曹松峰

4.1 線段、角、相交線和平行線

考點、 易混易錯點解讀

點、線、角、相交線和平行線、尺規(guī)作圖等知識，是圖形與幾何領(lǐng)域的基底，中考出題的頻率較高，尤其是平行線的性質(zhì)和判定方法，備受中考命題者的青睞，題型大多是選擇、填空題，難度不大.

本節(jié)內(nèi)容具有概念、命題多的顯著特點，如果我們對一些基本概念缺乏全面深刻的理解，不能迅速準確地識別相交線中的“三線八角”，或?qū)ζ叫芯€的性質(zhì)與判定方法等一些命題的條件和結(jié)論分辨不清，就會在使用時張冠李戴，導致運算推理的依據(jù)不足、理由不充分，

高頻考點例題點撥

一、兩點之間的距離

例1 （2019.吉林?。┣鷺蚴俏覈糯?jīng)典建筑之一，它的修建增加了游人在橋上行走的路程，有利于游人更好地觀賞風光.如圖1，A，日兩地間修建曲橋與修建直橋相比，增加了橋的長度，其中蘊涵的數(shù)學道理是（

）.

A.兩點之間，線段最短

B.平行于同一條直線的兩條直線平行

C.垂線段最短

D.兩點確定一條直線

解析：蘊涵的數(shù)學道理是：兩點之間，線段最短.選A.

點撥：“兩點之間，線段最短”這個基本事實是數(shù)學運算和推理的出發(fā)點.

二、點到直線的距離

例2 （2019.常州）如圖2，在線段PA，PB，PC，PD中，長度最小的是（?）.

A.線段PA

B.線段PB

C.線段PC

D.線段PD

解析：在四條線段中，PB是點P到直線AD的垂線段，也就是點P到直線AD的距離，故選B.

點撥：本題考查“垂線段最短”.

三、余角、補角的概念

例3 （2019.常州）如果∠a=35°，那么∠a的余角等于____.

解析：∵35°+55°=90°，

∴∠a的余角等于55°.

點撥：和為900的兩個角互為余角，和為180°的兩個角互為補角，這兩個概念中僅含數(shù)量關(guān)系，均不涉及位置關(guān)系.

四、角平分線

例4 （2019-濰坊）如圖3.已知∠AOB.按照以下步驟作圖：

①以點O為圓心，以適當?shù)拈L為半徑作弧，分別交∠AOB的兩邊于

C，D兩點，連接CD.

②分別以點C，D為圓心，以大于線段OC的長為半徑作弧，兩弧在∠AOB內(nèi)交于點E，連接CE，DE.

③連接OE交CD于點M.

下列結(jié)論中錯誤的是（?）.

A.∠CEO= ∠DEO

B.CM=MD

C.∠OCD= ∠ECD

D

S四邊形OCED=1/2CD.OE

D.S四邊形OCED=1/2CD.OE

解析：由作圖步驟可得△COE≌△DOE，則OE是∠A OB的平分線.

∴∠CEO= ∠DEO.CM=MD.

易得.S四邊形OCED=1/2 CD.OE，但不能得出∠OCD=∠ECD.故選C.

點撥：如果沒有留心步驟②中的“以大于線段OC的長為半徑作弧”，就有可能誤選.基本作圖題一般要求保留作圖痕跡，不要求寫出作圖步驟，并且時常伴隨著線段、角度關(guān)系的提問，從側(cè)面考查同學們對作圖依據(jù)的理解和掌握情況.

五、平行線的性質(zhì)與判定

例5（2019.仙桃）如圖4，CD//AB，點O在AB上，OE平分∠BOD.OF⊥OE，∠D=110°，則∠A OF的度數(shù)是（?）.

A. 20°

B. 25°

C. 30°

D. 35°

點撥：本題考查平行線的性質(zhì)、垂直及角平分線的概念等，事實上，由題意易知OF平分∠AOD，由此推算更為簡便.

例6 （2019.菏澤）如圖5，AD//CE，∠ABC=100°，則∠2-∠1的度數(shù)是_____

.

