湯心儀，劉濤，黃模佳

(南昌大學(xué)工程力學(xué)系，江西 南昌 330031)

扭轉(zhuǎn)彈簧(簡稱扭簧)是一種利用彈性能來工作的機(jī)械零件，它通過儲(chǔ)存和釋放彈性能，以靜態(tài)的方式固定裝置，以達(dá)到預(yù)期的效果。扭轉(zhuǎn)彈簧主要用于控制機(jī)件的運(yùn)動(dòng)、緩和沖擊或震動(dòng)、儲(chǔ)存能量、測量力的大小等方面，近年來，隨著人類對(duì)使用工具智能化與科技化要求的提高，扭轉(zhuǎn)彈簧已經(jīng)廣泛應(yīng)用于日常生活當(dāng)中，從而使得對(duì)扭轉(zhuǎn)彈簧力學(xué)特性的研究工作顯得格外重要。目前，國內(nèi)對(duì)扭轉(zhuǎn)彈簧的研究大多集中在加工工藝、材料性能的穩(wěn)定性、疲勞性能、可靠性以及選用新材料使其具有更好的可靠性和壽命上[1-4]，國外對(duì)于扭轉(zhuǎn)彈簧的研究大多集中在有特殊用途扭轉(zhuǎn)彈簧的研究，譬如利用扭轉(zhuǎn)彈簧代替環(huán)形車輪實(shí)現(xiàn)簡單的行星牽引驅(qū)動(dòng)[5]，以及對(duì)扭轉(zhuǎn)彈簧能量儲(chǔ)存性能的研究[6]，其特點(diǎn)在于研究方法和試驗(yàn)工具都比較先進(jìn)。國內(nèi)外關(guān)注扭簧配合阻尼系統(tǒng)對(duì)整體結(jié)構(gòu)的性能影響[7-8]、關(guān)注利用有限元對(duì)扭簧的數(shù)值仿真[9-11]。

基于上述背景，為了深入研究扭簧的扭轉(zhuǎn)剛度，本文以扭簧為研究對(duì)象，建立了扭轉(zhuǎn)彈簧的力學(xué)分析模型，根據(jù)曲梁的彎曲理論，推導(dǎo)出扭簧剛度計(jì)算表達(dá)式，該表達(dá)式考慮了鋼絲直徑與扭簧回轉(zhuǎn)直徑之比的效應(yīng)。本文開展了扭簧剛度的測量試驗(yàn)和有限元數(shù)值仿真。研究結(jié)果表明：實(shí)測結(jié)果、數(shù)值計(jì)算與計(jì)算表達(dá)式的結(jié)果高度吻合，驗(yàn)證了本文推導(dǎo)的扭簧剛度計(jì)算表達(dá)式的可靠性，為扭轉(zhuǎn)彈簧的力學(xué)特性的研究提供了新方法。

1 考慮扭簧鋼絲直徑與扭簧回轉(zhuǎn)直徑之比效應(yīng)的扭簧剛度計(jì)算式

1.1 扭簧鋼絲微段的彎曲應(yīng)變

扭轉(zhuǎn)彈簧的幾何形狀為螺旋狀，扭簧扭轉(zhuǎn)時(shí)，彈簧鋼絲微段發(fā)生彎曲變形。在圖1扭簧鋼絲上取一微弧段ds，O1O2為扭簧扭轉(zhuǎn)時(shí)鋼絲的彎曲中性層(其弧長為ds)，變形前中心到中性層的曲率半徑為ρ1，ds對(duì)應(yīng)的圓弧角為dθ1；變形后中心到中性層的曲率半徑成為ρ2，ds對(duì)應(yīng)的圓弧角成為dθ2；滿足

ds=ρ1dθ1=ρ2dθ2

(1)

根據(jù)圖1的幾何關(guān)系和式(1)，可得橫截面上距中性層為y處的線應(yīng)變

(2)

其結(jié)果可簡化為

(3)

1.2 扭簧扭轉(zhuǎn)剛度計(jì)算表達(dá)式

影響扭簧扭轉(zhuǎn)剛度的因素主要包括扭簧鋼絲展開長度L、有效圈數(shù)n、扭簧回轉(zhuǎn)直徑D，它們間存在關(guān)系

L=nπD

(4)

這里n不要求是整數(shù)。假設(shè)一扭簧的扭轉(zhuǎn)角度為φ，扭簧初始有效圈數(shù)n1與扭轉(zhuǎn)后有效圈數(shù)n2之間存在的關(guān)系為

(5)

扭轉(zhuǎn)過程的扭簧展開長度L不變，扭簧初始直徑為D1，扭簧扭轉(zhuǎn)φ角后，扭簧直徑變?yōu)镈2，由式(4)的關(guān)系，得

(6)

扭簧宏觀承受的扭矩T為扭簧鋼絲局部承受的彎矩M；即

T=M

(7)

