李 鵬， 沈志杰

(江蘇科技大學(xué) 經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院，江蘇 鎮(zhèn)江 212003)

0 引言

Yager基于直覺模糊集提出了Pythagorean模糊集(PFS)的概念[1,2]，并指出Pythagorean模糊集在描述模糊信息時(shí)具有更強(qiáng)的表現(xiàn)能力，引起了大量專家學(xué)者的關(guān)注。Zhang和Xu[3]定義了Pythagorean模糊數(shù)(PFN)的基本運(yùn)算法則及距離公式。Ren等[4]考慮了決策者的“有限理性”，將Pythagorean模糊集與TODIM方法結(jié)合。Peng和Yang[5]將Choquet積分引入到Pythagorean模糊信息環(huán)境中，定義了Pythagorean模糊Choquet積分算子。Garg[6]將一些幾何聚類算子推廣到Pythagorean模糊環(huán)境中。劉衛(wèi)鋒等[7]在Pythagorean模糊環(huán)境下定義了諸多有序加權(quán)幾何算子。

集結(jié)算子在信息集結(jié)方面具有諸多優(yōu)勢(shì)，目前已有大量的集結(jié)算子被應(yīng)用于解決多屬性決策問題[6～10]。有序加權(quán)(OWA)算子[11]是對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行從大到小重新排序，根據(jù)數(shù)據(jù)的位置進(jìn)行加權(quán)再集結(jié)，現(xiàn)已被用于多目標(biāo)生成樹[12]、投資組合選擇[13]、信息融合[14]等領(lǐng)域。加權(quán)有序加權(quán)(WOWA)算子[15,16]是在OWA算子基礎(chǔ)上進(jìn)一步考慮了信息本身的重要性，即屬性權(quán)重融合了位置權(quán)重和客觀權(quán)重。廣義加權(quán)有序加權(quán)(GWOWA)算子[17]在保留WOWA算子優(yōu)點(diǎn)的同時(shí)引入人工變量，增加了決策者對(duì)信息集結(jié)的控制能力。

然而，GWOWA算子在Pythagorean模糊環(huán)境下的研究尚不多見。因此，本文定義了廣義Pythagorean模糊加權(quán)有序加權(quán)(PF-GWOWA)算子，討論了PF-GWOWA算子的相關(guān)性質(zhì)，并基于PF-GWOWA算子提出了決策方法。本文提出方法的優(yōu)勢(shì)在于：①綜合考慮多屬性決策矩陣中屬性的位置權(quán)重和客觀權(quán)重；②引入?yún)?shù)使得決策者掌握主動(dòng)權(quán)，可以根據(jù)實(shí)際情況變動(dòng)參數(shù)，調(diào)整決策模型；③將GWOWA算子拓展到Pythagorean模糊環(huán)境中，擴(kuò)展了GWOWA算子的應(yīng)用范圍。

1 基本概念

為方便起見，稱β=P(μβ,υβ)為Pythagorean模糊數(shù)。

定義2[3]設(shè)β=P(μβ,υβ)為任意Pythagorean模糊數(shù)，則稱s(β)=(μβ)2-(υβ)2,h(β)=(μβ)2+(υβ)2，為β的得分函數(shù)與精確函數(shù)。

定義3[3]設(shè)Pythagorean模糊數(shù)βi=P(μβ,υβ)(i=1,2)，則以下結(jié)論成立:

1)如果s(β1)>s(β2)，則β1>β2；

2)如果s(β1)=s(β2)，h(β1)

3)如果s(β1)=s(β2)，h(β1)=h(β2)，則β1～β2。

定義4[3]設(shè)βi=P(μβ,υβ)(i=1,2)為Pythagorean模糊數(shù)，則兩者之間距離定義為:

|(πβ1)2-(πβ2)2|)

(1)

定義5[3]設(shè)Pythagorean模糊數(shù)β1=P(μβ1,υβ1)，β2=P(μβ2,υβ2)，β=P(μβ,υβ)，則以下運(yùn)算法則成立：

2 基于Pythagorean模糊數(shù)的GWOWA算子

GWOWA算子是一種廣義的WOWA算子，它在保留WOWA算子特性的基礎(chǔ)上引入?yún)?shù)λ，決策者可根據(jù)實(shí)際情況進(jìn)行調(diào)節(jié)。本文將該算子推廣到Pythagorean模糊環(huán)境中，提出廣義Pythagorean模糊加權(quán)有序加權(quán)平均(PF-GWOWA)算子。

(2)