點撥：本題具有十分豐富的內(nèi)涵：可看作由人教版數(shù)學課本七年級下冊第23頁第7（2）題改編而成的;本題有不少變式，例如互換問題的結(jié)論和部分條件，改變圖形的形狀等;建立∠ABC與∠1，∠2之間的聯(lián)系，有多種作輔助線的方法，如延長AB與CE相交構(gòu)造三角形，應當注意的是：在過點B作BF//AD（或CE）時，不要出現(xiàn)“過點B作AD，CE的平行線BF'之類的表述，因為過點B不能作一條直線同時與兩條直線平行，只能先作出和其中一條平行的直線，再依據(jù)直線平行的傳遞性去證明它與另一條直線也平行.

中考命題預測

1.已知∠a=60°32，則∠a的余角是（?）.

A.29°28'

B.29°68'

C.119°28'

D.119°68'

2.如圖7，AB//CD，∠FGB=154°，F(xiàn)G平分∠EFD，則∠AEF的度數(shù)等于（?）.

A. 26°

B.52°

C.54°

D.77°

3.如圖8.將一副三角板和一張對邊平行的紙條按下列方式擺放.兩個三角板的一直角邊重合，含30°角的直角三角板的斜邊與紙條一邊重合，含45°角的三角板的一個頂點在紙條的另一邊上，則∠1的度數(shù)是（?）.

A.15°

B.22.5°

C.30°

D.45°

4.下面是“經(jīng)過已知直線外一點作這條直線的垂線”的尺規(guī)作圖過程.

已知：如圖9.直線l和l外一點P.

求作：直線Z的垂線，使它經(jīng)過點P.

作法：如圖10.

（1）在直線Z上任取兩點A，B.

（2）分別以點A，B為圓心，AP，BP的長為半徑作弧，兩弧相交于點Q.

（3）作直線PQ.

直線PQ就是所求的垂線，

請回答：該作圖的依據(jù)是.

4.2 三角形及其全等

考點、易混易錯點解讀

三角形及其全等是中考的必考內(nèi)容，主要考查三角形中的線段、角，全等三角形的性質(zhì)、判定方法，或在圖形變換背景下，融人多邊形、圓，綜合考查三角形知識的應用.

三角形中的三條邊、三個內(nèi)角、邊與角之間存在一定的數(shù)量關(guān)系，這是我們處理所有三角形問題時應牢記的隱含條件.如果題目沒有給出圖形，或未將文字敘述與圖形一一對應，在畫出圖形或?qū)⒃仃P(guān)系用圖形表示時，不要把問題特殊化.例如，不能只想到銳角三角形或直角三角形，而忽略鈍角三角形的情形：不能把一般的三角形畫成等腰三角形、直角三角形等，在判定三角形全等時，必須注意對應關(guān)系，學會分析“基本圖形”，通過適當添加輔助線構(gòu)造全等三角形，善于發(fā)掘隱含的元素關(guān)系并適時轉(zhuǎn)化，靈活運用“邊邊邊”“邊角邊”“角邊角”“角角邊”等判定方法.

高頻考點例題點撥

一、三角形三邊的關(guān)系

例1 （2019.畢節(jié)）在下列長度的三條線段中，不能組成三角形的是（?）.

A.2 cm，3 cm，4 cm

B.3 cm，6 cm，7 cm

C.2 cm，2 cm，6 cm

D.5 cm，6 cm，7 cm

解析：運用三角形三邊關(guān)系的結(jié)論，逐一驗證各個選項，易知應選C.

點撥：三角形任意兩邊的和大于第三邊，任意兩邊的差小于第三邊，在判斷時，只需檢驗較短的兩條線段之和是否大于較長的線段即可.

二、三角形的內(nèi)角和定理

例2 （2019.哈爾濱）在△ABC中，∠A=50°.∠B=30°，點D在AB邊上，連接CD.若△ACD為直角三角形，則∠BCD的度數(shù)為____.

解析：若△ACD為直角三角形，需分兩種情況討論：（1）如圖1，當∠ADC=90°時，由∠B=30°.可知∠BCD=90°-30°=60°.

（2）如圖2，當∠A CD=90°時，由∠A=50°，∠B=30°，可知∠A CB=180°-30°-50°=100°，∠BCD=100°-90°=10°.

