福建 黃清波

近幾年高考試題中,對(duì)多面體與球的外接問題的考查頻率比較高，而且具有一定的綜合性，是高考備考的一個(gè)重難點(diǎn).此類試題考查考生的畫圖、識(shí)圖能力，具體體現(xiàn)為點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系等的考查，從而達(dá)到考查考生邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)的目標(biāo)，對(duì)考生知識(shí)以及思維能力要求較高.本文以2019年高考數(shù)學(xué)全國卷Ⅰ理科第12題為例，從多個(gè)視角去考量這類問題的求解策略，希望讀者從中受到啟發(fā)，選擇適當(dāng)?shù)慕忸}方法.

題目：已知三棱錐P-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是邊長為2的正三角形，E,F分別是PA，AB的中點(diǎn)，∠CEF=90°,則球O的體積為

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【分析】本題考查正三棱錐的性質(zhì)、三棱錐的外接球等基礎(chǔ)知識(shí)，考查空間想象能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，考查邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)，難度較大.

策略一：幾何法

【分析】首先，由題意畫出圖形，利用圖形的幾何特征并結(jié)合余弦定理求出三棱錐的側(cè)棱長；或者利用點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系證明三條側(cè)棱兩兩互相垂直，結(jié)合勾股定理求出三棱錐的側(cè)棱長.其次，尋找球心的位置，三棱錐外接球的球心在通過底面三角形的外接圓圓心且與底面垂直的垂線上.最后通過解三角形求出外接球的半徑，并通過球的體積公式求解.

解法1:如圖，由題意，三棱錐P-ABC是正三棱錐，設(shè)PA=PB=PC=2a，

設(shè)頂點(diǎn)P在底面ABC的射影為點(diǎn)G,則點(diǎn)G是△ABC的中心，

解法2：如圖，由題意知三棱錐P-ABC是正三棱錐，

設(shè)頂點(diǎn)P在底面ABC的射影為點(diǎn)G,則點(diǎn)G是△ABC的中心，連接BG并延長，交AC于點(diǎn)H,則BH⊥AC,又PG⊥AC,

且BH∩PG=G,所以AC⊥平面PBH,所以PB⊥AC.

又點(diǎn)E,F分別是PA，AB的中點(diǎn)，所以EF//PB,

又∠CEF=90°，即EF⊥CE,所以PB⊥CE,

且AC∩CE=C,所以PB⊥平面PAC.

所以正三棱錐P-ABC的三條側(cè)棱兩兩互相垂直.

【歸納】此法是以邏輯推理作為工具來解決問題，解題過程中經(jīng)常要引入輔助線和回憶大量的幾何性質(zhì)、定理，如球體的截面性質(zhì)、勾股定理、余弦定理等，對(duì)學(xué)生的空間想象能力和邏輯推理能力要求較高，在教學(xué)過程中，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生優(yōu)先考慮用幾何法解題，會(huì)嘗試著動(dòng)手操作去處理圖形，即對(duì)圖形進(jìn)行折疊、展開、添加輔助線等，借此不斷提高自己的空間想象能力.另一方面，讓學(xué)生熟練掌握初中、高中幾何定理、公理的運(yùn)用.

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策略二：模型法

【分析】首先由題意畫出圖形，利用空間向量中的基底法證明三條側(cè)棱兩兩互相垂直是解題的關(guān)鍵.其次，通過補(bǔ)形，把三棱錐補(bǔ)成直四棱柱，從而迅速求出外接球的半徑，最后通過球的體積公式求解.

解法3：如圖，由題意，三棱錐P-ABC是正三棱錐，設(shè)PA=a，∠APB=θ.

所以2a2·cosθ=a2·cosθ，得cosθ=0，所以θ=90°.

把三棱錐補(bǔ)形為正方體，則正方體外接球即為三棱錐的外接球，

【歸納】此法主要是對(duì)于一些有垂直關(guān)系的、可以補(bǔ)成直棱柱的三棱錐或四棱錐，通過補(bǔ)成直棱柱后較容易求得外接球的半徑.常見的模型有以長方體為基礎(chǔ)的特殊幾何體、以直三棱柱為基礎(chǔ)的特殊幾何體.

直棱柱如果有外接球，則其外接球的球心在兩底面多邊形的外接圓圓心連線的中點(diǎn)上.

【變式】已知三棱柱ABC-A1B1C1的6個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，若AB=3,AC=4,AB⊥AC,AA1=12,則球O的半徑為

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解：由題意，△ABC為直角三角形，三棱柱ABC-A1B1C1為直三棱柱.

把直三棱柱ABC-A1B1C1補(bǔ)成四棱柱，則四棱柱的體對(duì)角線是其外接球的直徑.

策略三：坐標(biāo)法

解法4：由題意，三棱錐P-ABC是正三棱錐，設(shè)PA=PB=PC=2a，

設(shè)頂點(diǎn)P在底面ABC的射影為點(diǎn)G,則點(diǎn)G是△ABC的中心，

【歸納】此法主要是利用向量的相關(guān)知識(shí)及其運(yùn)算來解決問題，即用代數(shù)的方法解決幾何問題，將數(shù)與形完美地結(jié)合起來，降低了立幾的思維難度，解題有一定的規(guī)律性，便于學(xué)生掌握.其步驟：①建系；②找點(diǎn)的坐標(biāo)；③寫出向量坐標(biāo)；④結(jié)合公式進(jìn)行論證、計(jì)算；⑤下結(jié)論.不規(guī)則的坐標(biāo)系的建立較為靈活，但還是有“法”可依，在平時(shí)教學(xué)過程中，應(yīng)加強(qiáng)建不規(guī)則坐標(biāo)系的訓(xùn)練，幫助學(xué)生消除一定的心理障礙.此外，建立坐標(biāo)系后，通常會(huì)增加表示某些點(diǎn)坐標(biāo)的難度，除了作“射影”來求，大多是通過“計(jì)算”來得到.

【變式】某棱錐的三視圖如圖所示，則該棱錐的外接球的表面積為

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A．11π B．12π C．13π D．14π

由OA=OB=OC=OD=R，得

則該棱錐的外接球的表面積為4πR2=11π.

以上幾種方法各有所長，適合求解多面體的外接球問題.“多法”的準(zhǔn)確定位是并舉！即不宜人為地、憑主觀劃分它們的優(yōu)劣，而應(yīng)具體問題具體分析.即使受教學(xué)時(shí)間的限制，在課堂上盡量“擇其善者而從之”，但對(duì)其他的方法應(yīng)稍作提示引導(dǎo)，讓學(xué)生在課下嘗試、討論，并對(duì)每一種方法進(jìn)行比較，思考這些方法的區(qū)別與聯(lián)系，歸納解決這類問題的合理解法，這對(duì)學(xué)生能力的提高大有裨益.