鋼絲橫截面正應(yīng)力對(duì)截面中性軸形成的彎矩由以下積分獲得

(8)

(9)

利用式(6)，并在鋼絲橫截面上采用極坐標(biāo)積分，式(9)成為

(10)

(11)

對(duì)于一給定的鋼絲直徑與扭簧回轉(zhuǎn)直徑之比κ，可以通過數(shù)值積分完成以上積分，獲得F(κi)如圖2所示。圖中橫坐標(biāo)為κ，縱坐標(biāo)為F(κi)。

表1 函數(shù)F(κ)數(shù)值表(節(jié)選)Tab.1 Function value table (excerpt)

以上數(shù)據(jù)的最小二乘法擬合函數(shù)為

F(κ)=1.335 86×10-4+0.046 29κ+0.017 97κ2

(12)

從圖2可以看出，式(12)的函數(shù)F(κ)可以很好地?cái)M合式(11)中的數(shù)值積分結(jié)果。

將式(12)代入式(10)，得扭簧的扭矩與扭轉(zhuǎn)角間的計(jì)算表達(dá)式，單位為N·m·rad-1。

(13)

2 扭簧扭轉(zhuǎn)剛度的試驗(yàn)測量

扭轉(zhuǎn)試驗(yàn)是測定材料性能的基本方法之一，為了驗(yàn)證上述理論表達(dá)式的正確性，采用試驗(yàn)測定扭轉(zhuǎn)彈簧試樣的扭轉(zhuǎn)剛度。選取了6組不同參數(shù)的碳素彈簧鋼絲材質(zhì)的外壁扭轉(zhuǎn)彈簧，每組2個(gè)試件(見圖3)，通過微機(jī)控制電子扭轉(zhuǎn)試驗(yàn)機(jī)進(jìn)行扭轉(zhuǎn)剛度的試驗(yàn)測量。試驗(yàn)試件為碳素彈簧鋼絲材料的外壁扭轉(zhuǎn)彈簧，扭簧試件的相關(guān)參數(shù)如表2所示。試驗(yàn)時(shí)，利用插銷式夾具進(jìn)行裝夾操作(見圖3)，試驗(yàn)機(jī)對(duì)應(yīng)電子控制軟件Powertest進(jìn)行試驗(yàn)進(jìn)程的程序控制。扭角速度控制為20°·min-1，每次過程以扭轉(zhuǎn)角度到達(dá)25°為控制終止，維持試樣在整個(gè)扭轉(zhuǎn)試驗(yàn)過程中處于扭轉(zhuǎn)變形過程中的彈性階段。具體的工作原理為，電子扭轉(zhuǎn)試驗(yàn)機(jī)基座上有一個(gè)電動(dòng)的減速裝置，該裝置可由系統(tǒng)控制其運(yùn)作速度及轉(zhuǎn)動(dòng)正負(fù)方向。其中作用試樣的扭轉(zhuǎn)力矩通過固定夾頭相連的稱重機(jī)構(gòu)平衡，帶動(dòng)荷載指針轉(zhuǎn)動(dòng)記錄出實(shí)驗(yàn)的具體數(shù)值。在“裝夾試件”步驟完成后，系統(tǒng)控制轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)將帶動(dòng)所夾試件的一端進(jìn)行轉(zhuǎn)動(dòng)，使試件整體發(fā)生扭轉(zhuǎn)變形。

表2 采用扭簧試件的相關(guān)參數(shù)Tab.2 Relevant parameters of torsion spring specimen

扭轉(zhuǎn)試驗(yàn)完成后，在軟件Powertest后臺(tái)中提取試驗(yàn)數(shù)據(jù)，試驗(yàn)過程中同一試件代稱名字下有2個(gè)試件，2個(gè)試件分別進(jìn)行5次扭轉(zhuǎn)測試，從而每個(gè)試件代稱共有10組試驗(yàn)數(shù)據(jù)。根據(jù)事前實(shí)驗(yàn)控制程序中以扭轉(zhuǎn)角度度數(shù)的實(shí)驗(yàn)終止，試樣將保持在扭轉(zhuǎn)變形中的彈性變形階段，此時(shí)滿足：

T=Kφ

(14)

將扭矩作為縱坐標(biāo)，扭轉(zhuǎn)角為橫坐標(biāo)，進(jìn)行試驗(yàn)數(shù)據(jù)處理。在處理后，可得到每次扭轉(zhuǎn)試驗(yàn)的扭矩-扭轉(zhuǎn)角散點(diǎn)圖(見圖4)。利用Origin軟件對(duì)試驗(yàn)散點(diǎn)圖進(jìn)行線性擬合，擬合直線的斜率即為試驗(yàn)測量所得的扭轉(zhuǎn)剛度取值，最后取10組試驗(yàn)數(shù)據(jù)的平均值作為該試件代稱的扭轉(zhuǎn)剛度取值。表4中給出了本次試驗(yàn)6組試件的扭轉(zhuǎn)剛度測量取值。

