王衛(wèi)杰，張雅聲，任 元，姚 紅，劉 通

（1.航天工程大學(xué) 宇航科學(xué)與技術(shù)系，北京 101416；2.航天工程大學(xué) 航天指揮學(xué)院，北京 101416）

航天器軌道動力學(xué)（orbital dynamics）是以高等數(shù)學(xué)、牛頓力學(xué)、控制理論為基礎(chǔ)研究航天器軌道（或質(zhì)心）運動理論和軌道應(yīng)用的科學(xué)。航天器軌道即航天器質(zhì)心的運動軌跡。自1957 年第一顆人造地球衛(wèi)星發(fā)射成功以來，航天器軌道動力學(xué)逐步發(fā)展成為與工程實踐密切相關(guān)的應(yīng)用學(xué)科。

我校致力于培養(yǎng)航天指揮管理與工程技術(shù)人才，航天器軌道動力學(xué)是我校航天本科專業(yè)和航空宇航科學(xué)與技術(shù)學(xué)科研究生必修的專業(yè)課。學(xué)習(xí)該課程既要有扎實的數(shù)學(xué)力學(xué)等相關(guān)先修基礎(chǔ)知識，也需要有跳出地球看宇宙的空間邏輯思維想象力。對于習(xí)慣以地球為宇宙時空中心的初學(xué)者，面對浩瀚的數(shù)學(xué)公式，多種時空參數(shù)的交替轉(zhuǎn)化，如何調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，保證良好的課堂教學(xué)質(zhì)量，是主講教師必須思考的問題。

1 STK 軟件及其應(yīng)用

仿真實驗實踐教學(xué)有利于引導(dǎo)學(xué)生探究性學(xué)習(xí)，提高教學(xué)效果[1-2]，是當(dāng)前教學(xué)模式改革方向之一，航天動力學(xué)仿真軟件是航天動力學(xué)理論與工程實踐聯(lián)通的橋梁。目前最為成熟的航天任務(wù)仿真分析商業(yè)軟件當(dāng)屬美國AGI 公司開發(fā)的STK。其原名為衛(wèi)星工具包，具有復(fù)雜實體建模、優(yōu)異仿真分析、強大交互式圖文輸出、可靠計算結(jié)果和極強擴展性等功能和特點[3]。在課堂教學(xué)中，STK 可將抽象的教學(xué)內(nèi)容可視化，拓展學(xué)生的實踐技能，加深對所學(xué)知識的應(yīng)用理解。文獻[4]針對航天裝備教學(xué)中存在的教學(xué)手段單調(diào)和實踐環(huán)節(jié)不足等問題，基于STK 給出了地球靜止軌道（GEO）攝動仿真的實驗教學(xué)案例。文獻[5—6]分別將STK 引入天體力學(xué)和航天測控課堂教學(xué)，給出了基于STK 的復(fù)雜坐標(biāo)演示和簡單軌道模擬等仿真實例。文獻[7—9]針對衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)教學(xué)仿真需求，引入STK 輔助課程教學(xué)，制作了基于STK 的北斗導(dǎo)航衛(wèi)星星座地面覆蓋性能應(yīng)用案例。文獻[10—11]采用STK制作了航天器的軌道預(yù)報和衛(wèi)星星座仿真實例。文獻[12]探討了STK 在作戰(zhàn)模擬與仿真課程教學(xué)中的應(yīng)用。上述研究結(jié)合自身教學(xué)需求從不同側(cè)面應(yīng)用了STK 仿真功能，但在課程分析和學(xué)生實踐參與度方面仍需加強。