定理1設(shè)Pj=P(μj,υj)(j=1,2,…,n)為任意個(gè)Pythagorean模糊數(shù)，則通過式(2)進(jìn)行集結(jié)仍為Pythagorean模糊數(shù)，并且滿足

PF-GWOWA(P1,P2,…,Pn)

v1(Pσ(1))λ+v2(Pσ(2))λ

因此，n=2時(shí)成立；

2)假設(shè)n=k時(shí)成立，即

因此，n=k+1時(shí)成立。

顯然，根據(jù)1)和2)可知，對(duì)于任意的n，定理1均成立。

例1設(shè)P1=P(0.8,0.2)，P2=P(0.7,0.4),P3=P(0.6,0.5),v=(0.3,0.5,0.2)T,λ=2，根據(jù)定理1可得：

=P(0.7,0.3)

PF-GWOWA(P1,P2,…,Pn)

=ωσ(j)

進(jìn)而可得：

PF-GWOWA(P1,P2,…,Pn)

定理3設(shè)(P1,P2,…,Pk)為任意一組Pythagorean模糊數(shù)，Pj=P(μj,υj)，j∈[1,k]。當(dāng)λ=1時(shí)，式(2)退化為PF-GWOWA算子，即:

PF-GWOWA(P1,P2,…,Pn)

PF-GWOWA(P1,P2,…,Pn)

由于PF-GWA算子、PF-WOWA算子和PF-WA算子是PF-GWOWA算子的特殊情況，因此Pythagorean模糊數(shù)通過PF-GWA算子、PF-WOWA算子和PF-WA算子集結(jié)之后仍為Pythagorean模糊數(shù)。

3 基于PF-GWOWA算子的決策模型

3.1 決策問題描述

設(shè)某決策問題，備選方案集為X={X1,X2,…,Xm}，屬性集為C={C1,C2,…,Cn}，決策矩陣為G=(Pij)m×n(如表1所示)，其中Pij=P(μij,υij)(i=1,2,…,m,j=1,2,…,n)為Pythagorean模糊數(shù)。

表1 Pythagorean模糊數(shù)多屬性決策矩陣

3.2 基于PF-GWOWA算子的信息融合

(1)位置權(quán)重確定模型

設(shè)屬性Cj的位置權(quán)重為wj(j=1,2,…,n)，根據(jù)文獻(xiàn)[11，21]可構(gòu)建最大熵規(guī)劃模型求解：

(3)

其中α為人工變量，可根據(jù)決策者實(shí)際的樂觀程度進(jìn)行調(diào)節(jié)，滿足0≤α≤1；disp(w)∈[0,ln(n)]。

(2)客觀權(quán)重確定模型

離差最大化[22]方法是一種用于計(jì)算屬性權(quán)重的有效方法。本文將離差最大化方法推廣到Pythagorean模糊多屬性決策矩陣中，進(jìn)而求得客觀權(quán)重。

在Pythagorean模糊決策矩陣G=(Pij)m×n中，屬性Cj下，方案Xi和其它所有方案的離差值記為Tij:

|(υij)2-(υij)2|+|(πij)2-(πl(wèi)j)2|)

進(jìn)而，屬性Cj下所有方案和其它方案的離差值為Tj:

|(υij)2-(υlj)2|+|(πij)2-(πl(wèi)j)2|)

基于此，建立以下規(guī)劃模型計(jì)算客觀權(quán)重:

(4)

(5)

(6)

(3)基于WOWA算子權(quán)重方法的客觀權(quán)重確定模型

通過WOWA權(quán)重算子[15]集結(jié)位置權(quán)重和客觀權(quán)重，可得屬性Cj在方案Xi下的綜合權(quán)重vij：

(7)

(8)

(4)決策步驟

綜上所述，可得到基于PF-GWOWA算子的模糊決策方法決策步驟：

Step1根據(jù)式(3)求得屬性Cj的位置權(quán)重wj(j=1,2,…,n)；

Step2根據(jù)式(4)～(6)計(jì)算屬性Cj的客觀權(quán)重ωj(j=1,2,…,n)；

Step3根據(jù)式(7)～(8)得到屬性Cj的綜合權(quán)重vij(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n);

Step4根據(jù)式(2)確定各方案的綜合屬性值Vi(i=1,2,…,m)；

Step5根據(jù)得分函數(shù)s(Vi)對(duì)方案進(jìn)行排序擇優(yōu)。

4 算例分析

某地區(qū)發(fā)生地震，有4個(gè)受影響地區(qū)(X1,X2,X3,X4)需要支援[23]，專家根據(jù)四個(gè)屬性(C1,C2,C3,C4)對(duì)該4個(gè)地區(qū)進(jìn)行評(píng)估，得到?jīng)Q策矩陣(如表2所示)，其中C1指遇難人群的年齡、性別、身體健康情況，C2指遇難人員的傷殘情況，C3指遇難人群所處的環(huán)境情況，C4指遇難的人數(shù)和地震發(fā)生的時(shí)間。

