鐘陽弟

(廣東省國土資源測繪院,廣東 廣州 510000)

三維激光掃描儀獲取建筑物或者構(gòu)件的點(diǎn)云數(shù)據(jù)時(shí)，往往需要多測站掃描。如果在掃描時(shí)可以直接得到相鄰兩站同名點(diǎn)的地理坐標(biāo)，可以將測站坐標(biāo)轉(zhuǎn)換至統(tǒng)一的地理坐標(biāo)系下進(jìn)行拼接；若采用靶球等作為公共點(diǎn)傳遞或者其他無法得到相鄰測站公共點(diǎn)地理坐標(biāo)的，一般采用序列拼接的方式，依次進(jìn)行坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的誤差將會傳遞與積累，使得最終模型拼接精度不高。因此，高精度求得坐標(biāo)轉(zhuǎn)換參數(shù)尤為重要。本文引用多元變量總體最小二乘非迭代方法對系數(shù)陣和觀測向量進(jìn)行改正，能較好地解決系數(shù)矩陣和觀測向量存在隨機(jī)誤差的問題，同時(shí)又能易于編程實(shí)現(xiàn)，快速計(jì)算。

1 最小二乘法

陳義等提出了一種基于空間大旋轉(zhuǎn)角的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換方法[1]，該方法簡單嚴(yán)密，適用性廣。旋轉(zhuǎn)矩陣9個(gè)參數(shù)中有3個(gè)獨(dú)立變量，其余6個(gè)為非獨(dú)立旋轉(zhuǎn)參數(shù)，因此將三維基準(zhǔn)轉(zhuǎn)換模型進(jìn)行泰勒級數(shù)展開，將9個(gè)方向余弦作為未知變量，建立包含13個(gè)未知參數(shù)的觀測方程，再利用旋轉(zhuǎn)矩陣的正交性作為限制條件，列出平差模型[2]。當(dāng)控制點(diǎn)數(shù)量大于3時(shí)，通常采用最小二乘的方法建立誤差模型進(jìn)行解算。對于觀測方程y=Aξ，就是假設(shè)觀測矩陣A不包含隨機(jī)誤差，只有觀測向量y包含隨機(jī)誤差。本文對最小二乘法函數(shù)模型不做詳細(xì)推導(dǎo)闡述。

2 多元變量總體最小二乘法

最小二乘法采用的誤差模型認(rèn)為所有誤差都包含在目標(biāo)系統(tǒng)[3]中，即觀測方程無需改正。事實(shí)上每一種測量值都包含各種各樣的誤差(如粗差、人為誤差、模型誤差和取樣誤差)，所以設(shè)計(jì)矩陣A也是包含未知的隨機(jī)誤差的，此時(shí)再用傳統(tǒng)的誤差模型求出的參數(shù)估值并不是最優(yōu)的，這是由于模型誤差引起的。而采用總體最小二乘方法建立誤差模型，就可以同時(shí)考慮觀測矩陣和系數(shù)矩陣包含的隨機(jī)誤差問題[4]，從而得到更精確的參數(shù)解。

Felus等[5]提出的同方差相似變化表達(dá)為：

總體最小二乘方法的誤差函數(shù)模型及隨機(jī)模型如下：

Y-EY=(A-EA)R

(2)

RTR=I

(3)

(4)

vec(EY)T·vec(EY)+vec(EA)T·vec(EA)=min

(5)

即誤差平方和最小：

(6)

所以構(gòu)造Lagrange目標(biāo)方程：

(7)

式中,λ為n×3 Lagrange乘向量。由(7)式對各未知數(shù)求導(dǎo)得：

(8)

聯(lián)立五式得到：

(9)

(10)

將式(9)、式 (10)帶入式(6)得：

(11)

再將式(3)分別帶入到式(9) 、式(11)得：

(12)

(13)

所以若旋轉(zhuǎn)矩陣R已知，則上式是只關(guān)于變量的方程式，要使等式左邊最小，將等式右邊展開得：

(14)

(15)

(16)

該方法驗(yàn)后單位權(quán)中誤差的計(jì)算公式采用

(17)

(18)

旋轉(zhuǎn)角度可以根據(jù)下式計(jì)算

(19)