綜上可知，∠BCD的度數(shù)為60°或10°.

點撥：解答此題容易犯的錯誤是忽略分類討論，導致漏解，

三、三角形中的重要線段

例3 （2019.張家界）如圖3，在△ABC中，∠C=90°，AC=8，DC=1/3AD，BD平分∠ABC，則點D到AB的距離等于（?）.

A. 4

B. 3

C. 2

D. 1

解析：如圖4，過點D作DE⊥AB于點E.

∵AC=8 ，DC=1/3AD，

∴CD=2.

又BD平分∠ABC，∠C=90°，DE⊥AB，

∴DE=DC=2.

∴.點D到AB的距離等于2.故選C.

點撥：由角平分線的性質(zhì)還可以推出一些簡單有用的結(jié)論，例如，在“BD平分∠ABC”的條件下，如本題圖所示，不難證明S三角形BCD：Si角形ABC=BC：BA，S三角形BCD：S三角形ABD=CD：AD等.

例4 （2019.菏澤）如圖5，在△ABC中，∠A CB=120°，BC=4，D為AB的中點.DC⊥BC.則△ABC的面積是

解法一：∵DC⊥BC，

∴∠BCD=90°.

∵∠ACB=120°.

∴∠ACD=30°.

如圖6.延長CD到H使DH=CD，連接AH.

∵∠ADH= ∠BDC，D為AB的中點，即AD=BD.

∴△ADH≌△BDC（SAS）.

∴AH=BC=4， ∠H=∠BCD=90°.

∵∠A CH=30°.

∴CH=√3AH=4√3，

易得Rt△ACH的面積等于8√3，故△ABC的面積為8√3.

解法二：如圖7，過點D作DG //BC與AC相交于G.易知∠CDG=90°.∠CGD=60°.DG=2.CD=2√3.故Rt△BCD的面積等于4√3.AABC的面積等于Rt△BCD面積的2倍，故△ABC的面積為8√3.

點撥：當題目中出現(xiàn)三角形的中線時，延長中線是解決問題的基本思路，兩種解法都較好地體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想.

四、三角形全等的性質(zhì)與判定

例5 （2019.安順）如圖8，點B，F(xiàn)，C，E在一條直線上，AB//DE，AC//DF，那么添加下列一個條件后，仍無法判定△ABC—△DEF的是（?）.

圖8

A.AB=DE

B.∠A=∠D

c.AC=DF

D.BF=EC

解析：根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠B=∠E，∠A CB= ∠DFE，結(jié)合四個選項逐一驗證.易知應選B.

點撥：圖形的全等中含有形狀（角度）、大?。ㄟ呴L）相同兩個要素，二者不可或缺.由此即可迅速作出選擇.添加條件推斷三角形全等的題目，大多具有開放性，求解時需將給出的條件與全等的判定條件比對，增添缺失的邊或角的對應關(guān)系.

例6 （2019.邵陽）如圖9，已知AD=AE，請你添加一個條件，使得△ADC≌△AEB.你添加的條件是

.（不添加任何字母和輔助線）

解析：∵∠A=∠A，AD=AE，

∴若添加AB=AC，則滿足“SAS”的條件：若添加∠ADC= ∠AEB，則滿足“ASA”的條件;若添加∠ABE= ∠A CD，則滿足“AAS”的條件.

∴答案不唯一，可以是AB=AC或∠ADC=∠AEB或∠ABE=∠A CD.

點撥：本題的“母題”是人教版數(shù)學課本八年級上冊第40頁例3或第43頁習題第2題，這一開放性變式可以全面考查同學們對全等三角形判定方法的理解和掌握情況.

例7 （2019.菏澤）如圖10.D是AB上一點.DF交AC于點E，DE=FE，F(xiàn)C//AB.若AB=4，CF=3，則BD的長是（?）.

A. 0.5

B.1

C.1.5

D.2

解析：∵CF//AB，

∴∠A=∠FCE.∠ADE=∠F.

又DE=FE.

∴△A DE≌△CFE.

∴AD=CF=3.

∵AB=4.

∴DB=A B-A D=1.選B.

