張巧玲, 陸海霞*, 張 翼

(1. 宿遷學(xué)院文理學(xué)院, 江蘇 宿遷 223800; 2. 沈陽工業(yè)大學(xué)理學(xué)院, 沈陽 110870)

1 預(yù)備知識(shí)

本文在描述美國白蛾種群密度時(shí), 將模型dN/dt=rN(1-N/K)p中的調(diào)整系數(shù)p取為3．基于美國白蛾繁殖規(guī)律,考慮到對(duì)美國白蛾的捕獲努力量, 則美國白蛾種群可描述為

(1)

其中x(t)為t時(shí)刻美國白蛾種群的密度．不失一般性, 所有參數(shù)均為正值．

2 主要結(jié)果

2.1 平衡點(diǎn)的存在性及穩(wěn)定性

模型(1)所描述的美國白蛾種群密度增長速度如圖1所示．從圖1可以看出, 只有當(dāng)美國白蛾負(fù)增長時(shí), 外來物種對(duì)環(huán)境的影響才會(huì)減弱．當(dāng)美國白蛾負(fù)增長時(shí), 其種群密度已超過環(huán)境的最大容納量K, 打破原有平衡, 故考慮捕獲努力量E．設(shè)捕獲函數(shù)h(x)正比于種群密度和捕獲努力量的乘積, 即h(x)=qEx(t), 其中捕獲能力系數(shù)q>0, 則美國白蛾種群密度可描述為

(2)

引理1若系統(tǒng)(2)中參數(shù)均為正常數(shù), 且滿足r>qE, 令x(t)為系統(tǒng)(2)的平衡點(diǎn), 則對(duì)所有t≥0, 系統(tǒng)(2)的平衡點(diǎn)在[0,+∞)上．

系統(tǒng)(2)的平衡點(diǎn)是直線y=h(x)與曲線y=f(x)的交點(diǎn)(見圖2), 即方程rx(1-x/K)3-qEx=0．由于其導(dǎo)數(shù)為r(1-x/K)2(1-4x/K)-qE, 易證:

定理2x=0是系統(tǒng)(2)的平衡點(diǎn),且當(dāng)r>qE時(shí), 系統(tǒng)不穩(wěn)定．

2.2 種群動(dòng)力學(xué)性質(zhì)

圖2為不同情況下系統(tǒng)(2)的平衡點(diǎn)位置．圖2(a)顯示, 當(dāng)y=h(x)與y=f(x)有唯一交點(diǎn)x=0時(shí), 比較2條曲線在原點(diǎn)的斜率可知, 此時(shí)qE=r,說明當(dāng)線性捕獲系數(shù)達(dá)到其內(nèi)稟增長率時(shí), 美國白蛾的種群密度可控制為零．圖2(b)顯示, 此時(shí)y=h(x)與y=f(x)也是只有唯一交點(diǎn)x=0, 比較兩條曲線在原點(diǎn)的斜率可知, 此時(shí)qE>r, 說明美國白蛾的入侵得到了有效控制, 防治和捕殺工作效果顯著, 顯然這個(gè)階段的狀態(tài)不會(huì)持續(xù)很久就會(huì)趨向于圖2(a)的狀態(tài)．圖2(c)顯示, 當(dāng)y=h(x)與y=f(x)有正交點(diǎn)x*時(shí), 由2條曲線在交點(diǎn)前的斜率可知, 美國白蛾種群密度的增長率先增后減, 得到了有效的抑制作用, 此時(shí)qE

2.3 美國白蛾的優(yōu)化控制

定理4在D中使得H(E)取得最大值的最優(yōu)捕獲努力量E*=27r/(64q), 相應(yīng)的最大捕獲量H*(E*)=27Kr/256, 優(yōu)化控制的美國白蛾密度x*(E*)=K/4．

3 結(jié)論

本文基于廣義Logistic模型, 研究了美國白蛾繁殖速度與捕獲系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)性質(zhì),分析了平衡點(diǎn)及其系統(tǒng)處于穩(wěn)定狀態(tài)的充分條件, 并給出了在正平衡點(diǎn)處可持續(xù)發(fā)展的最大捕獲努力量E*=27r/(64q), 使美國白蛾的種群密度控制為最大容納量的1/4．