基于上述分析，本文針對航天器軌道動力學(xué)課程理論性和應(yīng)用性強的特點，研究基于STK 的課程仿真實驗實踐教學(xué)方法。結(jié)合學(xué)生學(xué)情，以問題為導(dǎo)向，明晰課程教學(xué)目標(biāo)，梳理課程內(nèi)容體系，提出基于仿真場景課件和仿真實驗課程設(shè)計的教學(xué)改革思路。分析了基于STK 的課程教學(xué)仿真課件和實驗設(shè)計教學(xué)模式，提煉出航天器軌道機動設(shè)計和地面覆蓋能力分析兩個課程設(shè)計題目。選取經(jīng)典霍曼轉(zhuǎn)移軌道，基于STK/Astrogator 模塊給出了軌道機動設(shè)計的仿真實例。

2 航天器軌道動力學(xué)課程分析

2.1 教學(xué)目標(biāo)

航天器軌道動力學(xué)課程以天體力學(xué)及基本控制理論知識體系為依據(jù)，圍繞航天器軌道運動理論及其應(yīng)用開展教學(xué)。課程通常開設(shè)于本科第7 學(xué)期，學(xué)生已完成相關(guān)基礎(chǔ)理論課學(xué)習(xí)，進入專業(yè)技能學(xué)習(xí)階段，希望通過學(xué)習(xí)將抽象的數(shù)學(xué)力學(xué)問題具體化、實踐化。通過本課程學(xué)習(xí)，應(yīng)讓學(xué)生明晰以下問題：

（1）作為人造天體，航天器運行在什么樣的時空環(huán)境？涉及哪些坐標(biāo)系？

（2）什么是航天器軌道，軌道運行有哪些特點，如何進行描述？何為開普勒根數(shù)？

（3）航天器運動受哪些作用力影響？何為攝動力？

（4）航天器如何保持或抵達(dá)目標(biāo)軌道？如何根據(jù)任務(wù)需要調(diào)整軌道？何為軌道機動？

（5）如何設(shè)計航天器軌道，使其更好地為人類服務(wù)，典型軌道有哪些？

這些問題構(gòu)成了本課程的主要內(nèi)容，也是本課程教學(xué)的重點、難點。

2.2 課程內(nèi)容體系

航天器軌道動力學(xué)是在經(jīng)典天體力學(xué)的基礎(chǔ)上發(fā)展而來的，經(jīng)典天體力學(xué)在研究自然界天體運動的過程中總結(jié)出軌道攝動理論。航天器具有自然天體的一般運動規(guī)律，區(qū)別在于軌道可以人為選擇并加以控制，使命任務(wù)是為人類提供探測、導(dǎo)航、通信和科學(xué)實驗等軌道應(yīng)用功能，因此航天器軌道動力學(xué)課程內(nèi)容包括軌道運動理論和軌道應(yīng)用兩大部分，如圖1 所示。

圖1 航天器軌道動力學(xué)課程內(nèi)容體系

軌道運動理論研究的目的在于精確地求出航天器在任意時刻、給定坐標(biāo)下的位置、速度。涉及的坐標(biāo)系主要有地球慣性坐標(biāo)系（地慣系）、地心固連坐標(biāo)系（地固系）和軌道坐標(biāo)系等。軌道運動以攝動理論為基礎(chǔ)，將航天器軌道分為符合二體問題運動規(guī)律的開普勒軌道，即理想軌道，以及實際軌道與理想軌道的差，即軌道攝動。求解軌道攝動的方法有近似解析法（普遍攝動法）和數(shù)值積分法（特別攝動法）。

軌道應(yīng)用研究以軌道運動理論為基礎(chǔ)，應(yīng)用類型可分為對地信息支援、在軌操控以及深空探測等三個方面。其中對地信息支援涉及航天器與地面的相對運動，是目前最主要的軌道應(yīng)用類型。本課程軌道應(yīng)用教學(xué)主要圍繞對地信息支援展開，內(nèi)容包括軌道機動、軌道設(shè)計、典型軌道等。軌道機動是在航天器運動過程中施加控制力以保持或改變原來的軌道；軌道設(shè)計是根據(jù)航天器擔(dān)負(fù)的使命論證選擇最有利的運行軌道；業(yè)已設(shè)計且實際應(yīng)用的典型軌道主要有地球靜止衛(wèi)星軌道、回歸軌道、太陽同步軌道、凍結(jié)軌道等。

