徐 陽，易建新，程 豐，饒?jiān)迫A,2，萬顯榮，熊良建

(1.武漢大學(xué)電子信息學(xué)院, 湖北武漢 430072；2.武漢大學(xué)深圳研究院，廣東深圳 518000；3.中國民航飛行學(xué)院洛陽分院，河南洛陽 471001)

0 引言

由于輻射源的低空照射限制，外輻射源雷達(dá)的目標(biāo)探測(cè)主要限制在低空區(qū)域，因此如何提高外輻射源雷達(dá)的低空目標(biāo)仰角估計(jì)性能一直是外輻射源雷達(dá)目標(biāo)定位與跟蹤的重要研究課題，近年來眾多國內(nèi)外學(xué)者對(duì)低仰角目標(biāo)波達(dá)方向(Direction of Arrival，DOA)估計(jì)問題進(jìn)行了大量研究[1-3]。在經(jīng)典的鏡像信號(hào)模型中，目標(biāo)和其鏡像被建模為兩個(gè)空間臨近的相干點(diǎn)源，實(shí)現(xiàn)對(duì)目標(biāo)仰角的精確估計(jì)實(shí)際是對(duì)兩個(gè)空間臨近相干源的超分辨問題[4]。常用的超分辨技術(shù)如多重信號(hào)分類(Multiple Signal Classification，MUSIC)算法不能直接應(yīng)用于相干源，若要運(yùn)用MUSIC算法，需要先用空間平滑法將原陣列分為多個(gè)重疊的子陣，進(jìn)行解相干預(yù)處理，這種降維處理方法是以犧牲陣列孔徑為代價(jià)的[5]。

為了彌補(bǔ)傳統(tǒng)低仰角估計(jì)問題中陣列孔徑的損失，本文考慮引入互質(zhì)陣列(Coprime Array，CA)處理低仰角信號(hào)，因?yàn)榛ベ|(zhì)陣列能夠在使用相同個(gè)數(shù)物理陣元的情況下，實(shí)現(xiàn)更大的陣列孔徑，降低了硬件的系統(tǒng)開銷[6]。根據(jù)質(zhì)數(shù)的性質(zhì)，互質(zhì)陣能夠推導(dǎo)出一組由陣元位置差集信息構(gòu)成的包含更多虛擬陣元的均勻線性陣列，從而實(shí)現(xiàn)陣列孔徑的擴(kuò)展。相比于現(xiàn)有的不具有系統(tǒng)化陣列結(jié)構(gòu)的最小冗余陣列和最小孔洞陣列等稀疏陣列[7]，互質(zhì)陣只需給定一對(duì)互質(zhì)整數(shù)M,N就可以實(shí)現(xiàn)陣列的架構(gòu)，陣列布設(shè)方案較為簡單直觀[8]。相比于稀疏均勻陣列，互質(zhì)陣通過特有的陣列排布抑制了陣列方向圖中多個(gè)柵瓣的產(chǎn)生，避免了測(cè)向模糊現(xiàn)象，提高了角度估計(jì)的可靠性。此外，由于實(shí)現(xiàn)了陣列孔徑的擴(kuò)展，互質(zhì)陣在提高角度估計(jì)精度，分辨率和自由度方面相比于均勻線陣也具有更加優(yōu)越的性能，同時(shí)還因?yàn)橄∈璧年嚵薪Y(jié)構(gòu)降低了天線間的互耦效應(yīng)。而在低空目標(biāo)波達(dá)方向估計(jì)領(lǐng)域，陣列的超分辨性能是一個(gè)主要的關(guān)注點(diǎn)，所以本文討論的是互質(zhì)陣相比于相同陣元數(shù)的均勻線陣(Uniform Linear Array，ULA)在分辨率方面的優(yōu)勢(shì)。

在互質(zhì)陣列信號(hào)處理過程中，虛擬陣列構(gòu)造方法通常用于處理非相干信號(hào)，本文討論了低仰角鏡像相干信號(hào)在虛擬陣列構(gòu)造過程中的影響。文章首先在低仰角鏡像模型中，論述了利用陣元位置差集對(duì)應(yīng)的協(xié)方差統(tǒng)計(jì)量構(gòu)造虛擬陣列的原理，推導(dǎo)了基于相干信號(hào)的虛擬陣列接收信號(hào)形式，然后以擴(kuò)展互質(zhì)陣列為例詳細(xì)介紹了虛擬均勻線陣的構(gòu)造過程，并通過理論分析與仿真結(jié)果展示了相干信號(hào)帶來的影響，進(jìn)而闡明了虛擬陣列法在低仰角鏡像模型中的近似可行性。

