葉志勇，羅良剛，羅小玉

（重慶理工大學(xué) 理學(xué)院，重慶 400054）

近年來，二維系統(tǒng)的控制問題受到了廣泛關(guān)注，被應(yīng)用到電路分析、圖像處理、信號(hào)濾波和其他的電力工程等領(lǐng)域，并取得了豐碩的研究成果。Megretski等［1］研究了一類線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題，將狀態(tài)x取值固定到2個(gè)值的區(qū)域，得到傳遞函數(shù)的經(jīng)典軌跡，證明了線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性。并且，通過實(shí)例驗(yàn)證理論的實(shí)用性；Kar等［2］基于Roesser模型，描述了不動(dòng)點(diǎn)狀態(tài)空間的二維數(shù)字濾波器，研究其全局漸近穩(wěn)定性問題。并且提出濾波器無極限環(huán)實(shí)現(xiàn)的新準(zhǔn)則。Kar H等［3］建立了不確定二維離散系統(tǒng)在不同溢出和量子化非線性組合下的全局漸近穩(wěn)定性的新判據(jù)。給出了不確定二維離散系統(tǒng)在廣義溢出算法下無溢出振蕩的充分條件。

帶有馬爾可夫跳的混雜系統(tǒng)的控制問題也是控制鄰域中研究的熱點(diǎn)之一。馬爾可夫鏈的優(yōu)勢(shì)在于擅長(zhǎng)對(duì)突然改變的結(jié)構(gòu)或參數(shù)變化進(jìn)行建模，涌現(xiàn)了大量的研究成果。Aberkane等［4-7］介紹了帶有馬爾可夫跳的系統(tǒng)的穩(wěn)定性條件，給出詳細(xì)的證明，并通過數(shù)值模擬驗(yàn)證了其可行性及有效性。

同步控制器和濾波器是控制領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)，同步控制器和濾波器需要嚴(yán)苛的限制條件，在實(shí)際應(yīng)用中往往不能取得良好的效果。因此，越來越多學(xué)者更加關(guān)注異步控制。Du等［8］建立了對(duì)二維帶馬爾科夫跳的羅塞爾系統(tǒng)的H∞控制問題。Wu等［9］研究了離散馬爾可夫跳系統(tǒng)的異步控制問題，采用隱馬爾可夫模型描述了系統(tǒng)模式與控制器模式之間的異步現(xiàn)象，利用矩陣不等式方法，給出了保證隱馬爾可夫跳變系統(tǒng)的3個(gè)等價(jià)充分條件。另一方面，Wu等［10］研究了具有帶有馬爾可夫跳的模糊系統(tǒng)的異步耗散問題，利用隱馬爾可夫模型完成異步控制，并且建立依賴于模型的李雅普諾夫函數(shù)，提出嚴(yán)格的耗散條件和穩(wěn)定性條件。

本文主要研究了對(duì)帶有馬爾可夫跳的二維羅塞爾系統(tǒng)的異步無源性控制問題。本文的主要內(nèi)容包括以下兩個(gè)方面：首先，我們對(duì)帶有二維馬爾可夫跳的羅塞爾系統(tǒng)的異步無源性耗散控制進(jìn)行了研究，提出了保證無源性的條件。然后，提出保證二維羅塞爾系統(tǒng)（帶有馬爾可夫跳）的穩(wěn)定性條件。

第1節(jié)介紹帶有馬爾可夫跳的二維Roesser系統(tǒng)和無源性控制的預(yù)備知識(shí)。第2節(jié)提出了穩(wěn)定性和無源性的相關(guān)定理，并通過李雅普諾夫理論、隨機(jī)分析和線性矩陣不等式方法，證明了帶有馬爾可夫跳的二維羅塞爾系統(tǒng)的無源性和穩(wěn)定性。第3節(jié)利用數(shù)值模擬，驗(yàn)證相關(guān)理論的有效性和可行性。

1 預(yù)備知識(shí)

本文將研究含有馬爾可夫跳的二維Roesser模型，如系統(tǒng)（1）所示：

其中，

水平方向的狀態(tài)表示為xh∈Rnh，同理，垂直方向的狀態(tài)為xv∈Rnv?？刂戚斎氡硎緸閡（i，j）∈Rnu，擾動(dòng)輸入表示為ω（i，j）∈Rnω，輸出表示為y（i，j）∈Rny，控 制 輸 出 表 示 為z（i，j）∈Rnz。A（γi，j），B（γi，j），C（γi，j），E（γi，j），F(xiàn)（γi，j），G1（γi，j），G2（γi，j），G3（γi，j），G4（γi，j）是已知的相應(yīng)維數(shù)的實(shí)值矩陣，并且它們都是馬爾可夫鏈γi，j的函數(shù)。其中，馬爾可夫鏈γi，j的值屬于集合H1＝｛1，2，…，k1｝。相應(yīng)的轉(zhuǎn)移函數(shù)矩陣為Λ ＝｛λpq｝，其中：

