于和芳，郭 瑩

（沈陽(yáng)工業(yè)大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院， 沈陽(yáng)110870）

1 引 言

分布式網(wǎng)絡(luò)可應(yīng)用于醫(yī)療應(yīng)用、救災(zāi)管理、環(huán)境監(jiān)測(cè)等諸多領(lǐng)域[1-4]，將自適應(yīng)濾波算法[5-6]應(yīng)用到分布式網(wǎng)絡(luò)中，可以更加準(zhǔn)確地估計(jì)目標(biāo)并增強(qiáng)分布式網(wǎng)絡(luò)對(duì)環(huán)境變化的魯棒性。研究人員提出了許多分布式的自適應(yīng)濾波算法，例如分布式最小均方算法（Diffusion Least Mean Square， DLMS）[7]和分布式仿射投影算法（Diffusion Affine Projection Algorithm，DAPA）[8-10]。其中DLMS 算法結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，但對(duì)于有色輸入信號(hào)，其收斂速度會(huì)急劇下降。DAPA 算法是在DLMS 算法的基礎(chǔ)上將輸入信號(hào)重組，可有效地改善輸入為有色信號(hào)時(shí)算法的收斂性能。然而，傳統(tǒng)的DLMS 算法和DAPA 都是基于L2 范數(shù)優(yōu)化準(zhǔn)則開(kāi)發(fā)的，在非高斯干擾下性能會(huì)嚴(yán)重下降。

為解決這一問(wèn)題，一系列抑制非高斯噪聲的算法被提出。其中，文獻(xiàn)[11]～[15]用可變的步長(zhǎng)來(lái)代替?zhèn)鹘y(tǒng)DAPA 算法中的固定步長(zhǎng)，憑借自適應(yīng)步長(zhǎng)選擇算法在低穩(wěn)態(tài)和快速收斂速度之間做出了較好的選擇。由仿真實(shí)驗(yàn)可知，變步長(zhǎng)分布式放射投影算法（Variable Step Size Diffusion Affine Projection Algorithm，VSS-DAPA）相比于傳統(tǒng)的DAPA，收斂速度更快，但穩(wěn)態(tài)更低。文獻(xiàn)[16]和[17]提出了基于兩種分布式策略的仿射投影符號(hào)算法（Diffusion Affine Projection Sign Algorithm， DAPSA），其中增強(qiáng)式策略估計(jì)了算法的抗脈沖干擾能力，增強(qiáng)了抗干擾能力，但是收斂速度較慢。最近，研究人員提出將最大相關(guān)熵準(zhǔn)則（MCC）應(yīng)用于自適應(yīng)濾波領(lǐng)域，提出了基于MCC 準(zhǔn)則的自適應(yīng)濾波算法[18-20]，構(gòu)造了一個(gè)新的代價(jià)函數(shù)來(lái)抑制脈沖噪聲。由于MCC 核函數(shù)的負(fù)指數(shù)項(xiàng)和核寬的作用，削弱了較大誤差對(duì)相關(guān)熵的影響，因此MCC 算法中不會(huì)出現(xiàn)由偏差較大引起的數(shù)值不穩(wěn)定問(wèn)題，對(duì)脈沖噪聲具有較強(qiáng)的魯棒性。

基于上述研究，在此將最大相關(guān)熵準(zhǔn)則與分布式仿射投影算法相結(jié)合，提出一種以高斯核函數(shù)為基礎(chǔ)的最大相關(guān)熵算法。新算法大大降低了輸入信號(hào)的相關(guān)性，并能很好地抑制非高斯噪聲。

