毛北行, 王東曉

(鄭州航空工業(yè)管理學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院, 鄭州 450015)

目前, 混沌同步已引起人們廣泛關(guān)注[1-4], 用滑模方法研究混沌同步得到了廣泛應(yīng)用并取得了大量成果[5-8], 如文獻(xiàn)[9]研究了不確定非線性動(dòng)力系統(tǒng)的滑模同步問題； 文獻(xiàn)[10]研究了Newton-Leipnik混沌系統(tǒng)的滑模同步, 給出了滑模同步方案; 文獻(xiàn)[11]通過設(shè)計(jì)分?jǐn)?shù)階滑模控制器研究了非線性混沌系統(tǒng)的同步問題； 文獻(xiàn)[12]研究了超混沌Bao系統(tǒng)自適應(yīng)滑模同步. 由于實(shí)際系統(tǒng)均可用分?jǐn)?shù)階微分方程建立數(shù)學(xué)模型且更符合模型特點(diǎn), 因此該方面的研究備受關(guān)注. 如文獻(xiàn)[13]研究了分?jǐn)?shù)階Victor-Carmen混沌系統(tǒng)自適應(yīng)滑模同步, 給出了滑模函數(shù)和控制器的構(gòu)造與設(shè)計(jì)； 文獻(xiàn)[14]根據(jù)積分比例滑模方法研究了超混沌分?jǐn)?shù)階Bao系統(tǒng)的同步； 文獻(xiàn)[15]研究了一類分?jǐn)?shù)階四維動(dòng)力系統(tǒng)的比例積分滑模同步4種方法； 文獻(xiàn)[16]研究了分?jǐn)?shù)階不確定Victor-Caremn混沌系統(tǒng)的自適應(yīng)滑模同步; 文獻(xiàn)[17-18]研究了不確定混沌系統(tǒng)的有限時(shí)間同步. 此外, 系統(tǒng)建模時(shí)需考慮外擾和不確定性因素的影響, 分?jǐn)?shù)階非線性混沌系統(tǒng)的同步問題是非線性混沌學(xué)科研究的重點(diǎn)和難點(diǎn), 利用自適應(yīng)滑模研究方法處理分?jǐn)?shù)階非線性混沌系統(tǒng)的同步問題目前文獻(xiàn)報(bào)道較少. 基于此, 本文給出滑模函數(shù)和控制器的構(gòu)造及自適應(yīng)規(guī)則, 得到分?jǐn)?shù)階非線性混沌系統(tǒng)自適應(yīng)滑模同步的充分條件, 將相同階的相關(guān)結(jié)論推廣到不同階情形, 并用MATLAB進(jìn)行數(shù)值仿真驗(yàn)證.

1 主要結(jié)果

定義1[19]Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義為

1.1 相同階系統(tǒng)的同步

主系統(tǒng)設(shè)計(jì)為

(1)

從系統(tǒng)設(shè)計(jì)為

(2)

定義e(t)=y(t)-x(t), 將式(1)和式(2)相減可得方程

(3)

假設(shè)1|di(t)|<γi, |Δgi(y,t)|<βi, 其中γi,βi>0.

引理1[19]若x(t)為連續(xù)可微函數(shù), 則對(duì)任意的t≥0, 有

定理1在假設(shè)1條件下, 設(shè)計(jì)滑模函數(shù)

其中ki>0, 控制器

不在滑模面上時(shí), 構(gòu)造函數(shù)

根據(jù)引理1, 求分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)得

利用引理2得si→0?ei→0.

1.2 不同階系統(tǒng)的同步

下面考慮不等階系統(tǒng), 以系統(tǒng)(1)為主系統(tǒng), 設(shè)計(jì)從系統(tǒng)為

(4)

假設(shè)2|di(t)|<γi, |Δgi(y,t)|<βi, 其中γi,βi>0.

定理2的證明與定理1類似, 故略.

2 數(shù)值仿真

設(shè)計(jì)主系統(tǒng)為

(5)

當(dāng)a=0.9,b=0.1,c=1.5,d=0.2,k=0.17,α=0.8時(shí), 系統(tǒng)出現(xiàn)奇怪吸引子, 如圖1所示.

設(shè)計(jì)定理1中的從系統(tǒng)為

(6)

定義誤差e1=x1-x,e2=y1-y,e3=z1-z,e4=w1-w, 可得

(7)

(x(0),y(0),z(0),w(0))=(2.2,6.5,2.5,1.5),

(x1(0),y1(0),z1(0),w1(0))=(3,4,3,4.5),

Δf1(y)+d1(t)=0.1sin(t)x1+0.1cos(t),

Δf2(y)+d2(t)=-0.1cos(t)y1+0.1cos(t),

Δf3(y)+d3(t)=-0.1sin(t)z1+0.1cos(2t),

Δf4(y)+d4(t)=0.1cos(t)w1+0.1sin(t),

圖1 系統(tǒng)吸引子的相圖Fig.1 Phase diagram of system attractor

設(shè)計(jì)定理2中的從系統(tǒng)為

其中：

u1=u11+u12;u2=u21+u22;u3=u31+u32;u4=u41+u42;

定理1和定理2的系統(tǒng)誤差分別如圖2和圖3所示. 由圖2和圖3可見: 初始時(shí)兩個(gè)定理對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)誤差相距原點(diǎn)較遠(yuǎn), 相差較大, 隨著時(shí)間的變動(dòng), 系統(tǒng)誤差逐漸向原點(diǎn)趨近, 趨于一致; 定理1中等階系統(tǒng)的誤差較大, 不等階系統(tǒng)的誤差相差較小, 且不等階系統(tǒng)誤差趨近于原點(diǎn)的時(shí)間較短, 從而體現(xiàn)出分?jǐn)?shù)階微積分的優(yōu)點(diǎn), 因此分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)建模更符合實(shí)際情況.

綜上, 本文研究了不確定分?jǐn)?shù)階非線性混沌系統(tǒng)的自適應(yīng)滑模同步, 給出了滑模函數(shù)和控制器的構(gòu)造及自適應(yīng)規(guī)則. 結(jié)果表明, 設(shè)計(jì)適當(dāng)?shù)幕：瘮?shù), 在控制器和自適應(yīng)規(guī)則下, 分?jǐn)?shù)階非線性混沌系統(tǒng)是自適應(yīng)滑模同步的, 將相同階的相關(guān)結(jié)論推廣到不同階情形, 用四維超混沌金融系統(tǒng)檢驗(yàn)了結(jié)論的正確性.

圖2 定理1的系統(tǒng)誤差Fig.2 System errors of theorem 1

圖3 定理2的系統(tǒng)誤差Fig.3 System errors of theorem 2