1 外輻射源雷達(dá)低仰角鏡像模型

影響外輻射源雷達(dá)低仰角估計(jì)效果的主要因素是多徑效應(yīng)的存在，在經(jīng)典的鏡像模型里，一般暗含兩個(gè)客觀條件：1)目標(biāo)與其鏡像相對(duì)于雷達(dá)的距離差很小，二者在同一個(gè)距離單元內(nèi)，所以當(dāng)探測(cè)低仰角目標(biāo)時(shí)可認(rèn)為直達(dá)路徑信號(hào)與反射路徑信號(hào)同時(shí)到達(dá)目標(biāo)處并進(jìn)行相干疊加。2)目標(biāo)仰角為正，多徑仰角為負(fù)，二者大致相等，目標(biāo)仰角小于二分之一的俯仰維波束寬度[9]。將多徑反射信號(hào)等效成與目標(biāo)信號(hào)完全相干的點(diǎn)源，得到圖1所示的經(jīng)典鏡像模型[10]。由于外輻射源雷達(dá)不主動(dòng)發(fā)射信號(hào)，因此多徑建模中通常只考慮接收多徑，不考慮發(fā)射多徑。

圖1 理想情況下的多徑傳播模型

設(shè)互質(zhì)陣天線是由M個(gè)各項(xiàng)同性陣元組成的線陣，第m個(gè)陣元與陣列參考點(diǎn)之間的距離為dm，空中只存在一個(gè)低空目標(biāo)，θd和θr分別為目標(biāo)直達(dá)波與多徑信號(hào)的俯仰角。則t時(shí)刻第m個(gè)陣元接收到的數(shù)據(jù)為

xm(t)=[e-j2πdmsin(θd)/λ+εe-j2πdmsin(θr)/λ]s(t)+

nm(t)

(1)

整個(gè)陣列在t時(shí)刻接收到的數(shù)據(jù)向量可表示為

x(t)=[x1(t),…，xm(t),…，xM(t)]T=

[a(θd),a(θr)][1,ε]Ts(t)+

n(t),t∈{t1,…,tL}

(2)

式中，L為快拍數(shù)，上標(biāo)T表示矩陣的轉(zhuǎn)置，a(θd)=[e-j2πd1sin(θd)/λ,…,e-j2πdmsin(θd)/λ,…,e-j2πdMsin(θd)/λ]T為目標(biāo)直達(dá)波方向的陣列導(dǎo)向矢量，a(θr)為多徑反射波方向的陣列導(dǎo)向矢量。

2 互質(zhì)陣虛擬陣列構(gòu)造

常規(guī)的互質(zhì)陣列處理方法中，利用虛擬陣元位置與相關(guān)間隔一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，將對(duì)應(yīng)位置的協(xié)方差統(tǒng)計(jì)量作為虛擬陣列接收信號(hào)，構(gòu)造虛擬均勻線陣。2.1節(jié)推導(dǎo)了在低仰角鏡像模型中，基于相干信號(hào)協(xié)方差統(tǒng)計(jì)量得到的虛擬陣列接收信號(hào)形式，2.3節(jié)則以擴(kuò)展互質(zhì)陣列為例，討論了相干信號(hào)在虛擬陣列構(gòu)造過程中帶來的影響，闡明了互質(zhì)陣虛擬陣列法在低仰角鏡像模型中的近似可行性。

2.1 基于低仰角鏡像模型的虛擬陣列構(gòu)造原理

L次采樣快拍情況下，互質(zhì)陣列接收信號(hào)的采樣協(xié)方差矩陣估計(jì)如下[12]：

(3)

E[(e-j2πdisin(θd)/λ+εe-j2πdisin(θr)/λ)·

(ej2πdjsin(θd)/λ+ε*ej2πdjsin(θr)/λ)s2(t)]=

εε*e-j2π(di-dj)sin(θr)/λ+

ε*e-j2πdisin(θd)/λ+j2πdjsin(θr)/λ+

εe-j2πdisin(θr)/λ+j2πdjsin(θd)/λ)

(4)

