吳存明

南京大學哲學系鄭毓信教授倡導“應當通過數(shù)學教學幫助學生學會思維，能夠逐步學會想得更清晰、更全面、更深刻、更合理”。這里的四個“更”，直指“數(shù)學理解”。在倡導深度學習的當下，“更深刻”應成為“數(shù)學理解”的核心。基于這樣的思考，筆者設計的“用字母表示數(shù)”一課在江蘇省“百師萬課”教學展評活動中獲得好評，現(xiàn)整理如下，供教育同仁指正。

【教學內(nèi)容】

蘇教版小學數(shù)學五年級上冊第八單元“用字母表示數(shù)”第1課時第99～100頁。

【教學目標】

1.在具體情境中理解字母表示數(shù)的意義，能夠根據(jù)具體的情境用含字母的式子表示數(shù)和數(shù)量關系。

2.經(jīng)歷把實際問題用含有字母的式子進行表達的抽象過程，培養(yǎng)學生數(shù)學抽象概括能力。

3.體會用字母表示數(shù)的簡潔性與一般性，發(fā)展學生符號意識，增強學好數(shù)學的信心。

【教學重、難點】

重點：在具體情境中理解字母表示數(shù)的意義。

難點：經(jīng)歷用字母表示數(shù)的抽象過程，發(fā)展符號意識。

【教學過程】

一、引入：用字母表示未知數(shù)

師：（屏幕出示上圖）前不久，老師的微信收到一個紅包。猜猜多少錢？

生：10元、66元、888元、1分錢、200元……

師（不斷搖頭）：除了猜，有更好的方法嗎？

（教師出示任務一：誰能想一個辦法，把所有可能的數(shù)都包括進來。學生寫數(shù)字，教師巡視后選擇典型作品展示）

生1：52元，因為我們班是五（2）班。

生2：……元，省略號可以代替所有的數(shù)。

生3：0.01～200元，我經(jīng)常搶紅包和發(fā)紅包，紅包最少是1分錢，最多是200元。

生4：我就用一個英語字母表示，是x元。

師：大家的思考很有創(chuàng)意。在數(shù)學上，人們通常用字母來表示未知數(shù)。

（教師板書：用字母表示數(shù)）

師：為什么要用字母來表示數(shù)？

生：因為有很多可能性。

師：是啊，這里的字母有魔力，它背后概括了很多數(shù)。那么，x可以表示哪些數(shù)？

（教師板書：概括）

師：對方可領取的紅包金額為0.01～200元。

（教師板書：0.01～200元）

【反思】對于一個未知的紅包金額，在不斷地猜想失敗之后，教師布置任務：“想一個辦法，把所有可能的數(shù)都包括進來?！边@個貌似簡單實則有挑戰(zhàn)性的任務“逼迫”學生經(jīng)歷數(shù)學的再創(chuàng)造過程，展現(xiàn)了學生富有個性的原創(chuàng)思維。學生的思維從“猜”轉(zhuǎn)向“寫”，開啟了數(shù)學理解的第一步。

