重慶 張大洪

選修3-3模塊是高考的熱學(xué)知識(shí)部分，是每年必考的模塊，其中理想氣體狀態(tài)方程與氣體實(shí)驗(yàn)定律知識(shí)點(diǎn)是本模塊的重難點(diǎn)，一般分值在10分；封閉氣體壓強(qiáng)的計(jì)算則是該知識(shí)點(diǎn)中的最基本的問題，本文將氣體狀態(tài)變化中的關(guān)聯(lián)問題分類探討，希望能對(duì)廣大中學(xué)生起到有效的指導(dǎo)作用。

1.液柱關(guān)聯(lián)下的氣體壓強(qiáng)計(jì)算

【典例】已知大氣壓強(qiáng)為p0，圖1所示的裝置處于靜止?fàn)顟B(tài)，液體密度均為ρ，各段液柱尺寸已標(biāo)于圖中，求被封閉的各段氣體的壓強(qiáng)。

圖1

【解析】對(duì)于圖1中氣體b而言，通過右邊的彎曲液柱與大氣相關(guān)聯(lián)，關(guān)聯(lián)的最低液面即為A面；又因?yàn)榈雀咭好娴膲簭?qiáng)必相等，即圖1中pB=p0，那么由A面與右側(cè)液柱的壓強(qiáng)平衡pb=pA=pB+pAB，即pb=p0+ρg(h2-h1)；對(duì)管內(nèi)封閉氣柱a而言，其將通過豎直液柱h3與氣體b相關(guān)聯(lián)，關(guān)聯(lián)的最低液面為C面，由C面壓強(qiáng)平衡pC=pb=pa+ph3，即pa+ρgh3=p0+ρg(h2-h1)，故pa=p0+ρg(h2-h1-h3)。

【點(diǎn)評(píng)】由液柱關(guān)聯(lián)下的氣體壓強(qiáng)處理：

(1)連通器內(nèi)靜止的同種液體(中間液體不間斷)在等高液面(即在同一水平液面)處的壓強(qiáng)大小一定是相等的；

(2)探討由靜止液柱封閉的氣柱壓強(qiáng)時(shí)，以與封閉氣柱相關(guān)聯(lián)的液柱的最低液面研究對(duì)象，利用該液面受到的向上、向下壓力的平衡來處理；

(3)探求由非平衡狀態(tài)的液柱封閉的氣體壓強(qiáng)時(shí)，以與氣柱相關(guān)聯(lián)的液柱為力學(xué)研究對(duì)象進(jìn)行受力分析、用牛頓第二定律列出方程處理；

(4)準(zhǔn)確把握好幾何關(guān)系，找出輔助的相關(guān)關(guān)系；

(5)兩部分氣體的問題，要分別以兩部分氣體為研究對(duì)象，根據(jù)對(duì)應(yīng)實(shí)驗(yàn)規(guī)律列方程。

圖2

【真題賞析】(2018年全國卷Ⅲ第33題)在兩端封閉，粗細(xì)均勻的U形細(xì)玻璃管內(nèi)有一段水銀柱，水銀柱的兩端各封閉有一段空氣如圖2所示；當(dāng)U形管兩端豎直朝上時(shí)，左、右兩邊空氣柱的長度分別為l1=18.0 cm和l2=12.0 cm，左邊氣體的壓強(qiáng)為12.0 cmHg?，F(xiàn)將U形管緩慢平放在水平桌面上，沒有氣體從管的一邊通過水銀逸入另一邊。求U形管平放時(shí)兩邊空氣柱的長度。在整個(gè)過程中，氣體溫度不變。

【解析】圖2中U形管兩端豎直朝上時(shí)，通過水銀柱關(guān)聯(lián)的左、右兩部分氣體中，水銀柱的最低液面在左管，故對(duì)左管液面利用壓強(qiáng)平衡有(設(shè)此時(shí)左、右兩邊氣體的壓強(qiáng)分別為p1和p2)p1=p2+ρg(l1-l2)。當(dāng)U形管水平放置時(shí)，管中的水銀柱必將向氣體“2”的一側(cè)移動(dòng)并最終達(dá)到靜止，如圖3所示，此時(shí)兩邊氣體壓強(qiáng)相等設(shè)為p。

圖3

由題給條件及①②③共同解得

【真題賞析】(2017年全國卷Ⅲ第33題)一種測量稀薄氣體壓強(qiáng)的儀器如圖4(甲)所示，玻璃泡M的上端和下端分別連通兩豎直玻璃細(xì)管K1和K2，K1長為l，頂端封閉，K2上端與待測氣體連通；M下端經(jīng)橡皮軟管與充有水銀的容器R連通。開始測量時(shí)，M與K2相通；逐漸提升R，直到K2中水銀面與K1頂端等高，此時(shí)水銀已進(jìn)入K1，且K1中水銀面比頂端低h，如圖4(乙)所示。設(shè)測量過程中溫度、與K2相通的待測氣體的壓強(qiáng)均保持不變。已知K1和K2的內(nèi)徑均為d，M的容積為V0，水銀的密度為ρ，重力加速度大小為g。求：

