魏永合，聶 晨，李宏林

(沈陽(yáng)理工大學(xué)，機(jī)械工程學(xué)院，沈陽(yáng) 110159)

隨著科技能力飛速發(fā)展以及社會(huì)需求的提高，機(jī)器化設(shè)備的精密程度、智能程度以及復(fù)雜程度也越來(lái)越高。在眾多企業(yè)設(shè)備中，旋轉(zhuǎn)機(jī)械占有很高的比重，滾動(dòng)軸承是絕大部分實(shí)現(xiàn)旋轉(zhuǎn)機(jī)械功能的關(guān)鍵部件。因此對(duì)其進(jìn)行故障診斷有著重要意義。

局部均值分解算法(LMD)是一種新的時(shí)頻分析方法，近些年來(lái)，人們把LMD和稀疏表示方法用于機(jī)械故障診斷之中。稀疏表示能把大部分或全部的原始信號(hào)用較少的基本信號(hào)的線(xiàn)性組合來(lái)表示，能對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行更為高效的處理，為早期的滾動(dòng)軸承特征提取提供了一種新的思想[1]。孫偉等[2]將小波包與LMD相結(jié)合，成功提取了滾動(dòng)軸承故障特征。程軍圣等[3]用基于LMD的譜峭度法分析齒輪故障信號(hào)并提取特征。王聰?shù)萚4]將OMP用于齒輪箱振動(dòng)信號(hào)處理且取得了良好的效果。孫春雨等[5]利用OMP和非參數(shù)波形估計(jì)提取滾動(dòng)軸承故障信號(hào)特征并有效的診斷出故障類(lèi)型。張新鵬等[6]將稀疏表示理論引入到軸承故障診斷中，通過(guò)比較設(shè)置閾值和稀疏表示的誤差值去判斷軸承的故障狀態(tài)。嚴(yán)?？档萚7]提出了相干累積量分段正交匹配追蹤算法[d1]，根據(jù)故障信號(hào)字典內(nèi)外相干累積量選擇位移和頻率因子，進(jìn)而使其選擇原子庫(kù)效率更高。

上述稀疏表示方法仍有在構(gòu)建字典時(shí)易受噪聲干擾混入虛假原子、稀疏編碼部分不易區(qū)分相似原子以及迭代終止條件難以確定的問(wèn)題，本文針對(duì)此問(wèn)題提出一種LMD與優(yōu)化OMP算法相結(jié)合的方法，采用LMD對(duì)滾動(dòng)軸承故障信號(hào)進(jìn)行處理，降低噪聲對(duì)樣本信號(hào)的干擾，構(gòu)建出較為純凈的字典，并在OMP中引入Jaccard系數(shù)以及峭度最大準(zhǔn)則，更為精準(zhǔn)的進(jìn)行稀疏系數(shù)求解。

1 稀疏表示原理

稀疏表示是指輸入信號(hào)在過(guò)完備字典的矩陣上實(shí)現(xiàn)用最稀疏的字典原子線(xiàn)性表示，進(jìn)而更容易地獲取信號(hào)中所蘊(yùn)含信息。稀疏表示大致分為兩個(gè)階段：冗余字典的構(gòu)建及求解稀疏系數(shù)。

1.1 冗余字典的構(gòu)建

構(gòu)造過(guò)完備字典有兩種方式，一種是預(yù)先設(shè)置波形函數(shù)作為固定字典，如DCT字典、Gabor字典；另一種是通過(guò)字典學(xué)習(xí)訓(xùn)練數(shù)據(jù)，根據(jù)信號(hào)自適應(yīng)得出最合適的字典，如K-SVD算法[8]。相比于固定基字典，K-SVD算法不受限于某類(lèi)數(shù)據(jù)，與原信號(hào)有著更精確的匹配精度，因此本文采用K-SVD算法構(gòu)建字典，目標(biāo)函數(shù)可表示為

(1)