2.3 教學(xué)改革思路

基于上述分析，航天器軌道動力學(xué)課程具有理論性和工程應(yīng)用性強的特點。為了調(diào)動學(xué)生課堂學(xué)習(xí)積極性，發(fā)揮課下主觀能動性，圍繞課程教學(xué)目標(biāo)和內(nèi)容體系，借鑒國內(nèi)相關(guān)課程的教學(xué)改革方法和實踐經(jīng)驗，結(jié)合筆者近些年本課程教學(xué)體會，認(rèn)為應(yīng)增強軌道理論的形象化和軌道應(yīng)用的實踐化，并提出基于STK 的仿真場景課件和仿真課程實驗的教學(xué)改革思路。

3 基于STK 的仿真教學(xué)模式

航天器軌道動力學(xué)教學(xué)中的STK 仿真教學(xué)包括兩種教學(xué)模式：理論教學(xué)中基于STK 的仿真場景課件制作；實踐教學(xué)中基于STK 的仿真實驗課程設(shè)計。

3.1 仿真場景課件制作

軌道理論難以像基礎(chǔ)教學(xué)那樣去層層推導(dǎo)數(shù)學(xué)公式，且許多公式本身也無法用解析的方式給出推導(dǎo)過程，如開普勒軌道方程的求解。同時，對于航天器運行的空間時空關(guān)系，也很難用語言或手繪圖形表述，因此將STK 仿真場景作為課件要素引入教學(xué)十分必要。

仿真場景課件利用STK/VO 模塊2D/3D 可視化場景，可將復(fù)雜抽象的軌道動力學(xué)理論知識以平面/立體的圖片/視頻形式直觀展現(xiàn)出來。以講授航天器軌道和坐標(biāo)系的相關(guān)內(nèi)容為例，制作3D 仿真場景視頻，如圖2 所示。場景參考系設(shè)置為地慣系（紅色坐標(biāo)軸），播放場景后，地慣系和航天器軌道（黑色橢圓）保持不變，地固系（黑色坐標(biāo)軸）隨地球自轉(zhuǎn)，航天器則在軌道上運行。通過仿真場景，對動靜坐標(biāo)系、航天器軌道穩(wěn)定性和航天器位置時變性之間的關(guān)系一目了然。

圖2 坐標(biāo)系及航天器的軌道運動

3.2 仿真實驗課程設(shè)計

結(jié)合軌道理論知識，圍繞軌道工程應(yīng)用，設(shè)計了STK 仿真實驗題目，讓學(xué)生動手分析軌道攝動影響，面對具體任務(wù)設(shè)計軌道，通過軌道機動達(dá)成目標(biāo)軌道，基于應(yīng)用需求明晰航天器對地覆蓋性能等，培養(yǎng)提高學(xué)生航天素質(zhì)。并通過量化的圖表報告，使學(xué)生學(xué)會運用相關(guān)航天理論和規(guī)律分析航天器軌道性能指標(biāo)，為學(xué)生勝任航天指揮和工程應(yīng)用崗位需求奠定基礎(chǔ)，突出課程的實戰(zhàn)化教學(xué)導(dǎo)向。

考慮本課程包括軌道運動理論和軌道應(yīng)用兩大模塊，軌道運動理論是軌道應(yīng)用的基礎(chǔ)，因此軌道應(yīng)用仿真實驗設(shè)計也是對學(xué)員所學(xué)軌道運動理論的綜合應(yīng)用。在軌道應(yīng)用部分，軌道機動和軌道設(shè)計緊密相連，軌道機動是實現(xiàn)所設(shè)計軌道的途徑，軌道設(shè)計則圍繞航天器與地面的相對運動關(guān)系，聚焦星下點軌跡和地面覆蓋分析。