(ⅰ)待測氣體的壓強(qiáng)；

(ⅱ)該儀器能夠測量的最大壓強(qiáng)。

甲

乙

(ⅱ)由題意知h≤l根據(jù)“(ⅰ)”中的結(jié)果

2.由單一活塞關(guān)聯(lián)的氣體壓強(qiáng)問題

圖5

圖6

【點(diǎn)評(píng)】由活塞關(guān)聯(lián)下的氣體壓強(qiáng)處理：

(1)正確分析活塞的受力情況，結(jié)合活塞的運(yùn)動(dòng)情況由力的平衡或牛頓第二定律來探究壓強(qiáng)的關(guān)聯(lián)情況；

(2)兩部分氣體的問題，分別以兩部分氣體為研究對(duì)象，找出各自狀態(tài)參量及其相關(guān)關(guān)系(注意圖中的幾何關(guān)系)，然后根據(jù)相應(yīng)的氣體實(shí)驗(yàn)定律列方程。

【真題賞析】(2017年全國卷Ⅰ第33題)如圖7所示，容積均為V的氣缸A、B下端有細(xì)管(容積可忽略)連通，閥門K2位于細(xì)管的中部，A、B的頂部各有一閥門K1、K3；B中有一可自由滑動(dòng)的活塞(質(zhì)量、體積均可忽略)。初始時(shí)，三個(gè)閥門均打開，活塞在B的底部；關(guān)閉K2、K3，通過K1給氣缸充氣，使A中氣體的壓強(qiáng)達(dá)到大氣壓p0的3倍后關(guān)閉K1。已知室溫為27℃，氣缸導(dǎo)熱。

(ⅰ)打開K2，求穩(wěn)定時(shí)活塞上方氣體的體積和壓強(qiáng)；

(ⅱ)接著打開K3，求穩(wěn)定時(shí)活塞的位置；

(ⅲ)再緩慢加熱氣缸內(nèi)氣體使其溫度升高20℃，求此時(shí)活塞下方氣體的壓強(qiáng)。

圖7

3.復(fù)式活塞關(guān)聯(lián)下氣體壓強(qiáng)的處理

【典例】氣缸由兩個(gè)橫截面不同的圓筒連接而成，活塞A、B被輕質(zhì)剛性細(xì)桿連接在一起，活塞可無摩擦移動(dòng)，活塞A、B的質(zhì)量分別為m1=24 kg、m2=16 kg，橫截面積分別為S1=6.0×10-2m2、S2=4.0×10-2m2，一定質(zhì)量的理想氣體被封閉在兩活塞之間，活塞外側(cè)大氣壓強(qiáng)p0=1.0×105Pa。

(1)如圖8甲所示，氣缸水平放置達(dá)到平衡狀態(tài)時(shí)，求內(nèi)部氣體的壓強(qiáng)。

(2)已知水平放置平衡時(shí)氣體的體積V=2.0×10-2m3，現(xiàn)保持溫度不變將氣缸豎直放置，如圖8乙所示，取重力加速度g=10 m/s2。達(dá)到平衡后，活塞在氣缸內(nèi)移動(dòng)的距離為多少?(活塞A還未到達(dá)氣缸連接處)

甲

乙

【解析】(1)由題知當(dāng)氣缸達(dá)到平衡狀態(tài)即表明復(fù)式活塞系統(tǒng)必處于平衡，故復(fù)式活塞系統(tǒng)的受力必滿足平衡條件，但需注意A、B的受力方向與面積大??；設(shè)平衡時(shí)氣缸內(nèi)氣體壓強(qiáng)為p1，對(duì)于復(fù)式活塞A、B系統(tǒng)受力如圖8所示，由平衡條件有p0S1+p1S2=p1S1+p0S2，解得p1=p0=1.0×105Pa。