2 分布式仿射投影算法

在傳統(tǒng)的集中式網(wǎng)絡(luò)中，所有節(jié)點(diǎn)信息都需要傳輸?shù)揭粋€(gè)中心，然后由這個(gè)中心將數(shù)據(jù)處理結(jié)果共享并返回每個(gè)節(jié)點(diǎn)。這種協(xié)作需要一個(gè)強(qiáng)大的中央處理器，因此具有一定的局限性。改進(jìn)后的分布式網(wǎng)絡(luò)則沒(méi)有融合中心，每個(gè)節(jié)點(diǎn)分散在一定的地理環(huán)境范圍內(nèi)。通過(guò)對(duì)各節(jié)點(diǎn)采集的數(shù)據(jù)進(jìn)行局部處理，最終實(shí)現(xiàn)整個(gè)系統(tǒng)的信息處理。分布式網(wǎng)絡(luò)根據(jù)協(xié)作策略不同分為：擴(kuò)散式、一致式和增量式。擴(kuò)散網(wǎng)絡(luò)的信息交換過(guò)程與一致性相同，即每個(gè)節(jié)點(diǎn)可以與所有相鄰的代理進(jìn)行信息交換，但擴(kuò)散策略優(yōu)于后兩種策略[21]。

仿射投影算法是利用數(shù)據(jù)重用的方法在傳統(tǒng)LMS 算法上做出的改進(jìn)算法。該算法將最近P 個(gè)輸入向量組合在一起，以P 作為仿射投影階數(shù)。在一個(gè)N 個(gè)節(jié)點(diǎn)的分布式網(wǎng)絡(luò)中，第k 個(gè)節(jié)點(diǎn)的輸入信號(hào)表示為uk(i)，數(shù)據(jù)重用后，輸入信號(hào)可寫成如下矩陣形式：

矩陣中的P 代表投影階數(shù)，M 為濾波器長(zhǎng)度，i 表示時(shí)刻，［·］T為矩陣的轉(zhuǎn)置。

輸出信號(hào)yk(i)和期望信號(hào)dk(i)分別寫成矩陣形式表達(dá)式如下：

式中，w0為待估計(jì)的權(quán)值向量，M 為長(zhǎng)度，vk(i)為信號(hào)中的加性干擾噪聲。

傳統(tǒng)的DAPA 算法是基于最小擾動(dòng)原理（Principle of minimal disturbance）推導(dǎo)所得，一般是求解如下的受條件約束的最優(yōu)化問(wèn)題：

節(jié)點(diǎn)k 通過(guò)與其通信組內(nèi)節(jié)點(diǎn)的中間權(quán)估計(jì)Φl(i)，利用拉格朗日乘子法對(duì)式(4)和(5)進(jìn)行推導(dǎo)，得基于ATC 式擴(kuò)散策略[22]的DAPA 迭代算法的更新過(guò)程如下：

誤差向量表示為：

其中l(wèi) 為節(jié)點(diǎn)k 的鄰居節(jié)點(diǎn)，al，k為聯(lián)合系數(shù)，1。Nk表示與節(jié)點(diǎn)k 相連的所有節(jié)點(diǎn)的鄰域，當(dāng)l?Nk時(shí)，al，k=0。δI 為避免逆矩陣不滿秩的情況，δ 是一個(gè)極小的數(shù)，I 為M×M 的單位矩陣。μk為節(jié)點(diǎn)k 的步長(zhǎng)參數(shù)。

上述DAPA 算法是基于L2 范數(shù)的自適應(yīng)濾波算法，在高斯噪聲下可以降低輸入信號(hào)的相關(guān)性，但在非高斯噪聲的干擾下會(huì)嚴(yán)重失調(diào)，為解決這一問(wèn)題，在此提出一種基于最大相關(guān)熵的仿射投影算法。

3 基于最大相關(guān)熵的分布式仿射投影算法

3.1 最大相關(guān)熵準(zhǔn)則

相關(guān)熵是兩個(gè)隨機(jī)序列X 和Y 之間的非線性相似性度量，定義為：

其中E(·)表示期望運(yùn)算符，x、y 是序列X、Y 中的元素，fXY(x，y)是X、Y 的聯(lián)合概率密度函數(shù)，κ(·)表示Mercer 核函數(shù)，其中最常用的Mercer 核函數(shù)是高斯核，定義為：