二、發(fā)展：用含有字母的式子表示數(shù)量關系

師：我又收到一個紅包。這次還猜嗎？（生搖頭）那你們打算怎么表示？

（教師出示任務二：想一個辦法表示，把第二個紅包可能的數(shù)都包括進來。學生寫數(shù)字，教師巡視后選擇典型作品展示）

生1：用字母x來表示。

師：一學就會，還有嗎？

生2：一開始寫的是x，后來換成y了。

師：為啥換個字母？

生（齊）：第二個紅包不一定和第一個紅包一樣大，不能用同一個字母。

師：在同一個問題里，不同的數(shù)要用不同的字母來表示。收到第二個紅包時，老師還收到一條短信：“比第一個紅包多5元”。你又想到了什么？

生3：x+5元。

師：y與x+5哪個更好？為什么？

生4：我覺得y更好，更加簡潔。

生5：x+5更好，可以看出兩個紅包相差多少，寫y就不知道到底是多少了。

師：x+5雖然長一些，但是它會“說話”——“我比前一個紅包多5元”。也就是它不但能表示第二個紅包的錢數(shù)，而且能表示出兩個紅包之間的關系。

（教師相機板書：關系）

師：我們對對口令，當x=1元，x+5=？……當x=200元呢？

生6：x不可能為200。

師：此時，x表示哪些數(shù)？你是怎樣想的？

生7：因為第二個紅包比第一個紅包多5元，x的范圍變成了0.01～195元。

（教師調(diào)整之前x的范圍板書：0.01～195元）

【反思】有了第一個紅包金額的表示經(jīng)驗，對于第二個紅包的金額，學生自覺地用字母表示，揭示出“同一個問題中不同的數(shù)用不同的字母來表示”的一般做法。而隨后教師收到的短信“比第一個紅包多5元”，引發(fā)了“y與x+5哪個更好”的討論。

三、探索：字母式的簡寫

師：第三個紅包來了。

（課件出示：第三個紅包是第一個紅包的2倍）

（教師出示任務三：想一個辦法表示，把第三個紅包可能的數(shù)都包括進來。學生寫數(shù)字，教師巡視后選擇典型作品展示）

生1：x×2元。

生2：可以簡寫成x2元。

生3：不對，應該簡寫成2x元。

師：到底該怎么簡寫呢？看一個視頻。

……

師：看懂了嗎？接下來我們來做一組判斷對錯練習。

（1）x×3 可以簡寫成 3x。（）

（2）x+3 可以簡寫成 3x。（）

（3）c×c 可以簡寫成 2c。（）

（4）c+c 可以簡寫成 2c。（）

教師針對（3）（4）題，課件出示下圖。

師：你們覺得是2c大，還是c2大？

……

【反思】對于第三個紅包的金額，在學生的各種作品展現(xiàn)后，教師聚焦“簡寫”這個話題，引發(fā)學生討論，觀看微視頻，學生進行了“有意義的接受式學習”。值得指出的是，教師圍繞一些簡寫的難點深入討論，比如“是2c大，還是c2大”，揭示它們的區(qū)別與聯(lián)系，這尤為重要。

四、感受：字母式的變化

（教師出示任務四：根據(jù)這3個紅包的信息，你能提出什么數(shù)學問題？）

生1：此時，x表示哪些數(shù)？

生2：現(xiàn)在x最少是0.01元，最多是100元。

師：你是怎樣想的？

生2：因為第三個紅包最多是200元，而第三個紅包是第一個紅包的2倍。

生3：我想問，哪個紅包最??？哪個紅包最大？

師：好問題！在3個紅包中哪個最??？

生（齊）：第一個。

師：哪個紅包最大？

生4：我覺得是第三個紅包，“2x”要比“x+5”多，比如x=10，x+5=15，2x=20。

生5：我覺得不一定，如果x=1，x+5=6，2x=2，第二個紅包最大。

師：看樣子，要么是第二個紅包最大，要么是第三個紅包最大。

生6（急切地舉手）：老師，還有第三種可能，當x=5，x+5=10，2x=10。

師：好像發(fā)現(xiàn)這3種情況都有可能，為你們的思考點贊！學到現(xiàn)在，你感覺今天的數(shù)學與之前的數(shù)學有什么不同？

生7：有變化了，答案不唯一了。

生8：以前的數(shù)學是“死”的，現(xiàn)在變活了。

師：用字母表示數(shù)在數(shù)學史上是一次飛躍。有了它，數(shù)學就活了，數(shù)學從此就更有變化了，變得更有意思了。你們還有什么問題嗎？

生9：我想知道每個紅包到底是多少錢？

（教師揭曉3個紅包金額）

【反思】教師通過創(chuàng)設3個紅包的教學情境，讓學生學習“用字母表示未知數(shù)”“用含有字母的式子表示數(shù)量關系”“字母式的簡寫”等知識點。至此，學生對于“用字母表示數(shù)”的理解有了進一步提升， “此時，x表示哪些數(shù)？”“哪個紅包最小？哪個紅包最大？”“每個紅包到底是多少錢？”都是好問題，值得學生去思考甚至辯論。