點撥：本題可看作人教版數(shù)學課本八年級上冊第45頁第12題的一種變式，利用全等三角形的性質(zhì)推理得到線段與線段、角與角之間的數(shù)量關(guān)系，

中考命題預測

1.在△ABC中，AC=5，中線AD=7，則AB邊長度的取值范圍是（?）.

A. 1

B. 4

C. 5

D. 9

2.如圖11.點D在BC的延長線上，DE ⊥AB于點E，交AC于點F;若∠A =35°，∠D =15°，則∠A CB的度數(shù)為（?）

A.65°

B.70° C.75°D.85°

3.如圖12.BD是△ABC的角平分線.AE⊥LBD.垂足為F若∠ABC=35°，∠C=55°，則∠CDE的度數(shù)為（?）.

A.35°

B.40°

C.45°

D.50°

4.在△ABC中，AB=13 cm，AC=20 cm，BC邊上的高為12 cm，則△ABC的面積為__cm2.

5.如圖13，在△ABC中，AD是BC邊上的中線.E是AB邊上一點，過點C作CF//AB交ED的延長線于點F （l）求證：△BDE≌△CDF.

（2）當AD⊥BC，AE=1，CF=2時，求AC的長.

4.3 等腰三角形和直角三角形

考點、易混易錯點解讀

中考大多考查等腰三角形的等邊對等角和“三線合一”、勾股定理、直角三角形中30°角所對的直角邊等于斜邊的一半、斜邊上的中線等于斜邊的一半等重要性質(zhì);或通過翻折、旋轉(zhuǎn)等變換，結(jié)合全等三角形、平行四邊形間接考查上述知識點.

在解答有關(guān)等腰三角形的題目時，如果題目沒有明確給出腰和底角，注意要考慮周全，進行必要的分類討論，在運用直角三角形的有關(guān)性質(zhì)解題時，一定要注意定理的適用條件，弄清一般和特殊、性質(zhì)與判定的聯(lián)系與區(qū)別.

高頻考點例題點撥

一、線段垂直平分線的性質(zhì)定理

例1 （2019.深圳，有改動）如圖1，已知AB =AC，AB=5，BC =3AB的垂直平分線MN與AC相交于點D.則△BDC的周長為（?）.

A.8

B.10

C.11

D.13

解析：∵MN是線段AB的垂直平分線，

∴AD=BD.

∴△BDC的周長=BD+DC+BC=A D+DC+BC=A C+BC=A B+BC=8.選A.

點撥：求解本題的關(guān)鍵是利用等腰三角形和線段的垂直平分線的性質(zhì)實現(xiàn)問題的轉(zhuǎn)化，

二、“等邊對等角”與“等角對等邊”

例2（2019.武威）定義：等腰三角形的頂角與其一個底角的度數(shù)的比值 k稱為這個等腰三角形的“特征值”.若等腰△ABC中，∠A =80°，則它的特征值k=____.

點撥：對于“新定義”問題，力求做到“即學即用”.在解答本題時，由于沒有指明∠A是底角還是頂角，所以必須分類討論，以免犯“以偏概全”的錯誤.

點撥：本題可看作人教版數(shù)學課本八年級上冊第34頁第6題的一種變式，“等角對等邊”也是判定線段相等的常用方法.當然，在第（2）小題中，通過證明△DBO≌△ECO，同樣可以證得OB=OC.

三、等腰三角形的“三線合一”

例4（2019.哈爾濱）如圖3，在四邊形ABCD中，AB=AD，BC=DC，∠A =60°，點E為AD邊上一點，連接BD，CE，CE與BD交于點F，且CE //AB若AB=8，CE=6，則BC的長為________.

點撥：連接AC為利用等腰三角形的“三線合一”及其他性質(zhì)創(chuàng)設(shè)了條件，

四、直角三角形的性質(zhì)

例5 （2019.黔西南州）三角板是我們學習數(shù)學的好幫手.將一對直角三角板如圖5放置，點C在FD的延長線上，點B在ED上，AB //CF， ∠F= ∠ACB =90°， ∠E=45°，∠A =60°，AC=10，則CD的長度是____.

