翁 浚，陳學(xué)忠，劉健寧

（西安理工大學(xué)機械與精密儀器工程學(xué)院，西安710048）

關(guān) 鍵 字：圓錐補償算法；幅相頻特性；減振器；相對算法誤差

圓錐補償算法是捷聯(lián)慣導(dǎo)系統(tǒng)算法設(shè)計重要組成部分，其對慣性導(dǎo)航精度的保證具有重要意義，因此國內(nèi)外專家都進行了深入研究。文獻[1]在圓錐補償算法設(shè)計時，首次引入了標準圓錐運動優(yōu)化系數(shù)的概念，推導(dǎo)了三子樣補償算法的標準公式，該公式在實際算法設(shè)計中得到了廣泛的應(yīng)用。文獻[2]指出標準圓錐環(huán)境下，等間隔的角增量叉積是相等的，且只與更新間隔的長度有關(guān)，基于這一特性，圓錐算法的補償形式得到了簡化。文獻[3]創(chuàng)新性地提出了一種新的基于頻率特性的圓錐算法設(shè)計方案，該算法能夠根據(jù)載體導(dǎo)航所處的運動環(huán)境的頻域特性，設(shè)計適用于某個頻段的優(yōu)化補償算法，提高了算法在高頻段的補償精度。

國內(nèi)多位捷聯(lián)慣導(dǎo)領(lǐng)域的學(xué)者也對圓錐補償算法進行了深入研究。文獻[4]利用陀螺輸出的角增量信息的前兩個計算周期和當(dāng)前時刻陀螺采樣值，通過重疊式采樣的方法進行圓錐誤差補償，該算法減少了由等效旋轉(zhuǎn)矢量算法引入的圓錐誤差，提高了姿態(tài)解算精度。文獻[5]考慮了高階圓錐誤差補償，提出的旋轉(zhuǎn)矢量微分方程高階皮卡德分量算法在高動態(tài)振動環(huán)境下提高了導(dǎo)航精度。文獻[6]根據(jù)圓錐誤差積分和多項式系數(shù)向量叉積運算的特性，得出任意多樣本的最佳圓錐補償系數(shù)，更利于編程實現(xiàn)。文獻[7]提出了一種改進的二階圓錐補償算法來抑制振動對慣導(dǎo)系統(tǒng)的影響。

現(xiàn)有的圓錐補償算法基本上都是針對陀螺輸出為理想的情況，而在實際激光捷聯(lián)慣導(dǎo)系統(tǒng)中，激光陀螺的幅相頻特性及減振器的帶寬會對圓錐補償算法精度產(chǎn)生不可忽視的影響，有必要針對實際器件的物理特性設(shè)計適用于指定系統(tǒng)的補償算法。

1 減振器帶寬與激光陀螺的幅相頻畸變

由于設(shè)計、配重等原因，慣導(dǎo)系統(tǒng)的質(zhì)心和形心一般無法完全重合，外部環(huán)境的振動將會引入內(nèi)臺體的小幅角晃動。下面通過一個簡化的解析模型來描述慣導(dǎo)系統(tǒng)對振動干擾源的響應(yīng)[8-10]。

圖1 簡化的慣性組件振動響應(yīng)示意圖Fig.1 Simplified vibration response diagram of inertial components

如圖1所示，xF為慣性測量單元（Inertial Measurement Unit，IMU）殼體振動輸入位移，x,x1,2分別為傳感器組件中心點和兩個連接點處的位移；θ為傳感器組件由振動輸入引起的角度響應(yīng)；ki,ci(i=1,2)為IMU 殼體與傳感器組件間安裝接口處的彈簧和阻尼系數(shù)；L,l分別為慣性傳感器組件的直徑和半徑；δl為傳感器組件質(zhì)心相對幾何中心的距離。

經(jīng)推導(dǎo)，加速度輸入引入的角度響應(yīng)的拉氏變換[11]