式中：X為原始信號(hào)；ε為稀疏度；D、α為兩個(gè)優(yōu)化變量，為解決優(yōu)化問(wèn)題，一般固定其中一個(gè)優(yōu)化變量，優(yōu)化另一個(gè)變量，交替進(jìn)行。K-SVD算法具體步驟如下。

(1)初始化字典D，D可用隨機(jī)數(shù)生成或用原始信號(hào)數(shù)據(jù)組成，并用L2范數(shù)標(biāo)準(zhǔn)化字典的每一列。

(2)固定字典D，用稀疏系數(shù)求解算法求解αi，即

(2)

(3)更新字典，固定稀疏系數(shù)αi，更新每一列字典D，即

(3)

(4)重復(fù)(2)、(3)步到滿(mǎn)足迭代條件為止。

1.2 稀疏系數(shù)求解

稀疏求解問(wèn)題即對(duì)字典學(xué)習(xí)目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行求解，使得系數(shù)向量中非零值個(gè)數(shù)最少，是一個(gè)零范數(shù)優(yōu)化問(wèn)題。因此目前，一般選用貪婪優(yōu)化算法中的OMP求解稀疏系數(shù)，其步驟如下。

輸入被測(cè)信號(hào)X，字典矩陣D

(1)初始化處理，令殘差R0=X，D0=φ，索引集合Λ=φ。

(3)更新索引集Λr=Λr-1∪λr，標(biāo)記并找到字典D中的重建原子合集Dr=[Dr-1，Xλr]。

(5)更新殘差，即Rr=x-Drα，r=r+1。

(6)判斷是否滿(mǎn)足條件r>k，如果滿(mǎn)足，則停止迭代；否則返回步驟(1)。

2 局部均值分解原理

LMD是由Jonathan S.Smith提出的能夠有效分析非平穩(wěn)信號(hào)的方法，能夠自適應(yīng)的分析非平穩(wěn)、多分量的調(diào)制信號(hào)，并將信號(hào)分解為多個(gè)具有物理意義的瞬時(shí)頻率PF分量，從而看到信號(hào)能量在空間各尺度上分布情況[9]。LMD具體步驟如下。

(1)計(jì)算信號(hào)x(t)相鄰極值點(diǎn)均值m，對(duì)全部均值m線(xiàn)性直線(xiàn)延拓；對(duì)得到的局部均值線(xiàn)段進(jìn)行滑移分析處理，得到局部均值函數(shù)m11(t)。

(2)求局部包絡(luò)函數(shù)，并進(jìn)行線(xiàn)性直線(xiàn)延拓；同樣對(duì)局部幅值線(xiàn)段進(jìn)行滑移分析處理，得到信號(hào)包絡(luò)估計(jì)函數(shù)a11(t)。

(3)使局部均值函數(shù)m11(t)從信號(hào)單獨(dú)分離，得到h11(t)，然后進(jìn)行解調(diào)處理，并和包絡(luò)估計(jì)函數(shù)作乘積運(yùn)算，理想狀態(tài)下s11(t)為純調(diào)頻信號(hào)。

(4)

(4)將純調(diào)頻信號(hào)和包絡(luò)信號(hào)的數(shù)據(jù)作乘積運(yùn)算，得到PF分量。在原始信號(hào)提取乘積函數(shù)，得到更新的信號(hào)u1(t)，重復(fù)迭代，直至un(t)體現(xiàn)單調(diào)函數(shù)特性。

(5)

信號(hào)x(t)被分解處理成n個(gè)PF分量和一個(gè)余量un(t)，即

(6)

