陳付彬

(昆明理工大學(xué)津橋?qū)W院 理工學(xué)院，云南 昆明 650106)

由于M-矩陣在諸多領(lǐng)域的應(yīng)用價值比較廣泛，所以成為現(xiàn)今矩陣?yán)碚撗芯康闹匾獌?nèi)容，其中，特征值的相關(guān)下界和判別法等比較受到學(xué)者的青睞。Hadamard積是特殊的矩陣運(yùn)算[1-2]，至今得到了一些比較好的關(guān)于非奇異M-矩陣Hadamard積的特征值下界的結(jié)論[3-12]。

針對這一問題，文章做了進(jìn)一步的探討，主要是在前人的基礎(chǔ)上通過構(gòu)造迭代公式，利用圓盤定理給出新的結(jié)果，使新結(jié)果在迭代若干次后更加接近真值，文中也給出了相應(yīng)的理論證明以及算例，從而驗(yàn)證新結(jié)果的有效性。

1 符號與引理

n階所有實(shí)(復(fù))矩陣組成的集合以Rn×n(Cn×n)表示。為證明和敘述方便，給出如下記號：

令A(yù)=(aij)∈Rn×n，記N={1,2,…,n}，i,j,k∈N，j≠i。

若A∈Zn={A=(aij)∈Rn×n|aij≤0;i,j∈N,i≠j}可表為A=αI-P，P≥0,α>ρ(P)，稱A為非奇異M-矩陣，用Mn表示；若α=ρ(P)，稱A為奇異M-矩陣。τ(A)=min{Re(λ):λ∈σ(A)}表示A的最小特征值。

A°B表示A和B的對應(yīng)元素相乘，即A°B=(aijbij)，稱為A和B的Hadamard積。

2007年，LI等[4]得到一個改進(jìn)結(jié)論：

(1)

2009年，LI等[5]改進(jìn)式(1)得到下面結(jié)論：

(2)

2013年，LI等[7]又給出下面結(jié)論：

(3)

2014年,高美平[8]改進(jìn)式(2)式得到：

(4)

2015年，蔣建新等[9]改進(jìn)式(1)(2)(4)，給出如下結(jié)論：

(5)

2016年，劉新[10]又對式(1)進(jìn)行了改進(jìn)，得到如下結(jié)論：

(6)

針對該問題，文章將做深入的探討，給出改進(jìn)以上結(jié)果的新估計式。

2 主要結(jié)果

引理1[3]設(shè)A,B∈Mn，則A°B-1∈Mn。

引理2[13]設(shè)A=(aij)∈Rn×n是行嚴(yán)格對角優(yōu)勢矩陣，則A-1=(bij)滿足

引理3[1]若A是M-矩陣，則有正對角矩陣D使D-1AD為行嚴(yán)格對角優(yōu)勢的M-矩陣。

引理4[14]設(shè)A,B∈Rn×n，則有對角矩陣E,F,使下式成立：

引理5[13]若A-1是雙隨機(jī)矩陣，則Ae=e，ATe=e，其中e=[1,1,…,1]T。

引理6[15]設(shè)A=(aij)∈Cn×n，x1,x2,…,xn>0，則A的特征值包含在如下范圍：

定理1設(shè)A=(aij)∈Rn×n是行嚴(yán)格對角優(yōu)勢的M-矩陣，則A-1=(βij)滿足

證明由ri,mji,hi,wji,ti的定義及A是行嚴(yán)格對角優(yōu)勢矩陣，可知0≤wji≤mji≤ri<1，0≤hi≤1, 0≤ti≤1,j≠i,i∈N。

因A是行嚴(yán)格對角優(yōu)勢矩陣, 則一定存在ε>0, 能夠使下式成立：

0

令Wi(ε)=diag(w1i(ε)ti(ε),…,wi-1,i(ε)ti(ε),

1,wi+1,i(ε)ti(ε),…,wni(ε)ti(ε))，i∈N。

當(dāng)j≠i，j,i∈N時, 由ti(ε)的定義，得

所以

(7)

當(dāng)j=i，j,i∈N時，

(8)

從式(7)和(8)可知,AWi(ε)是行嚴(yán)格對角占優(yōu)M-矩陣。

由引理2，得

即

令ε→0, 可知

注1由于wjiti≤mjihi≤mji≤ri,j≠i,j,i∈N，因此，定理1分別改進(jìn)了文獻(xiàn)[5]中引理2.2，文獻(xiàn)[6]中引理2.2及文獻(xiàn)[7]中引理2的結(jié)果。

定理2設(shè)A∈Mn, 且A-1=(βij)是雙隨機(jī)矩陣，則

證明因?yàn)锳是M-矩陣, 且A-1=(bij)是雙隨機(jī)矩陣, 則

所以，A是行嚴(yán)格對角占優(yōu)矩陣。

由定理1，得

即

定理3設(shè)A=(aij),B=(bij)∈Mn，且A-1=(βij)，則

證明因A∈Mn, 由引理3和引理4，可設(shè)A是嚴(yán)格對角優(yōu)勢M-矩陣。

(1)A,B不可約。對任意i∈N,0

即

因?yàn)锳A-1=I, 即

(2)A,B至少有一個可約。令M=(mij)是滿足m12=m23=…=mn1=1,其余mij均為零的置換矩陣。當(dāng)ε>0時，A-εD和B-εD是M-矩陣且不可約[16],將A和B替換為A-εD和B-εD，當(dāng)ε→0時, 結(jié)論依舊成立。

由定理2和定理3，可得如下兩個推論:

推論1設(shè)A=(aij),B=(bij)∈Mn，且A-1=(βij)是雙隨機(jī)矩陣，則

推論2設(shè)A=(aij)∈Mn，且A-1=(βij)是雙隨機(jī)矩陣，則

注2因?yàn)閣jiti≤mjihi, 所以

因此

所以

故推論2改進(jìn)了文獻(xiàn)[7]中的推論2。

3 數(shù)值算例

令

依據(jù)Fiedler和Markham猜想得τ(A°A-1)≥0.5；依據(jù)式(1)得τ(A°A-1)≥0.662 4；依據(jù)式(2)得τ(A°A-1)≥0.799 9；依據(jù)式(3)得τ(A°A-1)≥0.832 1；依據(jù)式(4)得τ(A°A-1)≥0.825 0；依據(jù)式(5)得τ(A°A-1)≥0.825 1；依據(jù)式(6)得τ(A°A-1)≥0.762 5；依據(jù)本文推論2得τ(A°A-1)≥0.835 8。