基于上述分析，在教學(xué)中提煉出兩個仿真實驗課程設(shè)計案例：①基于STK/Astrogator 模塊的航天器軌道機動設(shè)計；②基于STK/Coverage 覆蓋模塊的航天器地面覆蓋能力分析。

下面給出基于STK/Astrogator 的航天器軌道機動設(shè)計仿真實驗應(yīng)用實例。

4 課程設(shè)計應(yīng)用實例

4.1 STK/Astrogator 模塊

STK/Astrogator 是交互式軌道機動和軌道設(shè)計的專用分析模塊，用于高精度軌道機動設(shè)計仿真分析，其頁面如圖3 所示。

圖3 STK/Astrogator 模塊頁面

STK/Astrogator 通過用戶定義的任務(wù)控制序列（mission control sequence，MCS）來計算航天器星歷及執(zhí)行程序飛行任務(wù)，從而實現(xiàn)航天器沿預(yù)定軌道運行。作為一種圖形編程語言，MCS 以任務(wù)段（mission segments）的形式規(guī)定如何計算航天器軌道。任務(wù)段分為星歷生成段和程序控制段兩大類。

星歷生成段顧名思義用于生成不同飛行任務(wù)的航天器星歷，共分為7 種：①初始狀態(tài)段（Initial State），用來定義MCS 航天器根數(shù)、質(zhì)量、燃料等初始條件；②發(fā)射段（Launch），用于模擬從地球或其他天體發(fā)射航天器；③跟隨段（Follow），用于模擬子航天器在給定位置伴隨主航天器飛行；④機動段（Maneuver），用來設(shè)定發(fā)動機點火進行軌道機動，一種為“脈沖模型”（Impulsive）模式，另一種為“有限推力模型”（Finite）模式；⑤外推段（Propagate），用來將衛(wèi)星的軌道按照選定的力模型進行軌道外推計算，采用的軌道預(yù)報器為HPOP；⑥保持段（Hold），用于模擬交會對接操作中航天器位置的保持；⑦更新段（Update），用于修改航天器屬性和用戶變量，反映任務(wù)期間發(fā)生的變化。

程序控制段用于控制MCS 任務(wù)的執(zhí)行順序，分為5 種：①序列段（Sequence），組織包含任意段構(gòu)成系列段，可通過Scripting Tool 腳本工具使對象屬性、對象組件和自定義參數(shù)進行交互；②反向序列段（Backward Sequence），與序列段類似，不同處是按照時間相反的方向進行，通常用來在已知條件下反推之前的狀態(tài)；③目標(biāo)序列段（Target Sequence），相比序列段增加了2 類搜索配置文件和7 類段配置文件，其中搜索文件“微分修正器（Differential Corrector）”利用微分校正算法，根據(jù)約束量自動調(diào)整自變量的值，直至滿足需求；④返回段（Return），用來返回到其父段；⑤終止段（Stop），用來控制是否終止MCS運行。

在軌道機動設(shè)計仿真中，上述各段按照設(shè)定順序排列，STK 每計算完一段后，保存各種狀態(tài)量，并作為下一段的初始值，進行下一段計算，直至結(jié)束。

4.2 霍曼轉(zhuǎn)移仿真實驗

霍曼轉(zhuǎn)移是軌道機動教學(xué)的經(jīng)典內(nèi)容之一。霍曼轉(zhuǎn)移軌道（Hohmann transfer orbit）是兩次沖量的最優(yōu)轉(zhuǎn)移，是針對同心共面、半徑不同的兩圓軌道之間的轉(zhuǎn)移，可用于實現(xiàn)航天器交會對接[13]，其過程原理如圖4 所示。在半徑為1r 的圓軌道1C 上的任意點，施加速度沖量Δ1v，進入橢圓轉(zhuǎn)移軌道E，該點即為軌道E的近地點，在E 的遠(yuǎn)地點施加速度沖量Δ2v，進入半徑為2r 的圓軌道C2。

