100 V，信號調(diào)理電路將應(yīng)變片的電阻變化量轉(zhuǎn)換為輸出電壓變化，通過NI PXIe平臺的16位模數(shù)轉(zhuǎn)換器采集該電壓。

為了驗證非對稱磁滯動態(tài)模型，需要首先辨識模型參數(shù)，利用第三節(jié)所述辨識步驟和方法對系統(tǒng)參數(shù)進(jìn)行辨識，其中基礎(chǔ)算子的個數(shù)M=10，算子的閾值ri取輸入?yún)^(qū)間的均勻分布值，電路參數(shù)τ=5.4×10-5，機(jī)械系統(tǒng)參數(shù)ξ=1.31,ω=26 846，表 1為辨識得到的磁滯模型參數(shù)。

表1 非對稱磁滯模型辨識參數(shù)

利用辨識得到的磁滯動態(tài)模型，首先在輸入是簡單緩變信號的條件下，對建立的非對稱磁滯動態(tài)模型進(jìn)行驗證。

緩變輸入信號下模型預(yù)測結(jié)果和實驗數(shù)據(jù)的比較如圖5所示，描述了壓電執(zhí)行器的滯回曲線,預(yù)測結(jié)果和實驗數(shù)據(jù)的最大誤差約為1.6%(最大誤差和最大位移量的百分比)，誤差均方根約為0.065 μm，驗證了改進(jìn)PI模型對壓電材料磁滯非對稱特性的描述效果。

圖5 緩變輸入下模型實驗驗證

采用復(fù)雜多頻組合信號作為輸入信號進(jìn)行實驗，從而更加全面地驗證非對稱磁滯動態(tài)模型的正確性。同時為了證明非對稱磁滯動態(tài)模型的優(yōu)勢，對比了線性模型、純動態(tài)模型、純磁滯模型和磁滯動態(tài)模型的預(yù)測誤差。

v(t)=32-8×[cos(10πt)+cos(20πt)+
cos(60πt)+cos(100πt)]

(12)

當(dāng)輸入信號為式(12)時，模型預(yù)測結(jié)果和實驗數(shù)據(jù)如圖 6所示，可以看出在頻率較高時磁滯動態(tài)模型依然可以較好地描述壓電執(zhí)行器的特性。

圖6 復(fù)雜輸入信號下模型驗證結(jié)果

磁滯模型和壓電執(zhí)行器系統(tǒng)的吻合度可以表示為

(13)

該數(shù)值越高，則表明模型越準(zhǔn)確。表 2列出了低頻和高頻輸入信號時，不同模型的吻合度和最大誤差。從表中可以看出磁滯模型和磁滯動態(tài)模型的吻合度遠(yuǎn)高于線性模型和動態(tài)模型，在低頻時磁滯動態(tài)模型和磁滯模型的吻合度基本相同，而高頻時磁滯動態(tài)模型的吻合度更好。

表2 不同模型吻合度和最大誤差 %

4 結(jié)論

為了在更寬的頻帶上準(zhǔn)確描述壓電執(zhí)行器特性，提出了基于改進(jìn)PI模型的非對稱磁滯動態(tài)模型。對于構(gòu)建的磁滯動態(tài)模型，首先辨識系統(tǒng)的線性部分，包括電路特性和機(jī)械特性，然后在已知線性系統(tǒng)的基礎(chǔ)上，辨識非對稱磁滯模型，構(gòu)建出系統(tǒng)的磁滯動態(tài)模型，最后對模型進(jìn)行了實驗驗證，在緩變輸入時，模型預(yù)測均方根誤差為0.065 μm，最大誤差為0.2 μm，高頻輸入實驗也表明磁滯動態(tài)模型能更好描述系統(tǒng)特性，為基于模型的控制器設(shè)計建立了基礎(chǔ)。