根據(jù)低仰角信號(hào)模型中的暗含條件，目標(biāo)仰角為正，多徑仰角為負(fù)，二者大致相等，可知θd=-θr，代入復(fù)反射系數(shù)ε=ρexp(-j4πhrsinθd/λ)，上式括號(hào)中的后兩項(xiàng)可化為

ε*e-j2π(di+dj)sin(θd)/λ+εej2π(di+dj)sin(θd)/λ=

ρej(2hr-(di+dj))2πsinθd/λ+ρe-j(2hr-(di+dj))2πsinθd/λ=

2ρcos((2hr-(di+dj))2πsinθd/λ)

(5)

所以式(5)最終可表示為

(6)

(7)

(8)

vec(·)表示矢量化操作，根據(jù)相關(guān)間隔與虛擬陣元位置的對(duì)應(yīng)關(guān)系，將陣元位置差集作為虛擬均勻線陣的陣元位置坐標(biāo)，從z中提取對(duì)應(yīng)位置的函數(shù)值作為虛擬陣列的接收信號(hào)。2.3節(jié)將給出一個(gè)具體的構(gòu)造例示，并進(jìn)一步討論相干信號(hào)帶來的Δrij項(xiàng)的影響。

2.2 互質(zhì)陣列結(jié)構(gòu)

根據(jù)2.1節(jié)所述的虛擬陣列構(gòu)造方法，進(jìn)而可以推出空間域的陣列結(jié)構(gòu)排布。

2.2.1 簡單互質(zhì)陣列

簡單互質(zhì)陣列的結(jié)構(gòu)如圖2所示，由兩個(gè)稀疏均勻線陣構(gòu)成。第一個(gè)稀疏均勻線陣包含M個(gè)陣元，陣元間距為Nd；第二個(gè)稀疏均勻線陣包含N個(gè)陣元，陣元間距為Md；M和N為互質(zhì)整數(shù)，假設(shè)M小于N，d為入射到互質(zhì)陣列的目標(biāo)信號(hào)半波長[13]。將兩個(gè)子陣以首陣元重疊的形式進(jìn)行線性疊加組合，因?yàn)镸和N互質(zhì)，所以除了首陣元外，其余陣元在空間中的擺放位置不會(huì)出現(xiàn)重疊情況，由此得到了包含物理陣元數(shù)目為M+N-1的互質(zhì)陣列，最后一個(gè)陣元的位置是(N-1)Md。

圖2 簡單互質(zhì)陣列結(jié)構(gòu)

將首陣元作為參考陣元，位置設(shè)為0，則兩個(gè)子陣的陣元位置差集可以表示為

{(Mn-Nm)d,0≤n≤N-1,0≤m≤M-1}

(9)

根據(jù)上式，我們用M+N-1個(gè)陣元構(gòu)造了一個(gè)位于[-N(M-1),M(N-1)]范圍的差聯(lián)合陣列，但它們?cè)谶@個(gè)范圍內(nèi)因?yàn)榇嬖诳锥矗远鄶?shù)情況下是不連續(xù)的。例如M=3,N=4時(shí)，差聯(lián)合虛擬陣列結(jié)構(gòu)如圖3所示，在-7d,7d的位置出現(xiàn)了孔洞。

圖3M=3,N=4虛擬陣列位置示意圖

MNd

MNd

2.2.2 擴(kuò)展互質(zhì)陣列

擴(kuò)展互質(zhì)陣列結(jié)構(gòu)如圖4所示，就是將圖2中子陣1的陣元數(shù)目增加一倍，從M增加到2M個(gè)，子陣2不變，得到一個(gè)陣元數(shù)目為2M+N-1的擴(kuò)展陣列。之所以這樣設(shè)定陣元數(shù)目，是利用了質(zhì)數(shù)的性質(zhì)。

圖4 擴(kuò)展互質(zhì)陣列結(jié)構(gòu)

引理1[14]：假設(shè)M和N是互質(zhì)整數(shù)且M

根據(jù)這個(gè)引理，m和n在上述范圍內(nèi)變化時(shí)，我們可以得到-MN≤k≤MN范圍內(nèi)的連續(xù)的所有整數(shù)。跟虛擬陣列的構(gòu)造相結(jié)合，也就是用2M+N-1個(gè)物理陣列構(gòu)造了陣元數(shù)目為2MN+1的虛擬均勻線陣，虛擬均勻線陣位置排布如下式所示：

Loc2M,N={-MNd,-(MN-1)d,…,

-d,0,d,…,(MN-1)d,MNd}

(10)