圖4 霍曼轉(zhuǎn)移示意圖

仿真實驗中，1r =6 878 km，2r = 42 164 km，即初軌道為高度500 km 的近地軌道，終軌道為地球靜止軌道（GEO）。對1C、 C2、E 軌道分別運用活力公式，即：

式中，v 為航天器速度，μ 為地球引力常數(shù)，r 為航天器與地心的距離，a 為軌道半長軸。

可得 v1=7.61 km/s，v2=3.07 km/s，Δ v1= 2.37 km/s，= 1.44 km/s。

依據(jù)上述參數(shù)，結(jié)合圖4 所示轉(zhuǎn)移過程，基于STKK/Astrogator 定義霍曼軌道轉(zhuǎn)移仿真MCS，如圖5所示，共用到了5 個任務(wù)段。

圖5 霍曼轉(zhuǎn)移MCS

仿真流程如下：

步驟1：利用Initial State 段在地慣系笛卡爾坐標(biāo)中設(shè)置初軌道參數(shù)。

步驟2：利用Propagate 段設(shè)置航天器在1C 軌道上的運行時間，其中軌道預(yù)報器選用HPOP，終止條件為遠(yuǎn)地點Apoapsis。

步驟 3：利用 Target_Sequence1 及其包含的Maneuver 和Propagate 段仿真實現(xiàn)航天器第一次沖量變軌。首先在Maneuver 中將機動類型設(shè)置為沖量型Impulsive，選中X 軸分量施加速度沖量，此變量將被作為搜索文件的控制參數(shù)（control parameters）。其次，在 Propagate 段中通過“Results…”選項添加變量Altitude Of Apoapsis，作為搜索文件中的等式約束量（equality constraints）。最后，在Target_Sequence1 中配置搜索文件Differential Corrector，將速度沖量修正值Correction 設(shè)置為2.37 km/s；將轉(zhuǎn)移軌道遠(yuǎn)地點期望高度設(shè)置為35 286 km，如圖6 所示。

步驟4：與步驟3 類似，利用Target_Sequence2實現(xiàn)航天器第二次沖量變軌，與第一次變軌不同之處是，速度沖量修正值為1.44 km/s，等式約束量為偏心率Eccentricity，因終軌道為地球靜止軌道，故偏心率期望值設(shè)為0。

圖6 Differential Corrector 搜索文件頁面

基于上述仿真流程，點擊運行MCS，最終實現(xiàn)霍曼轉(zhuǎn)移仿真實驗案例，如圖7 所示。圖中坐標(biāo)為地慣系，綠色軌跡為初軌道，藍(lán)色軌跡為轉(zhuǎn)移軌道，黑色軌跡為終軌道。對于仿真過程的具體分析報告，可通過Astrogator 模塊的Summary 查看。

圖7 霍曼轉(zhuǎn)移仿真實現(xiàn)圖

5 結(jié)語

針對航天器軌道動力學(xué)課程理論性和應(yīng)用性強的特點，研究了基于STK 的課程仿真實驗教學(xué)方法。結(jié)合學(xué)生情況，以問題為導(dǎo)向，明晰課程教學(xué)目標(biāo)，梳理課程內(nèi)容體系，提出了基于仿真場景課件和仿真實驗課程設(shè)計的教學(xué)改革思路，提煉出航天器軌道機動設(shè)計和地面覆蓋能力分析兩個課程設(shè)計題目。選取經(jīng)典霍曼轉(zhuǎn)移軌道，基于STK/Astrogator 模塊給出了軌道機動設(shè)計的仿真實驗實例。教學(xué)實踐表明，該方法有利于學(xué)生構(gòu)建空間邏輯思維、理解復(fù)雜理論問題、培育實踐應(yīng)用能力，有效提升了教學(xué)效果。