王桂玲，付應(yīng)雄

(湖北大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院， 湖北 武漢 430062)

0 引言

香農(nóng)采樣定理是信息論,是通訊與信號(hào)處理學(xué)科中的一個(gè)基本結(jié)論.采樣定理的重要形式之一是帶限信號(hào)的一致采樣定理.具體可描述為：設(shè)信號(hào)f的Fourier變換的支集為[-πW,πW],W>0,那么f可以由樣本值f(k/W),k∈Z完全重構(gòu).即：

其中級(jí)數(shù)在R上絕對(duì)一致收斂.

后來(lái)人們研究了采樣定理各種推廣.20世紀(jì)80年代，德國(guó)數(shù)學(xué)家P. L. Butzer等引入了廣義采樣算子理論,用廣義的核函數(shù)替代采樣函數(shù)sinπt/πt,并研究采樣算子的逼近性質(zhì)[1-2].隨后，許多學(xué)者研究了廣義采樣算子的理論及其應(yīng)用[3-6].最近,在文獻(xiàn)[5]中，作者考慮了采樣算子的另一種拓展形式,稱之為極大乘積型采樣算子,并研究了其收斂和逼近性質(zhì).本研究在文獻(xiàn)[7]的基礎(chǔ)上，引進(jìn)并研究廣義多元極大乘積型采樣算子.在一般假設(shè)下,基于廣義絕對(duì)矩方法,建立極大乘積多元廣義采樣算子的逼近階.最后,我們給出廣義多元極大乘積型采樣算子的具體例子.

1 定義和記號(hào)

ωI(f,δ):=sup{|f(x)-f(y)|:x,y∈I,‖x-y‖2≤δ}.

ωI(f,λδ)≤(λ+1)·ωI(f,δ)

(1)

接下來(lái)，我們介紹下面的符號(hào)[9-11]，是研究本文中極大類型運(yùn)算符的基礎(chǔ)工具.定義

文獻(xiàn)[7]中，給出了單變量核函數(shù)的定義，構(gòu)造出極大乘積型廣義采樣算子.在此基礎(chǔ)上，我們定義多元核函數(shù)并構(gòu)造多元極大乘積型采樣算子.

定義1.1如果χ:Rs→R滿足以下假設(shè)條件，則稱χ為多元核函數(shù)：

C1)存在β>0,使得廣義絕對(duì)β階矩χ是有限的，那么

在多元核函數(shù)χ的基礎(chǔ)上，我們給出多元極大乘積型采樣算子的定義.

2 主要結(jié)論

性質(zhì)2.1的證明由于性質(zhì)i), ii), iv)都可直接得到，這里僅證明性質(zhì)iii).對(duì)于每一個(gè)x∈Rs,有

f(x)=f(x)-g(x)+g(x)≤|f(x)-g(x)|+g(x).

相似地，

g(x)≤|g(x)-f(x)|+f(x).

利用i)和ii),可得

因此，由上述不等式可知

接下來(lái)，我們給出關(guān)于多元極大乘積型采樣算子的兩個(gè)定理.

定理2.2設(shè)f∈C+(Rs)是有界函數(shù)，且f在點(diǎn)x∈Rs處連續(xù).那么

設(shè)f∈UC+(Rs)，有

定理2.3設(shè)χ滿足條件C1),β≥1.設(shè)f∈UC+(Rs),且x∈Rs,則對(duì)于足夠大的n∈N+,有

其中，m0(χ)和m1(χ)有限.

3 結(jié)論的證明

在證明主要結(jié)論之前，我們先介紹幾個(gè)引理.

引理3.1設(shè)x∈Rs,則對(duì)于每一個(gè)n∈N+,有

引理3.1的證明根據(jù)文獻(xiàn)[7](定理2.3)可得，對(duì)于每一個(gè)x∈Rs,有

引理3.2設(shè)χ:Rs→R是一個(gè)有界函數(shù)，且滿足條件C1),β>0,有

mν(χ)<+∞,0≤ν≤β.

引理3.2的證明設(shè)0≤ν≤β,則對(duì)于每一個(gè)x∈Rs,有

因此

引理得證.

引理3.3設(shè)χ:Rs→R是一個(gè)有界函數(shù)，且滿足條件C1),γ>0,有

引理3.3的證明設(shè)x∈Rs,則對(duì)每一個(gè)n∈N+,有

引理得證.

基于上述引理，我們證明定理2.2.

定理2.2的證明設(shè)f在點(diǎn)x∈Rs上連續(xù)，且fx(t):=f(x),t∈Rs.由性質(zhì)iii),可推得:

其中，n∈N+足夠大.由引理3.1可得:

首先估計(jì)I1.若‖nx-k‖2≤nγ,則‖x-(k/n)‖2≤γ,利用引理3.2,可推得

估計(jì)I2,利用f的有界性和引理3.3,推得

綜合I1和I2的結(jié)果，可得

定理2.2得證.

在定理2.2的基礎(chǔ)上，我們給出定理2.3的證明如下.

定理2.3的證明對(duì)固定的x∈Rs和足夠大的n∈N+,由定理2.2的證明，可以推出

其中

|f(k/n)-f(x)|≤ωRs(f,‖(k/n)-x‖2)≤(n·‖(k/n)-x‖2+1)ωRs(f,1/n).

將式(3)代入式(2),可得

其中m0(x),m1(x)有限.

4 核函數(shù)例子

本節(jié)給出一個(gè)滿足假設(shè)條件C1)和C2)的多元核函數(shù)示例.假設(shè)定義多元函數(shù)[12]，表達(dá)式如下:

給出多元sinc-函數(shù)[13]的定義:

5 總結(jié)

在本節(jié)中，我們與現(xiàn)有文獻(xiàn)結(jié)論相比較，最后總結(jié)由本研究結(jié)果的新穎性.

對(duì)于每一個(gè)u∈R,在具有緊支撐的核χ的情況下,這表明是收斂的必要和充分條件[8].同時(shí),在具有無(wú)限支持的內(nèi)核的情況下,上述假設(shè)必須與C1)中所要求的矩型條件相關(guān)聯(lián).但是，在線性情況下，離散絕對(duì)矩的定義中,我們用V-運(yùn)算符代替了求和.這種差異不可忽略，要使離散絕對(duì)矩的,性形式的具有有限性,所以我們需要比極大乘積情況更強(qiáng)的假設(shè).

鑒于以上考慮,我們可以得出結(jié)論，在假設(shè)條件下,基于廣義絕對(duì)矩方法,獲得了極大乘積多元廣義采樣算子的逼近估計(jì),使我們能夠擴(kuò)展一些以前的結(jié)果.與通常的廣義采樣算子相比,多元極大乘積型采樣算子的收斂結(jié)果(以及逼近估計(jì))可以應(yīng)用于更廣泛的多元內(nèi)核族.