點撥：過點B作FD的垂線，溝通已知與未知之間的聯(lián)系是順利求解的關(guān)鍵，

例6（2019.北京）如圖7所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，點A，B，P是網(wǎng)格線交點，則∠PAB+∠PBA=____

中考命題預測

1.如圖9，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A =30°，DE垂直平分斜邊AC，交AB于D，E是垂足，連接CD.若BD=1，則AC的長是（?）.

A.2 √3

B.2

C.4√3

D.4

2.“三等分角”大約是在公元前五世紀由古希臘人提出來的，借助下頁如圖10所示的“三等分角儀”能三等分任一角，這個三等分角儀由兩根有槽的棒OA，OB組成，兩根棒在O點相連并可繞O轉(zhuǎn)動.C點固定，OC=CD=DE，點D，E可在槽中滑動.若∠BDE=75°，則∠CDE的度數(shù)是（?）.

A. 60°

B.65°

C.75°

D.80°

3.如圖11，將Rt△ABC的斜邊AB繞點A順時針旋轉(zhuǎn)a（0°<α<90°）得到AE，直角邊AC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)盧（0°<β<90°）得到AF，連接EF若AB=3.AC=2，且α+β= ∠B，則EF=____

4.把兩個同樣大小含450角的三角尺按如圖12所示的方式放置，其中一個三角尺的銳角頂點與另一個三角尺的直角頂點重合于點A，且另外三個銳角頂點B，C，D在同一直線上.若AB=2，則CD=________.

5.如圖13.在△4BC中，AB=AC，D是BC邊上的中點，連接AD，BE平分∠ABC交AC于點E，過點E作EF∥BC交AB于點F求證：FB=FE.

6.如圖14，在△ABC中，CD是AB邊上的高.BE是AC邊上的中線，且BD=CE.求證：

（1）點D在BE的垂直平分線上.

（2） ∠BEC=3 ∠ABE.

4.4 多邊形和特殊四邊形

考點、易混易錯點解讀

一般平行四邊形和特殊的平行四邊形的概念、性質(zhì)與判定方法都是中考的必考內(nèi)容，綜觀近幾年各地的中考試卷，除了單獨考查四邊形知識的中等難度的題目，將其融人二次函數(shù)、反比例函數(shù)、圓以及圖形變換中進行綜合考查，體現(xiàn)方程思想、分類討論思想等已成為一種新的命題走向.

判定特殊的平行四邊形時，應在正確理解題意的基礎(chǔ)上，合理確定一種判定方法，既要避免出現(xiàn)推理沒有根據(jù)、理由不充分的邏輯錯誤，也不能思路混亂，重復使用條件，或者循環(huán)論證.

高頻考點例題點撥

一、多邊形的內(nèi)角和公式

例1 （2019.南充）如圖1，以正方形ABCD的AB邊向外作正六邊形ABEFGH，連接DH，則∠ADH=____.

解析：∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=AD.∠BAD=90°.

在正六邊形ABEFGH中，AB =AH，∠BAH=120°.

易知在△AHD中.∠HAD=360° -90°一120°=150°.

∴∠ADH= ∠AHD=1/2×（180°一150°）=15°

點撥：本題也可以延長DA，與FG交于點G求解.

二、平行四邊形的性質(zhì)與判定

例2（2019.達州）如圖2，平行四邊形ABCD的對角線AC，BD相交于點O.點E是AB的中點，△BEO的周長是8.則△BCD的周長為 __-.

解析：∵平行四邊形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，

∴BO=DO=1/2BD.故BD=20B.

∵點O，E分別為AG，AB的中點，

∴AB=2BE ，BC=20E.

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴CD=A B=2BE.

∵OB+OE+BE=8，

∴ BD+BC+CD=2 （OB+OE+BE） =16，即△BCD的周長為16.

點撥：利用三角形中位線定理和平行四邊形的性質(zhì)建立△BEO與△BCD的周長之間的關(guān)系是求解的關(guān)鍵，

例3 （2019.河池）如圖3，在△ABC中，D，E分別是AB，BC的中點，點F在DE的延長線上，添加一個條件使四邊形ADFC為平行四邊形，則這個條件是（?）.

A.∠B=∠F

B.∠B=∠BCF

C.A C=CF

D.AD=CF

解析：∵在△ABC中，D，E分別是AB，BC的中點

∴DE是△ABC的中位線.