2.3 擴(kuò)展互質(zhì)陣列的虛擬均勻線陣構(gòu)造

根據(jù)2.1節(jié)的結(jié)論，我們將二階統(tǒng)計(jì)量作為互質(zhì)陣列的等價(jià)虛擬域信號(hào)，根據(jù)相關(guān)間隔與虛擬陣元位置的對(duì)應(yīng)關(guān)系，將陣元位置差集Loc2M,N作為虛擬均勻線陣的陣元位置坐標(biāo)，從Rxx中提取對(duì)應(yīng)位置的函數(shù)值構(gòu)成列向量作為虛擬陣列的接收信號(hào)。以M=3,N=5的擴(kuò)展互質(zhì)陣列為例，構(gòu)造一個(gè)位于[15d,15d]的虛擬均勻線陣。物理陣元的位置分布如表1所示，圖5是以-15d位置處的虛擬陣元為例，物理陣元與虛擬陣元間的對(duì)應(yīng)關(guān)系示意圖，虛擬均勻線陣部分位置陣元的接收信號(hào)如表2所示。

表1 擴(kuò)展互質(zhì)陣陣元位置

圖5 物理陣元與虛擬陣元對(duì)應(yīng)關(guān)系示意圖(以-15d位置處的虛擬陣元為例)

表2 虛擬均勻線陣部分陣元位置的接收信號(hào)

(11)

圖6 相關(guān)系數(shù)隨仰角變化

3 基于虛擬均勻線陣的空間平滑算法

將虛擬陣列劃分成MN+1個(gè)子陣，每個(gè)子陣的陣元數(shù)目為MN+1個(gè)，第i個(gè)子陣的陣元位置為{(-i+1+n)d,n=0,1,2,…,MN}，空間平滑法示意圖如圖7所示。

對(duì)MN+1個(gè)子陣對(duì)應(yīng)的協(xié)方差矩陣求平均得到Rss，我們叫它空間平滑矩陣，數(shù)學(xué)上可表示為

(12)

式中，Ri表示第i個(gè)子陣列的協(xié)方差矩陣。根據(jù)文獻(xiàn)[16]給出的定理，描述了四階統(tǒng)計(jì)量和二階虛擬陣列協(xié)方差矩陣之間的關(guān)系，令Λ為對(duì)角矩陣，對(duì)角線上是入射信號(hào)功率，I是(MN+1)×(MN+1)維的單位矩陣，空間平滑矩陣可以表示成如下形式：

(13)

4 仿真結(jié)果

為了展示MUSIC算法的分辨率性能，定義角度實(shí)現(xiàn)分辨并成功估計(jì)的條件如下：

(14)

式中，θk,k=1,2為兩個(gè)信號(hào)的到達(dá)角度，θm=(θ1+θ2)/2。

2)定義當(dāng)估計(jì)值與仰角真實(shí)值差的絕對(duì)值小于1°時(shí)，角度估計(jì)成功[18]。

當(dāng)以上兩個(gè)條件同時(shí)成立時(shí)，我們認(rèn)為角度分辨成功，定義分辨成功的概率計(jì)算如下：

(15)

仿真條件：垂直放置的互質(zhì)陣和均勻線陣，陣元數(shù)相同，數(shù)目為10個(gè)?；ベ|(zhì)陣是擴(kuò)展互質(zhì)陣列，子陣1，陣元間距為5d，陣元數(shù)目為6個(gè)；子陣2，陣元間距為3d，陣元數(shù)目為5個(gè)。均勻線陣陣元間距d，d為半波長。天線架高h(yuǎn)r=10 m，若地勢(shì)較為平坦，低仰角情形下的鏡面反射系數(shù)ρ可假設(shè)為-1，則多徑衰減系數(shù)ε=-exp(-j40πsinθd/λ)。