3 扭簧扭轉(zhuǎn)剛度的有限元分析

為了進(jìn)一步驗(yàn)證本文理論分析式的合理性，利用有限元Abaqus CAE進(jìn)行了扭轉(zhuǎn)彈簧的數(shù)值計(jì)算工作。首先用SolidWorks三維軟件繪出幾何模型，然后將模型導(dǎo)入Abaqus CAE中，見圖5。定義碳素彈簧鋼絲材料并賦予表3中的模型材料屬性，利用梁單元擬合扭簧模型。將扭簧一端創(chuàng)建完全固定的邊界條件，扭簧另一端施加位移荷載，本步驟根據(jù)圓柱坐標(biāo)下UR3設(shè)定與試驗(yàn)過程中相同的位移量進(jìn)行有限元的力與位移設(shè)定。同時(shí)在“Mesh”網(wǎng)格模塊下，通過曲率控制的方法使最大偏離因子盡可能接近于0，以至每微分圓弧上的近似單元數(shù)盡可能大，提高有限元擬合計(jì)算的精度。

表3 扭簧試件的材料參數(shù)Tab.3 Material parameters of torsion spring specimen

重復(fù)上述操作，僅改變賦予截面步驟中截面半徑尺寸步驟，共建立6個(gè)與試驗(yàn)扭簧試件一致的有限元模型。最后在后臺(tái)可視化中提取對(duì)應(yīng)的彎矩“RM”值，再利用軟件后臺(tái)輸出等比例除去扭轉(zhuǎn)角度φ值的扭轉(zhuǎn)剛度K。表4給出了本次數(shù)值模擬的6組試件的扭轉(zhuǎn)剛度有限元計(jì)算結(jié)果。

4 試驗(yàn)測量和數(shù)值計(jì)算與理論求解結(jié)果的對(duì)比和分析

將本文給出的理論表達(dá)式計(jì)算結(jié)果與試驗(yàn)測量結(jié)果和有限元計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，對(duì)比結(jié)果如表4所示。

表4 同一試件代稱下的扭轉(zhuǎn)剛度理論分析式解、試驗(yàn)解、有限元解對(duì)比Table 4 Comparison of theoretical analytical solutions,experimental solutions and finite element solutionsof torsional stiffness for the same specimen 單位：N·m·rad-1

由表4對(duì)比結(jié)果表明，理論計(jì)算、試驗(yàn)測量和有限元計(jì)算結(jié)果能夠高度吻合，從而驗(yàn)證了本文提出的扭簧扭轉(zhuǎn)剛度理論表達(dá)式的正確性。從2.3×16×5、2.3×20×5、2.3×24×5 3組數(shù)據(jù)的對(duì)比結(jié)果可以看出，當(dāng)扭簧材料直徑、有效圈數(shù)相同時(shí)，扭簧扭轉(zhuǎn)剛度與扭簧中徑成反比；對(duì)比試驗(yàn)2.3×20×5、2.3×20×7結(jié)果可以看出，當(dāng)扭簧材料直徑、扭簧中徑相同時(shí)，扭簧扭轉(zhuǎn)剛度與有效圈數(shù)成反比；對(duì)比試驗(yàn)2.0×16×5、2.3×16×5結(jié)果可以看出，當(dāng)有效圈數(shù)、扭簧中徑相同時(shí)，扭簧扭轉(zhuǎn)剛度與扭簧材料直徑成正比。

5 結(jié)論

1) 建立了扭轉(zhuǎn)彈簧微段的力學(xué)分析模型，給出了扭簧微段截面內(nèi)任意一點(diǎn)的應(yīng)變表達(dá)式，給出了考慮扭簧材料直徑的扭轉(zhuǎn)剛度理論計(jì)算精確表達(dá)式，給出了扭簧扭轉(zhuǎn)剛度求解的近似表達(dá)式。

2) 進(jìn)行了扭簧扭轉(zhuǎn)剛度的測量試驗(yàn)，實(shí)測獲得了6組試樣的扭轉(zhuǎn)剛度取值；進(jìn)行了扭轉(zhuǎn)彈簧的有限元數(shù)值模擬工作，數(shù)值計(jì)算獲得了6組試樣的扭轉(zhuǎn)剛度取值。

3) 將理論計(jì)算結(jié)果、實(shí)測結(jié)果和有限元結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比，三者結(jié)果高度吻合，驗(yàn)證了本文給出的扭簧扭轉(zhuǎn)剛度理論表達(dá)式的可靠性，為扭轉(zhuǎn)彈簧的力學(xué)特性研究提供了完善的理論依據(jù)，同時(shí)為今后扭簧扭轉(zhuǎn)剛度的高精度求解提供了可靠的理論保障。