3 LMD與優(yōu)化OMP軸承故障特征提取模型

本文在研究K-SVD與OMP算法的基礎(chǔ)上提出了一種LMD與優(yōu)化OMP軸承故障特征提取模型。針對(duì)傳統(tǒng)稀疏表示方法構(gòu)建冗余字典時(shí)，字典原子易受噪聲干擾混入虛假原子，以及OMP不易區(qū)分相似原子、迭代終止條件難以確定，導(dǎo)致稀疏表示效果較差的問(wèn)題；本文先采用LMD對(duì)振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行預(yù)處理，剔除受噪聲干擾而產(chǎn)生的虛假原子，使構(gòu)建出的冗余字典更加精確；再用優(yōu)化OMP算法對(duì)振動(dòng)信號(hào)稀疏系數(shù)求解，重構(gòu)得到稀疏信號(hào)并進(jìn)行包絡(luò)譜分析，完成故障特征提取。

3.1 OMP優(yōu)化算法

傳統(tǒng)OMP算法需要對(duì)振動(dòng)信號(hào)與字典原子進(jìn)行相似性匹配，以選擇最合適的原子重構(gòu)信號(hào)，其判斷相似度的是內(nèi)積準(zhǔn)則，通過(guò)殘差與字典中每個(gè)原子作內(nèi)積，比較并選取內(nèi)積值最大所對(duì)應(yīng)的原子。當(dāng)兩向量方向一致，其夾角越小，表明向量越相近。所以在字典原子為單位向量時(shí)，本質(zhì)就是利用余弦定理搜索與信號(hào)向量夾角最小的原子向量。夾角余弦定義式為

(7)

為進(jìn)一步提高OMP算法的性能，更好地選擇與殘差信號(hào)最相關(guān)的字典原子，用Jaccard系數(shù)準(zhǔn)則替換OMP算法中得內(nèi)積準(zhǔn)則[10-11]。Jaccard系數(shù)定義式為

(8)

Jaccard系數(shù)使用了算術(shù)平均值，相比于夾角余弦的幾何平均值，能夠放大向量中的每個(gè)元素效果，不易混淆，充分反映相似度，更加方便地突出向量中的核心，改善了信號(hào)的重構(gòu)效果。因此在OMP第二步用Jaccard系數(shù)準(zhǔn)則替換內(nèi)積準(zhǔn)則。

此外，OMP算法需要設(shè)置閾值作為終止迭代條件來(lái)控制選取字典的原子個(gè)數(shù)，但閾值太小信號(hào)會(huì)缺失有用的特征，閾值太大信號(hào)會(huì)混入多余的噪聲成分，實(shí)際應(yīng)用中閾值難以設(shè)置精確。當(dāng)軸承發(fā)生故障時(shí)，沖擊成分有一定的規(guī)律性，瞬態(tài)沖擊成分幅值越大噪聲越弱，峭度值越大，因此把峭度值最大原則作為OMP算法終止迭代條件能更大程度保留沖擊成分，減少噪聲干擾[12]。進(jìn)行稀疏系數(shù)求解時(shí)，分別計(jì)算每次迭代信號(hào)的峭度值，當(dāng)信號(hào)的峭度值達(dá)到最大時(shí)停止迭代。

3.2 LMD與優(yōu)化OMP模型建立

LMD與優(yōu)化OMP的故障特征提取模型流程如圖1所示。

圖1 LMD與優(yōu)化OMP故障特征提取模型流程圖

LMD與優(yōu)化OMP故障特征提取模型診斷步驟如下。

(1)使用LMD對(duì)部分故障振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行分解。根據(jù)皮爾遜相關(guān)系數(shù)準(zhǔn)則選取相關(guān)系數(shù)最大的PF分量作為樣本信號(hào)，按一定重疊步長(zhǎng)對(duì)樣本信號(hào)進(jìn)行矩陣化，得到樣本矩陣。

(2)以隨機(jī)數(shù)初始化字典，使字典中每一列原子盡可能包含故障頻率特征，用K-SVD算法對(duì)樣本矩陣進(jìn)行字典學(xué)習(xí)，得到字典D。