基于正交匹配追蹤[19](Orthogonal Matching Pursuit，OMP)的DOA估計(jì)算法由于對(duì)信號(hào)的相干性沒有要求，常被用于相干信號(hào)DOA估計(jì)，所以仿真中用正交匹配追蹤算法跟本文闡述的虛擬陣列法(Virtual Array，VA)同時(shí)處理互質(zhì)陣，并跟空間平滑法(Spatial Smoothing，SS)處理均勻線陣的結(jié)果作比較。用控制變量法比較3種方式在3個(gè)環(huán)境變量仰角、信噪比和快拍數(shù)影響下的角度分辨性能。其中OMP算法只需對(duì)正角度θd進(jìn)行搜索，把仰角的搜索范圍劃分成網(wǎng)格θ=[θmin,θmin+Δθ,…,θmax]，然后將其代入鏡像模型中的合成導(dǎo)向矢量asum(θd)=a(θd)+εa(-θd)構(gòu)造觀測(cè)矩陣ACS=[asum(θmin),asum(θmin+Δθ),…,asum(θmax)]，根據(jù)OMP算法對(duì)信號(hào)矢量進(jìn)行重構(gòu)得到DOA估計(jì)結(jié)果。

實(shí)驗(yàn)一：在給定信噪比和快拍數(shù)的環(huán)境下，比較3種方法的角度分辨成功概率隨低仰角變化，仿真結(jié)果如圖8所示。

(a)仰角范圍以0.5°為間隔劃分

實(shí)驗(yàn)參數(shù)：信噪比10 dB，快拍數(shù)100次，蒙特卡羅仿真次數(shù)500次，圖8(a)目標(biāo)低仰角為1°：0.5°：8°，圖8(b)目標(biāo)低仰角為1°：0.1°：8°，正交匹配追蹤算法的網(wǎng)格劃分為0.5°：0.5°：20°。

圖8(a)中均勻線陣前面的起伏變化是因?yàn)椋貉鼋亲兓瘞硭p系數(shù)相位變化，影響空間平滑解相干效果。隨著仰角變大，直達(dá)波和多徑的間隔變大，解相干效果受衰減系數(shù)相位的影響逐漸變小，分辨概率整體呈上升趨勢(shì)，在達(dá)到1時(shí)，可以實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定的角度分辨。由圖8(a)可以看到，用虛擬陣列方法處理的互質(zhì)陣可穩(wěn)定分辨的低仰角為2°，均勻線陣的可穩(wěn)定分辨低仰角為4.5°，用正交匹配追蹤法處理的互質(zhì)陣可穩(wěn)定分辨低仰角為1°。但由于正交匹配追蹤法的測(cè)角性能受網(wǎng)格劃分影響，當(dāng)信號(hào)到達(dá)角與劃分網(wǎng)格不匹配時(shí)，角度估計(jì)性能會(huì)下降，如圖8(b)所示，如果直接對(duì)網(wǎng)格進(jìn)行過于精細(xì)的劃分，會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)的運(yùn)算量過大。因此可以得到結(jié)論，在給定信噪比為10 dB的環(huán)境里互質(zhì)陣虛擬陣列法的角度分辨率優(yōu)于均勻線陣，而正交匹配追蹤法處理的互質(zhì)陣列雖然角度分辨率略優(yōu)于虛擬陣列法，但估計(jì)性能受網(wǎng)格限制，不如互質(zhì)陣虛擬陣列法穩(wěn)健。

實(shí)驗(yàn)二：在給定低仰角和快拍數(shù)的環(huán)境下，比較3種方法的角度分辨成功概率隨信噪比變化，仿真結(jié)果如圖9所示。

(a)仰角為5°

實(shí)驗(yàn)參數(shù)：仰角分別為5°和5.5°，快拍數(shù)100次，蒙特卡羅仿真次數(shù)500次，信噪比-15：1：15 dB。

實(shí)驗(yàn)三：在給定低仰角和低信噪比的環(huán)境下，互質(zhì)陣虛擬陣列法的角度分辨成功概率隨快拍數(shù)變化，仿真結(jié)果如圖10所示。

圖10 互質(zhì)陣角度分辨成功概率隨快拍數(shù)變化

根據(jù)圖9的仿真結(jié)果，在低信噪比環(huán)境下均勻線陣空間平滑法和互質(zhì)陣正交匹配追蹤法分辨成功的概率太低，快拍數(shù)對(duì)分辨成功概率的影響沒有參考意義，所以這里只討論互質(zhì)陣虛擬陣列法的角度分辨成功概率隨快拍數(shù)變化。

實(shí)驗(yàn)參數(shù)：信噪比-10 dB，仰角為5°，蒙特卡羅仿真次數(shù)500次，快拍數(shù)10：5：100次。

在信噪比為-10 dB，仰角為5°的環(huán)境里，互質(zhì)陣虛擬陣列法的角度分辨成功概率隨快拍數(shù)增大而增大。

5 結(jié)束語