其中，σ＞0 表示核寬。

期望信號(hào)d(i)來(lái)自線性模型：

其中，w0為M×1 維待估計(jì)的未知參數(shù)向量，v(i)為背景噪聲，誤差信號(hào)為：

其中，w(i)是迭代到i 次時(shí)w0的估計(jì)。

在MCC 中，代價(jià)函數(shù)為：

3.2 DMCCAPA 算法

由于MCC 算法不能用于分布估計(jì)，故而在此提出DMCC 算法。DMCC 有兩種擴(kuò)散策略，分別是先結(jié)合后自適應(yīng)的CTA（Combine-Then-Adapt)模式和先自適應(yīng)后結(jié)合的ATC（Adapt-Then-Combine)模式。ATC 可以比CTA 更快地遍歷所有節(jié)點(diǎn)[23]，此處選用ATC 策略展開(kāi)討論。

DMCC 使用與MCC 相同的代價(jià)函數(shù)來(lái)抑制網(wǎng)絡(luò)中每個(gè)節(jié)點(diǎn)的脈沖噪聲。在具有N 個(gè)節(jié)點(diǎn)的分布式網(wǎng)絡(luò)中，待估計(jì)的未知向量為w0，k是M×1 維，節(jié)點(diǎn)k 在第i 次迭代時(shí)的局部測(cè)量值為｛dk(i)，Uk(i)｝，k=1，2，...， N，其中：

其中，vk(i)為背景噪聲，vk(i)和Uk(i)是相互獨(dú)立的。DMCC 是通過(guò)最大化節(jié)點(diǎn)k 的鄰居Nk內(nèi)的局部相關(guān)熵的線性組合來(lái)估計(jì)w0，k，DMCC 在節(jié)點(diǎn)k 處的代價(jià)函數(shù)為：

其中deg(k)表示節(jié)點(diǎn)k 的度（相鄰節(jié)點(diǎn)到節(jié)點(diǎn)k 鏈接的數(shù)目，包括代理k 自身）。

對(duì)式(14)關(guān)于wk求導(dǎo)：

因此，基于梯度法估計(jì)節(jié)點(diǎn)k 處w0，k的DMCC 算法可以表示為：

其中，Φk(i)為節(jié)點(diǎn)k 在i 時(shí)刻的中間估計(jì)值。

為了更好地理解本算法，將DMCCAPA 的算法規(guī)則歸納如下：

初始化： M=128，P=4，

對(duì)于每一次迭代i

4 仿真實(shí)驗(yàn)

為了進(jìn)一步證明算法的有效性，對(duì)新提出的算法及其他的分布式自適應(yīng)濾波算法在不同的條件下進(jìn)行了仿真實(shí)驗(yàn)。使各算法在同一收斂速度下對(duì)比各自的穩(wěn)態(tài)誤差：收斂速度相同時(shí)，得到穩(wěn)態(tài)越小，濾波算法的自適應(yīng)性越好，則表明在非高斯噪聲下算法具有較強(qiáng)的魯棒性。

4.1 噪聲環(huán)境

實(shí)驗(yàn)采用的輸入uk(i)為有色信號(hào)，它是均值為零的高斯分布的白信號(hào)通過(guò)一階AR 系統(tǒng)得到的。一階系統(tǒng)為。并在輸出信號(hào)yk(i)=中加入測(cè)量噪聲。仿真實(shí)驗(yàn)中噪聲分別為均值為零的白噪聲vk(i)和脈沖噪聲vk(i)，兩種噪聲模型分別如圖1 和圖2 所示。令其信噪比SNR=10×其中脈沖噪聲采用伯努利分布，也稱為(0，1)分布，寫成一個(gè)伯努利函數(shù)與高斯函數(shù)相乘的形式：vk(i)=χk(i)γk(i)，此處，χk(i)為伯努利分布，γk(i)為高斯分布。