式中,Rij為旋轉(zhuǎn)矩陣R中第i行j列元素；εx,εy，εz分別為笛卡爾坐標(biāo)系中繞坐標(biāo)軸XY和Z的旋轉(zhuǎn)角。

所以計(jì)算誤差模型中最優(yōu)相似轉(zhuǎn)換參數(shù)的步驟總結(jié)如下：

(2)進(jìn)行SVD分解：ATY=U∑V；

(3)令D=diag(1,1,det(UVT))；

式中，1n是n×1階各元素都為1的列向量。

3 實(shí)驗(yàn)分析

為了論證上述算法的正確性、可行性及精確性，本次實(shí)驗(yàn)采用最小二乘迭代算法(LS)和多元變量總體最小二乘法(簡稱PSTLS)兩種算法，編寫程序利用實(shí)際數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算，分別從參數(shù)估值、單位權(quán)中誤差、坐標(biāo)較差等幾個(gè)方面對結(jié)果進(jìn)行對比和分析。已知某新體育館框架結(jié)構(gòu)中一個(gè)構(gòu)件的剛體坐標(biāo)系和測量坐標(biāo)系下的兩套坐標(biāo)，坐標(biāo)如表1所示。剛體結(jié)構(gòu)坐標(biāo)是相對位置坐標(biāo)，采用的坐標(biāo)系方向：X為北、Z為東、Y向上，原點(diǎn)為構(gòu)件端點(diǎn)鉸的中心，且為右手系。測量采用的坐標(biāo)系方向：X為北、Y向東、Z向上，原點(diǎn)為任意假設(shè)，且測量坐標(biāo)系為左手系。兩個(gè)坐標(biāo)系的指向存在未知的夾角，均采用重心坐標(biāo)系進(jìn)行數(shù)據(jù)計(jì)算，用各程序算出坐標(biāo)轉(zhuǎn)換參數(shù)結(jié)果如表2所示。

表1 剛體坐標(biāo)系和測量坐標(biāo)系下對應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)

表2 LS和PS-TLS計(jì)算出的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換參數(shù)

分別利用LS和PS-TLS兩種方法計(jì)算的關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)值和已知坐標(biāo)值的對比差值如表3所示。

由LS和PS-TLS兩種方法計(jì)算結(jié)果的精度如表4所示。

表3 LS和PS-TLS法計(jì)算出的已知點(diǎn)坐標(biāo)差/mm

表4 三種方法坐標(biāo)轉(zhuǎn)換精度比較

由轉(zhuǎn)換精度可知PS-TLS法比LS法精度更高，從轉(zhuǎn)換的已知點(diǎn)坐標(biāo)差值看，PS-TLS法的差值更小。兩種方法從精度方面都達(dá)到了0.1 mm級，能滿足常規(guī)工程應(yīng)用，方法可行。運(yùn)算過程中，LS法耗時(shí)112 s，PS-TLS法耗時(shí)23 s，效率上講PS-TLS法更優(yōu)。

4 結(jié) 語

最小二乘迭代法主要是將非線性模型轉(zhuǎn)換為線性模型[8]，可用于任意角度的旋轉(zhuǎn)，包括左、右手系坐標(biāo)之間的轉(zhuǎn)換，而無需預(yù)先知道旋轉(zhuǎn)角度的近似值。但是需要設(shè)定初始參數(shù)值，且對參數(shù)初始化要求較高，要求參數(shù)初值必須在收斂半徑內(nèi)，否則無法收斂。而多元變量總體最小二乘法是一種嚴(yán)格意義上基于點(diǎn)對點(diǎn)的配準(zhǔn)方法[9]，精度高，可以轉(zhuǎn)換任意角度的兩套坐標(biāo)系，計(jì)算過程中沒有矩陣求逆，在球形標(biāo)靶分布不均勻或者數(shù)量較小的情況下，也能得到高精度的解算，該算法還易于編程實(shí)現(xiàn)。該方法在點(diǎn)云拼接過程中能夠極大程度上提高拼接精度，簡單可行。

但它只是同方差的3D轉(zhuǎn)換，如果兩套坐標(biāo)點(diǎn)集的坐標(biāo)精度不一致，還需要考慮對觀測數(shù)據(jù)加權(quán)，然后再帶入算法計(jì)算。后續(xù)對加權(quán)總體最小二乘法[10]的研究以及在點(diǎn)云拼接過程的精度影響還需進(jìn)一步研究。