∴DE//AC.

根據(jù)∠B=∠F不能判定AD∥CF，即不能判定四邊形ADFC為平行四邊形，A選項錯誤，

根據(jù)∠B= ∠BCF可以判定CF∥AB，即CF//AD，由“兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形”得到四邊形ADFC為平行四邊形，B選項正確，

根據(jù)A C=CF不能判定AD//CF，即不能判定四邊形ADFC為平行四邊形，C選項錯誤，

根據(jù)AD=CF，F(xiàn)D //AC不能判定四邊形ADFC為平行四邊形，D選項錯誤，

綜上可知，選B.

點撥：如果誤認為“一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形”，就會錯選D.

三、特殊平行四邊形的性質(zhì)與判定

例4 （2019.岳陽）如圖4，在菱形ABCD中，點E，F(xiàn)分別為AD，CD邊上的點，DE =DF求證：∠1=∠2.

解析：∵四邊形ABCD為菱形，

∴AD=CD.

∴∠D=∠D.DE=DF，

∴△ADF≌△CDE.

∴∠1=∠2.

點撥：本題是人教版數(shù)學課本八年級下冊第68頁第8題的一種變式，還可以在原題的基礎(chǔ)上，拓展延伸到正三角形、其他的特殊平行四邊形、正五邊形等圖形，并且在近幾年中考題中不時可見它們的影子，這里不再贅述，

例5（2019-綿陽）如下頁圖5，在平面直角坐標系中，四邊形OABC為菱形，O點的

點撥：如果不作輔助線，則可數(shù)形結(jié)合，用排除法“看”出答案，或由求出C點坐標人手，推出AC的中點E的坐標，是否更簡便一些？你不妨試一試，

中考命題預測

1.如圖7.在平行四邊形ABCD中.M.N是BD上兩點，BM=DN、連接AM，MC，CN，NA.添加一個條件，使四邊形AMCN是矩形，這個條件是（?）.

A.OM=1/2AC B.MB=MO

C.BD⊥4C

D.∠A MB=∠CND

2.下列說法錯誤的是（?）.

A.平行四邊形的對邊相等

B.對角線相等的四邊形是矩形

C.對角線互相垂直的平行四邊形是菱形

D.正方形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形

3.正n邊形的每個內(nèi)角為120°.這個正n邊形的對角線條數(shù)為___

4.如圖8，E，F(xiàn)是正方形ABCD的對角線AC上的兩點.AC=8，AE=CF=2.則四邊形BEDF的周長是___

4.5 圓

考點、易混易錯點解讀

本節(jié)的主要考點：一是對圓的基本概念、有關(guān)性質(zhì)的理解及運用，特別是弧、弦、圓心角之間的關(guān)系，圓周角定理及其推論，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)的應用：二是直線與圓的位置關(guān)系，重點為切線的判定與性質(zhì)：三是有關(guān)扇形的陰影面積的計算.

在提及圓中一條弦所對的圓周角時，要考慮到該弦所對的圓周角有兩種類型，在判斷圓心角、圓周角、弦、弦心距、弧等元素的關(guān)系時，要注意是否在同圓或等圓中，在求解有關(guān)垂徑定理、切線性質(zhì)與判定的問題時，往往要添加適當?shù)妮o助線.在求解圓與三角形、平行四邊形的綜合性題目時，充分利用圓的性質(zhì)和眾多的不變量是順利求解的關(guān)鍵.

高頻考點例題點撥

一、圓的有關(guān)性質(zhì)

例1（2019.南京）如圖l，⊙O的弦AB，CD的延長線相交于點P，且AB=CD.求證：PA=PC.

證明：如圖2，連接AC.

∵AB=CD.

∴弧AB與弧CD的長度相等.

∴弧AB、弧BD的長度之和與弧CD、弧BD的長度之和相等，即弧AD與弧CB的長度相等.

∴∠C=∠A.故PA =PC.

點撥：連接AC為在△PAC中利用“等角對等邊”證明結(jié)論創(chuàng)造了條件.也可以作OM⊥AB，ON⊥CD，借助于垂徑定理和勾股定理證明，但過程比較冗雜，

二、圓周角定理及其推論

例2 （2019.責港）如圖3，AD是⊙O的直徑，AB=CD.若∠AOB=40°.則圓周角∠BPC的度數(shù)是（?）.