表2 決策矩陣

4.1 決策過程

Step1利用式(3)算出位置權(quán)重，如表3所示。

表3 α取不同值時(shí)的位置權(quán)重

顯然，當(dāng)α=0.5時(shí)，各位置權(quán)重都為0.25，即數(shù)據(jù)排序后不受順序的影響。同時(shí)，以α=0.5為分界線，上下兩部分呈現(xiàn)出斜對(duì)稱的規(guī)律。為消除各屬性位置權(quán)重差距過于懸殊影響最終結(jié)果，分別選取α等于0.3、0.4、0.5、0.6、0.7時(shí)的位置權(quán)重進(jìn)行計(jì)算。

Step2使用離差最大化的方法求出C1、C2、C3、C4的客觀權(quán)重。根據(jù)式(4)建立二次規(guī)劃模型如下所示:

ωj≥0,(j=1,2,3,4)

Step3根據(jù)式(7)～(8)求得屬性的綜合權(quán)重如表4至表8。

表4 α=0.3時(shí)綜合權(quán)重情況

表5 α=0.4時(shí)綜合權(quán)重情況

表6 α=0.5時(shí)綜合權(quán)重情況

表7 α=0.6時(shí)綜合權(quán)重情況

表8 α=0.7時(shí)綜合權(quán)重情況

表9 各方案的綜合屬性值

Step4計(jì)算λ分別取1和2時(shí)，各方案綜合屬性值如表9所示。

Step5根據(jù)精確函數(shù)和得分函數(shù)對(duì)四個(gè)方案進(jìn)行排序，如表10。

表10 方案優(yōu)劣排序情況

顯然，受參數(shù)的影響，PF-GWOWA在不同情況下會(huì)退化成其他算子?？傮w而言，當(dāng)α取0.3和0.4時(shí)，方案X4為最優(yōu)方案。當(dāng)α取0.5、0.6和0.7時(shí)，方案X2為最優(yōu)方案。可見，決策者的樂觀程度影響著最終的最優(yōu)方案，樂觀程度越高，最優(yōu)方案更趨向于方案X2，反之則更趨向于方案X4。

4.2 方法比較分析

TOPSIS法[3]是對(duì)備選方案進(jìn)行排序的常用決策方法。為了驗(yàn)證PF-GWOWA算子的有效性，本文用TOPSIS法對(duì)上述案例進(jìn)行再次求解。

首先，求出正、負(fù)理想解分別為:

X+={(C1,P(0.9,0.2)),(C2,P(0.7,0.4)),(C3,P(0.8,0.4)),(C4,P(0.7,0.3))}X-={(C1,P(0.3,0.8)),(C2,P(0.4,0.9)),(C3,P(0.5,0.7)),(C4,P(0.5,0.8))}

然后，算出各方案與正負(fù)理想解之間的距離，進(jìn)而算出Xi與X+的接近程度RC(Xi)(i=1,2,3,4)，最后根據(jù)RC(Xi)對(duì)個(gè)方案進(jìn)行排序，如表11所示。

表11 各個(gè)方案與最優(yōu)、最劣方案的距離、接近程度及排序

可以看出，用TOPSIS法求得的最佳方案為X1，但是它與排名二、三方案(X4和X2)的接近程度相差特別小。相反，根據(jù)表9與表10可知用PF-GWOWA算子及其退化算子求得的排名第二和第三方案之間的優(yōu)劣差明顯比TOPSIS法大，且排名前二的方案優(yōu)劣差距也明顯較大，但兩方法算得的最劣方案皆為方案。綜上所述，PF-GWOWA算子在處理優(yōu)劣程度相似的方案時(shí)，擴(kuò)大了方案之間的優(yōu)劣差距，使決策者更易選出最優(yōu)方案，使最終的結(jié)果相對(duì)更具說服力。

5 結(jié)論

本文主要解決權(quán)重未知的Pythagorean模糊多屬性決策問題。首先，提出了基于Pythagorean模糊數(shù)的GWOWA算子，并證明了該算子的一些性質(zhì)；其次，根據(jù)OWA算子權(quán)重算法和離差最大化思想分別設(shè)計(jì)了該算子中位置權(quán)重與客觀權(quán)重的計(jì)算模型，并基于該算子提出了決策方法；最后，通過算例分析和方法比較，說明了該模型的可行性。