δ＞0，γi，j≥0是從i到j(luò)的轉(zhuǎn)移率。

根據(jù)現(xiàn)代概率理論，λpq滿足如下要求：

對(duì)?p，q∈H1，系統(tǒng)的邊界條件（X0，Γ0）定義為

同時(shí)，定義零邊界條件：xh（0，j）＝0，xv（i，0）＝0，i，j＝0，1，2，…。其中X0滿足如下假設(shè)。

假設(shè)1：假設(shè)X0滿足下列條件，

假設(shè)γi，j的準(zhǔn)確數(shù)值是難以獲得的，當(dāng)系統(tǒng)（1）中F（γi，j）為空矩陣，B1（γi，j）為列滿秩的矩陣時(shí)，設(shè)計(jì)下列異步的狀態(tài)反饋控制器：

其中K（ηi，j）是控制增益矩陣，它依賴于參數(shù)ηi，j∈H2（H2＝｛1，2，…，k2｝）。同時(shí)，由γi，j得到條件概率πps，即

利用蒙特卡洛方法得到條件概率矩陣∏＝｛πps｝。對(duì)任意的p∈H1，s∈H2，πps滿足如下2個(gè)條件

1）πps∈［0，1］；

將γi，j，γi+1，j（γi，j+1）和ηi，j簡(jiǎn)記為p，q，s。如：A（γi，j）簡(jiǎn)記為Ap。

本文將異步的狀態(tài)反饋控制器與含馬爾可夫跳的二維Roesser模型結(jié)合，即將式（6）代入系統(tǒng)（1）。得到如下的閉環(huán)動(dòng)力系統(tǒng)：

定義1當(dāng)系統(tǒng)（7）中擾動(dòng)輸入ω（i，j）≡0時(shí)，對(duì)任意邊界條件（X0，Γ0），如果滿足下列條件

則稱二維閉環(huán)系統(tǒng)（7）是漸進(jìn)均方穩(wěn)定的。

定義2二維閉環(huán)系統(tǒng)（7）滿足假設(shè)1，則稱二維閉環(huán)系統(tǒng)（7）是無源性的，如果在零邊界條件和ω（i，j）∈l2｛［0，∞），［0，∞）｝下，下列不等式被滿足：

其中，α＞0。

2 主要結(jié)論

在這一節(jié)當(dāng)中，本文將研究帶有馬爾科夫跳的二維羅塞爾系統(tǒng)的漸進(jìn)均方穩(wěn)定性和無源性。首先給出一個(gè)充分條件：

定理1在假設(shè)1的條件下，考慮閉環(huán)二維系統(tǒng)，對(duì)給定的α＞0，如果存在一個(gè)對(duì)稱矩陣Rp＝和Ks，對(duì)于?p∈H1，s∈H2，下列條件成立：

證明：基于舒爾補(bǔ)定理，下列線性矩陣不等式與矩陣（11）是等價(jià)的：

首先，對(duì)系統(tǒng)的漸進(jìn)均方穩(wěn)定性進(jìn)行證明。假設(shè)ω（i，j）≡0，定義Lyapunov函數(shù)為

那么

當(dāng)ω（i，j）＝0時(shí)，由系統(tǒng)（7）可知x1（i，j）＝~Apsx（i，j），那么有

對(duì)ΔV（i，j）求期望，得到式（14）如下：

基于φ1可得式（15）如下：

將式（15）代入式（14），進(jìn)一步得到式（16）：

根據(jù)式（16），得到：

另一方面，

下面，讓m和n趨于無窮大，

由此可知定義1成立，所以系統(tǒng)（7）是漸進(jìn)均方穩(wěn)定的。

根據(jù)舒爾補(bǔ)定理，得到：

其中，

下面定義J，通過式（10）和式（23），得到：

其中，

得到

在零邊界條件下，結(jié)合式（24）和式（25），即得到式（26）為

根據(jù)定義2，得知系統(tǒng)表達(dá)式（7）是無源性的。綜上所述，該定理證明完成。

4 數(shù)值模擬

本節(jié)利用數(shù)值模擬驗(yàn)證了系統(tǒng)表達(dá)式（7）的耗散性和穩(wěn)定性。

例：令

為帶有馬爾可夫跳的二維羅塞爾模型系數(shù)矩陣。其轉(zhuǎn)移概率矩陣如下：

利用Matlab軟件可實(shí)現(xiàn)下列馬爾可夫切換（圖1）。

通過下列等式檢查無源性：

根據(jù)上述等式，得到Qc（Ti，Tj）參數(shù)（圖2）。

進(jìn)一步獲得了參數(shù)α的最小值為1.927 1。

5 結(jié)束語

現(xiàn)有的研究通常以同步控制為主，但是同步控制所得的模型在現(xiàn)實(shí)中很難得到。考慮到系統(tǒng)模式信息的不可獲取性，本文在異步控制基礎(chǔ)上研究了二維帶有馬爾可夫跳羅塞爾系統(tǒng)的異步無源性控制，建立了被控二維系統(tǒng)與控制器之間異步的隱馬爾可夫模型，并將一維系統(tǒng)的無源性推廣到二維系統(tǒng)，得到了保證系統(tǒng)漸近均方穩(wěn)定性和無源性的充分條件，給出相關(guān)證明。模擬結(jié)果表明無源性不等式中參數(shù)α的最小值1.927 1，驗(yàn)證了理論的可行性和有效性。在研究過程中，本文發(fā)現(xiàn)在二維羅塞爾系統(tǒng)中，i和j區(qū)間沒有加以限制，不具有普遍性。將i和j固定到有限域?yàn)槟繕?biāo)，進(jìn)行深入研究，并給出保證穩(wěn)定性和無源性的充分條件是今后的研究方向。