A.40°

B.50°

C.60°

D.70°

解析：∵AB=CD，∠AOB=40°，∠AOB+∠BOC+∠COD=180°.

∴∠BOC=100°.故∠BPC=1/2∠BOC=

50°.選B.

點撥：欲求圓周角∠BPC的大小，要依據(jù)已知條件，先求出同弧所對的圓心角∠BOC的大小.

三、垂徑定理

點撥：過圓心作弦的垂線，結(jié)合使用垂徑定理及三角形的有關(guān)知識，可以架設(shè)已知與未知之間的“橋梁”，這是求解圓中問題的一般方法.

四、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)

例4（2019.鎮(zhèn)江）如圖6，四邊形ABCD是半圓D的內(nèi)接四邊形，AB是直徑，DC= CB.若

點撥：連接BD有利于充分利用圓的性質(zhì)，實現(xiàn)圖形的分解和問題的轉(zhuǎn)化，連接AC，或連接OD，OC也可以，求解會更便捷.

五、切線的性質(zhì)與判定

例5 （2019.南京）如圖8，PA，PB是OO的切線，A，B為切點，點C，D在OO上，若∠P=102°，則∠A+∠C=____.

點撥：線段AB將五邊形APBCD“一分為二”，為運用切線長定理和圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)奠定了基礎(chǔ)，

例6 （2019.菏澤）如圖10，BC是OO的直徑，CE是⊙0的弦，過點E作OO的切線，交CB的延長線于點G，過點B作BF⊥GE于點F，交CE的延長線于點A.

（1）求證：∠ABG=2LC.

（2）若GF=3√3，GB=6，求⊙O的半徑.

點撥：連接切點與圓心，是運用圓的切線性質(zhì)的首選輔助線的作法.在第（2）小題中，也可以利用相似列比例式求得結(jié)果.

六、扇形面積的計算

例7 （2019.南充）如圖12，在半徑為6的⊙O中，點A，B，C都在⊙O上，四邊形OA BC是平行四邊

點撥：求解的關(guān)鍵是把陰影部分的面積轉(zhuǎn)化為扇形的面積，重點是確定扇形圓心角的度數(shù).

中考命題預測

1.如圖14，半徑為3的⊙A經(jīng)過原點O和點C（0，2），B是y軸左側(cè)⊙A優(yōu)弧上的一點，則cos∠OBC=（?）.

2.如圖15，四邊形ABCD內(nèi)接于OO，AE⊥ CB交CB的延長線于點E若BA平分∠DBE ，AD=5.CE=√13，則AE=（?）.

A.3

B.3√2

C.4√3

D.2√3

3.《九章算術(shù)》作為古代中國乃至東方的第一部自成體系的數(shù)學專著，與古希臘的《幾何原本》并稱為現(xiàn)代數(shù)學的兩大源泉，在《九章算術(shù)》中記載有這樣一個問題：今有圓材埋在壁中，不知大小，以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺，問徑幾何？小輝同學根據(jù)原文題意，畫出圓材截面圖如圖16所示，已知鋸口深為1寸，鋸道AB=1尺（1尺=10寸），則該圓材的直徑為_____ 寸.

4.如圖17.⊙O分別切∠BAC的兩邊AB，AC于點E，F(xiàn)，點P在優(yōu)?。‥DF）上.若∠BA C=66°，則∠EPF等于____.

5.如圖18.AB是OO的直徑，C是⊙O上一點.過點O作OD⊥AB，交BC的延長線于D，交AC于點E，F(xiàn)是DE的中點，連接CF求證：CF是⊙O的切線.

6.如圖19，AB是⊙O的直徑，點P是弦AC上一動點（不與A，C重合），過點P作PE ⊥AB，垂足為E.射線EP交AC于點F，交過點C的切線于點D.

（1）求證：DC=DP

（2）若∠CAB=30°，當F是AC的中點時，判斷以A，D，C，F(xiàn)為頂點的四邊形是什么特殊四邊形，說明理由，