丁 濛

(北京信息科技大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院，北京 100101)

1 引言

散射及反散射的數(shù)學(xué)理論與計(jì)算一直是應(yīng)用數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的重要課題，其成果在地質(zhì)勘探、無損探測、醫(yī)學(xué)成像等領(lǐng)域都具有廣泛的應(yīng)用.散射研究入射波與介質(zhì)的相互作用，而反散射則研究通過介質(zhì)外部可測的波場探測其形狀或內(nèi)部屬性.數(shù)學(xué)上，反散射主要研究解的唯一性、穩(wěn)定性及設(shè)計(jì)高效、穩(wěn)定的數(shù)值算法.目前，對該問題的研究，無論在唯一性方面還是在數(shù)值算法方面都取得了豐富的研究成果，例如基于遠(yuǎn)場數(shù)據(jù)反演散射障礙的唯一性定理[1-4]、迭代優(yōu)化型算法[5-7]及采樣型方法[8-11]等，詳細(xì)內(nèi)容可參考相關(guān)專著[12-14].

線性采樣方法(LSM)是近年來反散射理論中一類非常流行的非迭代型重建算法，它由Colton 和Kirsch 于1996 年首先提出[9].其主要思想是考慮第一類算子方程

這里，F(xiàn) :L2(S2)→L2(S2)為定義在R3中單位球面S2上的遠(yuǎn)場算子，u∞為散射場的遠(yuǎn)場模式，它是定義在S2×S2上的解析函數(shù)，在實(shí)際中通常被認(rèn)為是一個(gè)可觀測量.針對方程(1)，可證明如下定理.

定理1[9]若κ2＞0 不是-Δ 算子的Dirichlet 特征值，則對任意的z ∈D， ε ＞0，存在函數(shù)gz，ε∈L2(S2)，使得

且

1) 不需要先驗(yàn)地知道障礙D 的物理性質(zhì)；

2) 不需要數(shù)值求解正散射問題.

因此，近二十年來，LSM 被廣泛應(yīng)用于一般偏微分方程反問題中，如文獻(xiàn)[15-17]等.然而，就像定理1 所描述的那樣，傳統(tǒng)的LSM 僅在κ2＞0 不是區(qū)域D 上-Δ 的Dirichlet 特征值時(shí)有效.那么自然地會(huì)產(chǎn)生“當(dāng)κ2是-Δ 的Dirichlet 特征值時(shí)，LSM 是否依然有效？”這個(gè)問題.為了解決這一問題，文獻(xiàn)[18]首先借助修改邊界積分方程積分核的方式給出了一個(gè)變種的第一類遠(yuǎn)場算子方程，并通過研究相應(yīng)的遠(yuǎn)場算子的性質(zhì)，證明了改良后的LSM 在每個(gè)固定的波數(shù)下都是有效的.然而這種方式很難推廣到更為復(fù)雜的反散射問題中，例如半空間中障礙反散射問題、無界帶狀區(qū)域中障礙反散射問題等.

本文主要以Dirichlet 障礙為例，研究了一類反散射問題的數(shù)值計(jì)算方法，目的是在波數(shù)無任何先驗(yàn)信息下，發(fā)展一種快速有效的新型線性采樣方法，并且使得該方法能夠很容易推廣到其他復(fù)雜情形.為此，本文在第2 節(jié)給出了散射問題的描述，并呈現(xiàn)了解的一些基本性質(zhì)；然后，在第3 節(jié)給出了本文的主要結(jié)果及其證明，核心思想是通過引入帶阻尼邊界條件的輔助邊值問題，把原問題轉(zhuǎn)化為特殊入射波下的散射問題，從而可以建立起相應(yīng)算子的單射及稠密性.

2 問題描述

令D 為R3中C2-光滑的有界區(qū)域，其邊界為?D.考慮平面波

入射到障礙D，則其散射由Helmholtz 方程所描述

其中f =-uinc.(3)式中的第三個(gè)條件被稱為Sommerfeld 輻射條件.