式中，ωx,ξx為線振動無阻尼自然頻率和阻尼比；ωθ,ξθ為角晃動無阻尼自然頻率和阻尼比，εk,εc,εl為歸一化的彈性、阻尼和距離誤差參數(shù)。

將式(2)代入式(1)后整理得

設(shè)置一組典型的減振器參數(shù)如下

對應(yīng)的幅相頻響應(yīng)曲線如圖1所示。

如圖2所示，減振器能夠衰減100 Hz 以上的振動干擾。從頻域上看，圓錐補償算法在設(shè)計時應(yīng)該只考慮減振器通帶范圍內(nèi)的影響。

激光陀螺通過抖動輪安裝在臺體上，其傳遞函數(shù)可以表示為

式中，ωn為抖輪的諧振圓頻率，激光陀螺的抖動頻率一般在300 ～ 600 Hz 之間。

假設(shè)某激光陀螺的抖動頻率為fdither=475 Hz，抖動幅值為6'，陀螺的品質(zhì)因子q為50。則該抖動機構(gòu)的幅相頻響應(yīng)曲線如圖3所示。

圖3 水平方向的抖動機構(gòu)的幅相頻響應(yīng)曲線Fig.3 Amplitude-phase-frequency response curve of the horizontal dithering mechanism

可以看出，在減振器的通帶范圍內(nèi)，激光陀螺的幅相頻畸變都很小，但不為0，這也意味著采用傳統(tǒng)圓錐補償算法的效果未必是最優(yōu)的。

2 改進的圓錐補償算法設(shè)計

標準圓錐運動環(huán)境下，考慮陀螺的幅相頻特性，陀螺敏感載體角增量變化值如下

式中，θt,x和θt,y分別表示陀螺在水平兩個軸向在t時刻的角度；Ω 為角晃動圓頻率；a和b分別為兩個軸向的晃動幅值，上標“～”表示陀螺測量得到的幅值信息，g1(Ω)和g2(Ω)表示考慮了抖動機構(gòu)和數(shù)字濾波影響的角度幅值；φ1和φ2分別表示由于抖動機構(gòu)和數(shù)字濾波引入的相位延遲。

一個姿態(tài)更新周期的旋轉(zhuǎn)矢量增量

式中，Δθ為一個姿態(tài)更新周期內(nèi)的角增量積分；Δφc為圓錐補償項。在如式(5)和式(6)描述的標準圓錐運動環(huán)境下，Δθ僅對水平分量產(chǎn)生影響，而圓錐補償項Δφc會在天向分量產(chǎn)生常值項。

依據(jù)圓錐項的補償公式

式中，M為一個姿態(tài)更新周期內(nèi)的圓錐補償次數(shù)；角增量及其積分第m個圓錐補償周期的初始時刻tl-1,m=tm-1+ (m-1)Δtl，圓錐補償周期的結(jié)束時刻tl,m=tm-1+mΔtl；Δφc1為過去角增量的積分αm與當(dāng)前補償周期的角增量Δθm對姿態(tài)更新的影響:Δφc2對每個圓錐補償周期內(nèi)需要補償?shù)牟糠智蠛?。其中δφc(m)的計算采用所有子樣之間的叉乘積之和來進行補償。

Δφc1和δφc(m)項的計算涉及到兩個不同積分周期的叉乘項，如:i,j兩個不同積分區(qū)間的陀螺增量Δθi和Δθj的叉乘項

式中，

Δt為陀螺數(shù)據(jù)的積分時間間隔；ti-1,tj-1為i,j積分區(qū)間的初始時刻。將式(10)代入式(9)，整理得

其中，

由式(11)和式(12)可以看出，陀螺不同時間周期內(nèi)角增量的叉乘項結(jié)果是僅與采樣間隔(j-i)、圓錐運動頻率Ω 和時間周期Δt相關(guān)的正弦函數(shù)。