(3)采用優(yōu)化后的OMP算法進(jìn)行稀疏系數(shù)求解，解得稀疏系數(shù)矩陣α，并與字典D相乘得到重構(gòu)信號(hào)矩陣。

(4)將重構(gòu)信號(hào)矩陣按一定步長(zhǎng)重疊恢復(fù)為一維重構(gòu)信號(hào)，重疊部分取均值。對(duì)重構(gòu)信號(hào)包絡(luò)譜分析，完成對(duì)軸承故障頻率的特征提取。

4 仿真分析

為證明本文所提方法的有效性，在沖擊信號(hào)中添加高斯白噪聲，模擬軸承故障信號(hào)并對(duì)其分析。每個(gè)周期內(nèi)的沖擊函數(shù)為sin(4000πt)exp(-80πt)，仿真信號(hào)的故障特征頻率為80Hz，采樣頻率6400Hz，采樣點(diǎn)數(shù)為2048。

圖2為仿真信號(hào)的沖擊加噪聲的時(shí)域圖。

圖2 仿真信號(hào)波形

由圖2可知，沖擊成分基本被噪聲覆蓋，在用本文方法對(duì)其進(jìn)行稀疏表示時(shí)，首先對(duì)仿真信號(hào)進(jìn)行LMD分解，得到PF分量，按照皮爾遜相關(guān)系數(shù)法分別計(jì)算各個(gè)分量的相關(guān)系數(shù)，如表1所示。

表1 PF分量及相關(guān)系數(shù)

用相關(guān)系數(shù)最大的PF分量去訓(xùn)練字典。在訓(xùn)練字典階段，將分解出的最優(yōu)PF分量按步長(zhǎng)為1重疊分割作為信號(hào)樣本矩陣；初始化字典，設(shè)字典大小為80×160，用K-SVD算法進(jìn)行字典學(xué)習(xí)，訓(xùn)練終止誤差值為10-6。在稀疏編碼階段，將仿真信號(hào)按步長(zhǎng)1重疊分割成信號(hào)矩陣，利用優(yōu)化后的OMP算法對(duì)其稀疏系數(shù)求解，進(jìn)而得到重構(gòu)信號(hào)。使用本文方法重構(gòu)信號(hào)如圖3所示。

圖3 本文方法重構(gòu)信號(hào)時(shí)域圖

信噪比越大說(shuō)明重構(gòu)信號(hào)含有噪聲成分越少，重構(gòu)的信號(hào)越純凈。因此本文采用信噪比衡量重構(gòu)信號(hào)的指標(biāo)。

(9)

式中：s0、s分別為純凈信號(hào)及重構(gòu)信號(hào)；SNR為計(jì)算出的信噪比的值。經(jīng)計(jì)算以本文方法重構(gòu)的信號(hào)信噪比為7.1657。

為判斷本文方法的優(yōu)越性，采用傳統(tǒng)稀疏表示算法對(duì)仿真信號(hào)進(jìn)行處理。傳統(tǒng)稀疏表示稀疏編碼階段，分別計(jì)算不同稀疏度K下重構(gòu)信號(hào)信噪比，如圖4所示。由圖4可以看到，稀疏度為1時(shí)，重構(gòu)信號(hào)信噪比最大為5.5892。使用傳統(tǒng)稀疏表示重構(gòu)的信號(hào)時(shí)域圖如圖5所示。比較圖3、圖5可知，使用本文方法重構(gòu)信號(hào)信噪比高于傳統(tǒng)稀疏表示，表明使用本文方法處理后的效果更好。

圖4 不同稀疏度重構(gòu)效果

圖5 傳統(tǒng)稀疏表示重構(gòu)的信號(hào)時(shí)域圖

5 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

為進(jìn)一步驗(yàn)證本文方法提取軸承故障特征的可行性，使用美國(guó)凱斯西儲(chǔ)大學(xué)實(shí)驗(yàn)室的軸承實(shí)驗(yàn)?zāi)M裝置采集的數(shù)據(jù)進(jìn)行驗(yàn)證，軸承實(shí)驗(yàn)?zāi)M裝置如圖6所示。