【點(diǎn)評(píng)】對(duì)復(fù)式活塞關(guān)聯(lián)問題：

(1)選取復(fù)式活塞(含桿)整個(gè)連體為研究對(duì)象，正確對(duì)其進(jìn)行受力分析；

(2)弄清復(fù)式活塞各面受到的壓力方向與大小(含大氣壓力、封閉氣體壓力)，利用力的平衡條件或牛頓第二定律列式探究壓強(qiáng)關(guān)系；

(3)應(yīng)用相應(yīng)的氣體實(shí)驗(yàn)定律聯(lián)合求解。

【真題賞析】(2019年全國卷Ⅱ第33題)如圖9所示，一容器由橫截面積分別為2S和S的兩個(gè)氣缸連通而成，容器平放在地面上，氣缸內(nèi)壁光滑。整個(gè)容器被通過剛性桿連接的兩活塞分隔成三部分，分別充有氫氣、空氣和氮?dú)?。平衡時(shí)，氮?dú)獾膲簭?qiáng)和體積分別為p0和V0，氫氣的體積為2V0，空氣的壓強(qiáng)為p?，F(xiàn)緩慢地將中部的空氣全部抽出，抽氣過程中氫氣和氮?dú)獾臏囟缺３植蛔?，活塞沒有到達(dá)兩氣缸的連接處，求：

(ⅰ)抽氣前氫氣的壓強(qiáng)；

(ⅱ)抽氣后氫氣的壓強(qiáng)和體積。

圖9

【解析】(ⅰ)設(shè)抽氣前氫氣的壓強(qiáng)為p′，左邊活塞2S必受氫氣對(duì)其水平向右的壓力p′·2S、及空氣對(duì)其水平向左的壓力p2S作用，右邊活塞S必受氮?dú)鈱?duì)其水平向左的壓力p0S、及空氣對(duì)其水平向右的壓力pS作用，根據(jù)力的平衡條件得(p′-p)·2S=(p0-p)·S，解得p′=(p0+p)。

(ⅱ)將空氣抽出過程中由于空氣壓強(qiáng)不斷減小，故空氣對(duì)兩活塞的壓力也不斷減小，因而復(fù)式活塞A、B系統(tǒng)合力必向右，故A、B系統(tǒng)必將向右邊移動(dòng)；設(shè)抽氣后氫氣的壓強(qiáng)和體積分別為p1和V1，氮?dú)獾膲簭?qiáng)和體積分別為p2和V2，根據(jù)力的平衡條件有p2·S=p1·2S①，由于此過程溫度保持不變，由玻意耳定律對(duì)氫氣有p1V1=p′·2V0②

對(duì)氮?dú)庥衟2V2=p0·V0③，在上述狀態(tài)變化過程中氫氣體積增加了V1-2V0，氮?dú)怏w積減小了V0-V2，由于兩活塞用剛性桿連接由題中的活塞面積大小關(guān)系故必有V1-2V0=2(V0-V2)④

【拓展】對(duì)于液柱或活塞封閉的氣體，無論裝置處于力學(xué)平衡狀態(tài)或有加速度的非平衡狀態(tài)，一般選擇與氣柱相關(guān)聯(lián)的液柱或活塞為力學(xué)研究對(duì)象進(jìn)行受力分析、列平衡方程或用牛頓第二定律列出方程。

4.一部分氣體的多個(gè)關(guān)聯(lián)過程問題

圖10

(ⅰ)在大活塞與大圓筒底部接觸前的瞬間，氣缸內(nèi)封閉氣體的溫度；

(ⅱ)缸內(nèi)封閉的氣體與缸外大氣達(dá)到熱平衡時(shí)，缸內(nèi)封閉氣體的壓強(qiáng)。

【解析】由題意知封閉氣體在緩慢變化中經(jīng)歷了兩個(gè)過程，即從圖10所示狀態(tài)到大活塞與大圓筒底部接觸前的狀態(tài)、從大活塞與大圓筒底部接觸狀態(tài)到封閉氣體與缸外大氣達(dá)到熱平衡的狀態(tài)，兩過程是通過大活塞與大圓筒底部接觸前氣體的狀態(tài)相關(guān)聯(lián)。

【點(diǎn)評(píng)】對(duì)多過程的關(guān)聯(lián)問題要注意：

(1)階段性：即弄清一個(gè)物理變化分為哪幾個(gè)階段；

(2)聯(lián)系性：即找出幾個(gè)階段之間是由什么物理量聯(lián)系起來的；

(3)規(guī)律性：即明確哪個(gè)階段應(yīng)遵循什么實(shí)驗(yàn)定律。

【總結(jié)】封閉氣體的壓強(qiáng)，不僅與氣體的狀態(tài)變化有關(guān)，還與相關(guān)聯(lián)的液柱、活塞、氣缸等物體的受力情況和運(yùn)動(dòng)狀態(tài)有關(guān)，解決這類問題的關(guān)鍵有以下3點(diǎn)：

(1)明確研究對(duì)象(力學(xué)對(duì)象與熱學(xué)對(duì)象)；

(2)對(duì)力學(xué)對(duì)象(液柱、活塞、氣缸等)進(jìn)行正確的受力情況分析和運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)情況分析，列出關(guān)于研究對(duì)象的力學(xué)方程，找出各熱學(xué)對(duì)象間的壓強(qiáng)關(guān)系；