下面分別對補償算法式(8)中的 Δφc1,Δφc2項的值和載體應(yīng)當(dāng)補償?shù)膱A錐項大小進行分析。

(1)Δφc1項

將式(12)代入式(8)的Δφc1項的計算公式，并令積分區(qū)間 Δt=Δtl，得

式中，Siλ=sin(iλ),(i=1,2…M)；tm-1為姿態(tài)更新的初始時刻；tm為姿態(tài)更新的結(jié)束時刻。

令式(13)中tm-1=0，得

式(14)表示從0 時刻姿態(tài)更新到tm時刻，每個姿態(tài)更新周期內(nèi)的Δφc1的值?？梢钥闯龅忍栍疫吚ㄌ杻?nèi)的第二項為周期項。

(2)Δφc2項

根據(jù)文獻[12]中計算Δφc2項

從式(15)看出，圓錐補償算法影響的部分是式(15)中的正弦組合項F(iλ)的加權(quán)和。

(3)需要補償?shù)膱A錐項

環(huán)境振動引起臺體晃動，兩軸晃動會在對應(yīng)軸向產(chǎn)生同頻率的晃動，而在正交軸上存在一定的和頻分量和差頻分量。忽略正弦項的影響，可得圓錐補償項的速率形式

Δφc1項和Δφc2項是考慮了陀螺幅相頻特性后得到的圓錐補償項的值，而載體本身需要補償?shù)膱A錐項應(yīng)當(dāng)是“理想”陀螺在一個更新周期Δtm的等效旋轉(zhuǎn)矢量增量。根據(jù)式(16)，令積分初始時刻t0=0，可得到等效旋轉(zhuǎn)矢量增量

將式(14)和式(15)相加，令積分初始時刻tm-1=0，得

式中，tm-1為算法積分的初始時刻。

將式(18)減去式(17)，忽略周期項的影響，并除以圓錐補償周期個數(shù)M，便能夠得到一個圓錐更新周期內(nèi)的算法誤差

式中，

也被稱為圓錐漂移率。式(19)兩邊同時除以更新周期Δtl，并令，得誤差的常值分量

式中，表示補償算法本身引入的誤差漂移。式(21)的意義在于一旦算法確定后，就可以對特定環(huán)境（可以不同于算法設(shè)計時的Φ˙）下的算法精度進行評估。

式(20)中，Es(Ω)等號右邊第二項乘以，得

式中，就是考慮陀螺幅相頻特性條件下，圓錐補償周期需要補償?shù)钠平撬俾省Ａ頵(Ω)=1，得

用式(21)對算法進行評估時，需要知道評估環(huán)境，可除以式(22)得

式中，κc一般稱為相對圓錐誤差，表示了算法能夠補償圓錐誤差的百分比，其值不再與相關(guān)。

從頻域角度對圓錐補償算法進行設(shè)計，依據(jù)加權(quán)最小二乘的FIR 數(shù)字濾波器[13,14]設(shè)計思路，將ec在感興趣的頻域范圍［0,λmax］內(nèi)求平方并積分，整理得

式中，E相當(dāng)于在頻域范圍內(nèi)的誤差能量大小；為每個圓錐頻率點處的比重，通過對不同頻段內(nèi)權(quán)重的設(shè)定，能使得算法在相應(yīng)頻段取得不同的補償效果。

對式(25)中的待定系數(shù)求ki偏導(dǎo)，并令其導(dǎo)數(shù)為零，整理得

式中，

和

其中，j的取值范圍與i相同。將式(27)和(28)寫成離散形式

和

式中，dλ為離散頻率考察點的分辨率，相當(dāng)于每個頻率點的權(quán)重系數(shù)。將式(27)寫成矩陣形式為

這里給出7 種圓錐補償算法的補償系數(shù)，如表1所示。

表1 圓錐補償算法系數(shù)Tab.1 Coning compensation algorithm coefficients

表1中，算法alg-0 表示不進行圓錐補償；算法alg-1～ alg-3 為傳統(tǒng)圓錐補償算法系數(shù)；算法alg-1i～alg-3i 為考慮幅相頻特性的圓錐補償算法系數(shù)。慣導(dǎo)系統(tǒng)的相關(guān)仿真參數(shù):減振器帶寬100 Hz，水平兩個軸向的抖動頻率設(shè)為425 Hz 和475 Hz，方位軸的抖動頻率為525Hz；陀螺品質(zhì)因子q為50。圓錐補償算法的設(shè)計思路是:0～100Hz內(nèi)的權(quán)重，其余部分的。這樣設(shè)計是希望在運動頻帶內(nèi)的圓錐補償精度是一致的，同時抑制非運動頻帶內(nèi)可能產(chǎn)生的偽圓錐運動的影響。