圖6 軸承實(shí)驗(yàn)?zāi)M裝置

設(shè)備包括電動(dòng)機(jī)、功率測(cè)試計(jì)、編碼器/扭矩傳感器、以及電子控制器等。實(shí)驗(yàn)軸承型號(hào)是SKF6205-2RS型深溝球軸承，實(shí)驗(yàn)前分別使用電火花在軸承內(nèi)外圈人為布置損傷故障點(diǎn)，并用加速度傳感器采集軸承的振動(dòng)信號(hào)。電機(jī)帶動(dòng)輸入軸轉(zhuǎn)速設(shè)定為1750r/min，實(shí)驗(yàn)采樣頻率為12000Hz。根據(jù)軸承參數(shù)及故障頻率計(jì)算公式，解得軸承外圈理論故障頻率107.305Hz，內(nèi)圈理論故障頻率為157.943Hz。分別采用傳統(tǒng)稀疏表示方法和本文方法對(duì)同一段外圈、內(nèi)圈故障數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，來(lái)判斷優(yōu)化效果。

使用本文方法時(shí)，首先分別取部分內(nèi)圈外圈故障信號(hào)進(jìn)行LMD分解，選取相關(guān)系數(shù)最大的PF分量作為內(nèi)圈、外圈故障的訓(xùn)練樣本，如表2、表3所示。

表2 外圈PF分量及相關(guān)系數(shù)

表3 內(nèi)圈PF分量及相關(guān)系數(shù)

訓(xùn)練字典階段，訓(xùn)練樣本按步長(zhǎng)為1重疊分割成信號(hào)的樣本矩陣；初始化字典，訓(xùn)練終止誤差值為10-6。訓(xùn)練后分別得到160×320的外圈故障和內(nèi)圈故障過(guò)完備字典。稀疏編碼階段，外圈、內(nèi)圈故障信號(hào)按步長(zhǎng)為1重疊，得到各自的信號(hào)矩陣，利用優(yōu)化后的OMP算法對(duì)其進(jìn)行稀疏系數(shù)求解，得到重構(gòu)信號(hào)，并進(jìn)行包絡(luò)譜分析。

圖7為外圈故障重構(gòu)信號(hào)；圖8為內(nèi)圈故障重構(gòu)信號(hào)。

圖7 外圈故障重構(gòu)信號(hào)

圖8 內(nèi)圈故障重構(gòu)信號(hào)

由圖7、圖8可知，使用本文方法提取的軸承外圈、內(nèi)圈故障特征相對(duì)于傳統(tǒng)稀疏表示更加明顯，剔除了多余噪聲干擾。

圖9為滾動(dòng)軸承外圈故障包絡(luò)譜；圖10為滾動(dòng)軸承內(nèi)圈故障包絡(luò)譜。

圖9 本文方法外圈故障包絡(luò)譜

圖10 本文方法內(nèi)圈故障包絡(luò)譜

通過(guò)圖9、圖10可知，外圈、內(nèi)圈故障特征頻率107.8Hz和157.6Hz近似等同于其理論故障頻率。尤其從圖10中更易分辨出內(nèi)圈故障特征頻率及其高倍頻率，說(shuō)明本文方法比傳統(tǒng)稀疏表示特征提取效果有改善。

6 結(jié)論

根據(jù)稀疏表示理論提出一種基于LMD與優(yōu)化OMP的故障特征提取模型對(duì)滾動(dòng)軸承振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行處理，用LMD分解振動(dòng)信號(hào)選取最優(yōu)PF分量作為樣本信號(hào)構(gòu)建字典，并在OMP算法中引入Jaccard系數(shù)和峭度準(zhǔn)則進(jìn)行稀疏系數(shù)求解。結(jié)果表明，本文方法相比于傳統(tǒng)稀疏表示特征提取效果有了改善。證明該方法能夠有效的對(duì)滾動(dòng)軸承故障進(jìn)行特征提取，在相似的工程實(shí)踐中具有一定參考價(jià)值。