4.2 性能指標(biāo)及參數(shù)設(shè)置

實(shí)驗(yàn)中選用網(wǎng)絡(luò)均方誤差（Network Mean Square Deviation，NMSD）的收斂曲線來(lái)評(píng)價(jià)各算法的收斂性能[24]，定義為：

其中，NMSD 的值越大收斂性能越差；反之，該值越小表明自適應(yīng)濾波系統(tǒng)越接近待估計(jì)系統(tǒng)。

為便于計(jì)算，由表1 給出實(shí)驗(yàn)中設(shè)置的參數(shù)。

表1 實(shí)驗(yàn)參數(shù)設(shè)置

4.3 仿真結(jié)果及分析

輸入為有色信號(hào)，高斯噪聲環(huán)境下，對(duì)DLMS 算法、DAPA 算法、DPSA 算法、DMCCLMS 算法以及新提出的DMCCAPA 算法的收斂性能進(jìn)行對(duì)比分析。

當(dāng)環(huán)境為高斯噪聲時(shí)，設(shè)置信噪比SNR 為20dB，DLMS、DAPA、DPSA、DMCCLMS 及DMCCAPA算法的步長(zhǎng)分別設(shè)置為0.2、0.15、0.08、0.002、0.001，其中DMCCLMS 和DMCCAPA 算法的核寬設(shè)為4。對(duì)比結(jié)果如圖3 所示?？梢?jiàn)，高斯噪聲下輸入為有色信號(hào)時(shí)，DLMS 和DMCCLMS 算法受有色信號(hào)的影響，算法收斂速度較慢。而DAPA、DAPSA 算法以及DMCCAPA 算法利用數(shù)據(jù)重用，降低了有色輸入信號(hào)對(duì)算法的影響。注意到新提出的DMCCAPA 算法的收斂速度最快。

圖3 高斯噪聲下各算法仿真對(duì)比

非高斯噪聲下進(jìn)行的仿真結(jié)果如圖4。分別設(shè)置DLMS、DAPA、DPSA、DMCCLMS 以及DMCCAPA算 法 的 步 長(zhǎng) 參 數(shù) 為0.3、0.2、0.075、0.003、0.0015。DMCCLMS 和DMCCAPA 算法的核寬設(shè)為4。由圖4可知，非高斯噪聲環(huán)境下，DLMS 和DAPA 算法徹底失調(diào)。DAPSA 采用符號(hào)算法對(duì)誤差信號(hào)進(jìn)行量化，對(duì)非高斯噪聲有一定的抗干擾能力，但量化后的誤差函數(shù)取值大幅受限，使得算法的穩(wěn)態(tài)誤差較大。而新提DMCCAPA 算法求誤差信號(hào)的最大相關(guān)熵，大大降低了非高斯噪聲的干擾，且收斂較快。對(duì)比這些算法在相同的收斂速度下，新算法穩(wěn)態(tài)誤差最小，具有較強(qiáng)的魯棒性。

圖4 脈沖噪聲下各算法仿真對(duì)比

5 結(jié) 束 語(yǔ)

基于對(duì)最大相關(guān)熵準(zhǔn)則的討論，以高斯核函數(shù)的DMCC 作為代價(jià)函數(shù)，提出一種基于DMCC 的仿射投影算法。在研究中借助了最大相關(guān)熵理論，作為一種基于信息熵理論的自適應(yīng)濾波算法，在非高斯噪聲下現(xiàn)實(shí)了較強(qiáng)的魯棒性。與DAPA 算法相結(jié)合，在輸入信號(hào)相關(guān)性較高的情況下，該算法能快速收斂。仿真結(jié)果表明，在非高斯噪聲下，DMCCAPA 算法具有更好的性能，具有較快的收斂速度和較小的穩(wěn)態(tài)誤差。