3 仿真與分析

下面對傳統(tǒng)圓錐補償算法和本文提出的考慮幅相頻特性的圓錐補償算法在頻段范圍內(nèi)進行對比仿真。仿真環(huán)境參數(shù)設(shè)置如下:運動軌跡為標準圓錐運動，陀螺采樣頻率為2 KHz，水平兩個軸向的角晃動幅值a=b=0.1o，進行考察的晃動角頻率范圍Ω=0 ～ 200 π （rad/s），再結(jié)合式(3)的傳遞參數(shù)，得到圖4的漂移誤差曲線。

圖4為抖動頻率在20 Hz 處的算法漂移誤差曲線，左上角圖中“虛線”表示alg-0，上面三幅圖中的“實線”表示算法alg-1～alg-3，下面三幅圖表示算法alg-1i～alg-3i。從前面的分析和仿真可以看出，算法誤差漂移曲線可能存在漂移項的同時還存在正弦項，z 軸的常值漂移率可以通過對正弦調(diào)制下的姿態(tài)誤差δφz(t)進行線性擬合得到。

圖4 抖動頻率20 Hz 的算法漂移誤差曲線Fig.4 Algorithm drift error curve of dithering frequency at 20 Hz

圖5為標準圓錐運動下，算法相對誤差的理論值和仿真結(jié)果。圖中，各種類型的“點”表示如圖4的圓錐誤差漂移率的擬合值，“虛線”為式(25)給出的算法alg-1i 的誤差公式。可以看出，誤差公式(25)與采用alg-1i 補償算法得到的多次仿真結(jié)果完全重合。

圖5 仿真得到的絕對圓錐算法相對誤差值Fig.5 Relative error value of absolute coning algorithm obtained by simulation

由圖5可知，由于機抖陀螺的幅相頻特性影響，使得傳統(tǒng)圓錐補償算法的精度并不高，從圖5可以看出，alg-1～alg-3 三種傳統(tǒng)算法的補償精度基本上是相同的，即陀螺的幅相頻特性使得算法沒有發(fā)揮出本身的優(yōu)勢，相對算法誤差約為31%。采用alg-1i～alg-3i的補償算法后，算法精度隨著每個補償周期內(nèi)的采樣點個數(shù)增高而提高，相對算法誤差在每個頻率點都優(yōu)于0.04%。采用alg-1i 估計的曲線與仿真得到的曲線相符合。對于捷聯(lián)慣導(dǎo)系統(tǒng)來說，要求導(dǎo)航更新算法引入的誤差影響要小于器件誤差的5%。對于慣性級（陀螺零偏 1×10-2o/h）的慣導(dǎo)系統(tǒng)來說，傳統(tǒng)算法的補償精度在一般情況下能夠滿足精度要求，但對于千分級甚至更高精度的機抖激光陀螺慣導(dǎo)系統(tǒng)而言，應(yīng)當(dāng)在捷聯(lián)算法設(shè)計時，充分考慮慣性元件幅相頻特性的影響。

4 結(jié) 論

本文提出了一種考慮激光陀螺幅相頻畸變和慣導(dǎo)系統(tǒng)減振器帶寬，適用于激光慣導(dǎo)系統(tǒng)圓錐補償算法的設(shè)計方法，通過合理的建模仿真，證明了改進的圓錐補償算法設(shè)計對圓錐補償精度有較大的提升。在算法設(shè)計過程中，改進的圓錐補償算法使得系統(tǒng)在減振器帶寬范圍內(nèi)達到最小二乘意義上最小，相對算法誤差由傳統(tǒng)方法的31%減小到0.04%。同時仿真試驗也證明了圓錐補償算法誤差公式的正確性，為高精度激光陀螺慣導(dǎo)系統(tǒng)圓錐補償算法的優(yōu)化設(shè)計提供了理論支撐。