利用Green 公式及Sommerfeld 輻射條件，散射場us有如下漸近形式

定理2[14]對于f ∈H1/2(?D)，邊值問題(3)有唯一解us且滿足

現(xiàn)在引入算子Lf := u∞.由定理2 可知，L 是H1/2(?D)到L2(S2)上的有界線性算子.進(jìn)一步地，關(guān)于L 也有如下性質(zhì).

3 主要結(jié)果及證明

本節(jié)將研究問題(3)的反散射問題，即通過測量遠(yuǎn)場模式u∞反演障礙D 的位置和形狀，其目標(biāo)是提出一類新型的線性采樣方法，使得該方法在任意給定的波數(shù)下都是有效的，同時(shí)又易推廣到其他情形.

令w :=us-ps，易驗(yàn)證w 滿足如下問題

再令p:=uinc+ps及定義入射算子H :L2(S2)→H1/2(?D)：

則可以證明如下結(jié)果.

證明 為了證明H 的單射，引入函數(shù)

若存在g ∈L2(S2)使得Hg =0，則U|?D=0.再由p 與U 的定義可知，U 滿足如下問題

利用Green 定理及Holmgren’s 唯一性定理易得，當(dāng)x ∈R3Bδ(x*)時(shí)，U(x)=0.又因?yàn)閜=uinc+ps，所以

由(8)式可知其左端和右端同時(shí)為0.若不然，不難發(fā)現(xiàn)(8)的右端滿足Sommefeld 輻射條件，而左端不滿足Sommefeld 輻射條件，這導(dǎo)致了矛盾.然后，利用唯一延拓原理及文獻(xiàn)[13， 定理3.19]可得g =0.故H 為單射.

為了證明Range(H)在L2(S2)上的稠密性，根據(jù)泛函分析中的理論可知，這等價(jià)于證明H 的伴隨算子H*: H-1/2(?D) →L2(S2)是單射.為此，對于ψ ∈H-1/2(?D)，首先通過積分交換次序可得

其中H*定義為

上式的推導(dǎo)中已經(jīng)利用了(5)的解的混合交互關(guān)系

時(shí)，散射解ps:=Gs(z，x)對應(yīng)的遠(yuǎn)場模式.

定義函數(shù)

下一步，引入新的遠(yuǎn)場算子FM:L2(S2)→L2(S2)：

其中u∞與p∞分別對應(yīng)于問題(3)和(5)中解的遠(yuǎn)場模式.那么，本文提出的新型采樣方法主要基于求解第一類積分方程

針對方程(10)，可以得出如下的主要結(jié)果.

定理3(i) 若z ∈D，對任意的ε ＞0，存在gz，ε∈L2(S2)，滿足

證明 為了證明(i)，首先證明下面的充分必要條件

這矛盾于

再若z ∈?D，則

這也矛盾于

因此假設(shè)z /∈D 不成立，即z ∈D.故(11)式成立.

注意到，根據(jù)線性疊加原理得FM=-LH.這聯(lián)合(12)及L 的有界性進(jìn)一步得

這里，C ＞0 是一個(gè)固定常數(shù)，僅依賴L 的范數(shù).

這是個(gè)矛盾.因此

其解可表示為如下形式

其中(μn，ψn，φn)為算子L 的奇異值系統(tǒng).注意到，根據(jù)文獻(xiàn)[12， 定理2.13]，fα是相應(yīng)的Tikhonov 泛函的極小值.因此，對于給定的δ ＞0，通過選擇正則化參數(shù)α，下式成立

再利用Picard 定理，可得

另一方面，由于Range(H) 在H1/2(?D)中是稠密的(引理2)，所以存在函數(shù)gz∈L2(S2)，使得對于給定的ε ＞0，

再聯(lián)合(14)及(15)式可得

最后，類似于情形(i)，容易證明