五、延展：從特殊到一般，理解用字母表示數(shù)的符號化思想

師：2x除了表示紅包錢數(shù)之間的關系，還能表示什么？

（教師出示任務五：說一說，還能用2x表示什么）

……

師：能說完嗎？對！只要兩個量有2倍關系的，都可以用2x概括，老師也講個故事（如下圖）。

師：大家為數(shù)學家們點贊的同時，不要忘記夸獎一下自己。短短一堂課，我們就學會了用字母表示數(shù)。同樣都是用字母表示數(shù)，我發(fā)現(xiàn)丟番圖還早了1000多年，為什么偏說韋達是“代數(shù)學之父”呢？

（師生討論，明確：丟番圖用字母表示“事物的縮寫”，而韋達用字母表示“概括的符號”）

師：最后獎勵大家一首兒歌，數(shù)青蛙。

（? ）只青蛙（? ）張嘴，（? ）只眼睛（? ）條腿。

用一句話唱完，按照以前的數(shù)學是不行的，今天呢？同學們寫下來。

……

【反思】圍繞“2x”編故事絕不是可有可無的教學環(huán)節(jié)，它把整節(jié)課從紅包素材中剝離出來，從“基于情境”到“去情境化”，學生認識到“只要兩個量有2倍關系的，都可以用‘2x概括”。隨后教師補充的史料和隨后的發(fā)問“為什么韋達被稱為‘代數(shù)學之父”，讓學生深刻理解用字母表示數(shù)的千年跨越到底在哪里，一言以蔽之——“抽象概括的符號”。

反思上述課例之所以取得比較好的教學效果，有以下四點值得總結(jié)：

1.有意思的情境讓數(shù)學理解更深刻

“用字母表示數(shù)”的學習到底該選用怎樣的素材？筆者以為，紅包情境適合學生，無論城市，還是農(nóng)村，學生都見過或者收到過紅包，有切身的體驗，喜聞樂見，學生喜歡。這樣有意思且有意義的情境讓數(shù)學理解有更肥沃的土壤。

2.挑戰(zhàn)性的任務讓數(shù)學理解更深刻

筆者以為，好的學習任務要聚焦矛盾沖突，在關鍵處“推學生一把”，讓學生卷入。日本著名學者佐藤學就曾明確提出：“學校和教師的責任并不在于上好課，而在于保障每一個學生的學習權(quán)，給學生挑戰(zhàn)高水準學習的機會?！币虼?，把教學內(nèi)容巧妙地隱含到一個個富有挑戰(zhàn)性的學習任務中，通過“讓學生想一個辦法，把所有可能的數(shù)都包括進來”的任務驅(qū)動，連續(xù)激發(fā)了學生的探究需求，促進學生主動地學習。

3.層次化的過程讓數(shù)學理解更深刻

本節(jié)課的學習，教師讓學生經(jīng)歷經(jīng)驗理解（從猜到寫）—形式理解（凸顯關系，學會簡寫）—關系理解（從特殊到一般，去情境化）—觀念理解（史料拓展，符號化思想）等四個階段。從課堂反饋看，學生經(jīng)歷了過程，產(chǎn)生了體驗，不僅深入地理解了字母的產(chǎn)生與優(yōu)點，還對字母的發(fā)展有了較為深刻的體驗。

4.高質(zhì)量的問題讓數(shù)學理解更深刻

數(shù)學家哈爾莫斯說過：“問題是數(shù)學的心臟。”筆者以為，教師應該在“學生現(xiàn)在在哪里”和“學生能夠到哪里”的區(qū)間里，引導學生自己提出高質(zhì)量的問題。在上述課例里，像“x表示哪些數(shù)？”“哪個紅包最少？哪個紅包最大？”這樣高質(zhì)量的問題就來源于學生;像“同樣都是用字母表示數(shù)，我發(fā)現(xiàn)丟番圖還早了1000多年，為什么偏說韋達是‘代數(shù)學之父 呢？”這樣高質(zhì)量的問題就來源于教師。沒有這一系列恰到好處、層層遞進的問題引領，學生的深刻理解就難以保障。

總之，本節(jié)課教師創(chuàng)設了貼近兒童的情境，以挑戰(zhàn)性的任務驅(qū)動，以高質(zhì)量的問題引領，讓不同層次的學生都有思考與創(chuàng)造的時間和空間，讓學習看得見，讓數(shù)學理解更深刻。

（作者單位：江蘇省南京市溧水區(qū)東廬小學）