周艷群

摘要：離心率是高中圓錐曲線(xiàn)部分學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容，也是教學(xué)的難點(diǎn)。求解圓心率的問(wèn)題也時(shí)長(zhǎng)出現(xiàn)在近些年的高考題目中，無(wú)論是教師還是學(xué)生必須要提高對(duì)這類(lèi)問(wèn)題的重視程度?；诖耍疚膶⒔Y(jié)合教學(xué)中的實(shí)際案例來(lái)分析高中數(shù)學(xué)圓錐曲線(xiàn)的離心率求解的主要方法。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué);圓錐曲線(xiàn);離心率

中圖分類(lèi)號(hào)：G633.6???? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：B??? 文章編號(hào)：1672-1578（2020）27-0201-02

離心率是圓錐曲線(xiàn)中的一個(gè)重要概念，它的變化將直接影響到圓錐曲線(xiàn)的類(lèi)型和形狀，以離心率作為考察內(nèi)容的題目在近些年的高考中屢次出現(xiàn)。因此，這部分是當(dāng)前高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的一項(xiàng)重點(diǎn)，不少學(xué)生在面對(duì)有關(guān)問(wèn)題時(shí)都會(huì)覺(jué)得束手無(wú)策。本文將結(jié)合近些年出現(xiàn)的各類(lèi)型試題，具體分析高中數(shù)學(xué)圓錐曲線(xiàn)的離心率求解方法。

1.基本量法

利用基本量法來(lái)求解離心率主要是指通過(guò)題目中已知的條件來(lái)求得參數(shù)a、c之間的關(guān)系，從而得到離心率e。

例1（1）已知橢圓方程x216k+y29k=1（k>0），求橢圓的離心率。

（2）設(shè)F1，F(xiàn)2分別是雙曲線(xiàn)x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的左右焦點(diǎn)，如果雙曲線(xiàn)上存在點(diǎn)A使∠F1AF2=90°，且|AF1|=|3AF2|，求雙曲線(xiàn)的離心率。

解：（1）從題目已知可得a=44，b=3k，所以c為7k，即e=74或是e=1-b2a2=1-916=74。

（2）設(shè)|AF1|=t（t>0），則|AF1|=3t，從雙曲線(xiàn)方程中可知a=t，2c=10t，所以c=102t，e=ca=102tt=102。

這一類(lèi)型的解題方式相對(duì)來(lái)說(shuō)比較簡(jiǎn)單，只要能夠從題目已知中準(zhǔn)確找到a、b、c三個(gè)基本量，就可以計(jì)算出離心率的值了。

2.定義法

在涉及到圓錐曲線(xiàn)上的點(diǎn)與焦點(diǎn)或是準(zhǔn)線(xiàn)距離一類(lèi)的問(wèn)題時(shí)，我們就可以嘗試?yán)秒x心率的定義，e=ca或是圓錐曲線(xiàn)的統(tǒng)一定義來(lái)計(jì)算離心率。

例2 （1）在等腰△ABC中，∠ABC為120°，求以A、B為焦點(diǎn)且過(guò)點(diǎn)C的雙曲線(xiàn)的離心率.

（2）在△ABC中，∠A為90°，tanB=34。若以A、B為焦點(diǎn)的橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，那么該橢圓的離心率是多少？

解：（1）設(shè)雙曲線(xiàn)的焦距AB=2c，在等腰△ABC中，因?yàn)椤螦BC為120°，過(guò)B點(diǎn)做AC垂線(xiàn)可得AC=23c，CB=2c。由雙曲線(xiàn)定義可得a=（3-1）c，所以e=ca=1+32

（2）設(shè)橢圓焦距AB=4，即c=2。因?yàn)閠anB=34，所以CA=3，CB=5，所以點(diǎn)C在橢圓上，2a=CA+CB=8，a=4，e=ca=12。

3.向量法

向量知識(shí)的應(yīng)用無(wú)疑是拓展了我們的解題思維，在求解離心率的過(guò)程中，向量可以更簡(jiǎn)單的解決含有垂直和共線(xiàn)的題目。

例3 過(guò)雙曲線(xiàn)x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的左焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)相較于M、N兩點(diǎn)，而以MN為直徑的圓恰好經(jīng)過(guò)雙曲線(xiàn)的右定點(diǎn)，求雙曲線(xiàn)的離心率。

解：如圖，因?yàn)镸N為圓F的直徑，所以∠MAN=90°，F(xiàn)的坐標(biāo)為（-c，0），由此可知M坐標(biāo)為（-c，b2a），N坐標(biāo)為（-c，-b2a），A點(diǎn)坐標(biāo)為（a，0）。所以MA→=（a+c，-b2a），NA→=（a+c，b2a），MA→·NA→=（a+c）2-b4a2=0，即e2-e-2，所以e=2

4.參數(shù)法

在解決圓錐曲線(xiàn)的離心率問(wèn)題是，如果題目的已知條件中含有參數(shù)，且知道或可以容易求得參數(shù)的范圍，那么我們就可以通過(guò)分析離心率與參數(shù)之間的關(guān)系來(lái)確定離心率的范圍。

例4 橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左右焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，半焦距為c，圓M的方程為（x-5c3）2+y2+169c2。

（1）如果點(diǎn)P為圓上的一點(diǎn)，求證|PF1||PF2|為定值。

（2）如果橢圓經(jīng)過(guò)圓上的一點(diǎn)Q，且cos∠F1QF2=116，求橢圓的離心率。

解（1）設(shè)p坐標(biāo)為（x，y），則|PF1|=（x+c）2+y2，|PF2|=（x-c）2+y2。

|PF1|2|PF2|2=（x+c）2+y2（x-c）2+y2=（x+c）2+169c2-（x-53c）2（x-c）2+169c2-（x-53c）2=4，所以|PF1||PF2|=2，為定值

（2）由（1）可得，|PF1||PF2|=2，設(shè)|QF2|=m，則|QF1|=2m（m>0）

cos∠F1QF2=m2+4m2-4c24m2=5m2-4c24m2=1116，解得c=34m，m=34c

因?yàn)?m+m=3m=2a，所以4C=2a，e=12

5.平面幾何圖形法

相對(duì)于代數(shù)計(jì)算來(lái)說(shuō)，平面幾何圖形更加形象直觀(guān)，在解題過(guò)程中結(jié)合平面幾何圖形可以讓我們更加清晰的認(rèn)識(shí)到數(shù)量之間的關(guān)系，從而降低解題難度，提高解題效率。

例5：設(shè)橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左焦點(diǎn)為F，上頂點(diǎn)為A，過(guò)點(diǎn)A的光線(xiàn)垂直于A(yíng)F，并在橢圓的右準(zhǔn)線(xiàn)處反射，反射光線(xiàn)與直線(xiàn)AF平行（如圖所示），求橢圓的離心率。

解：入射光線(xiàn)與反射管線(xiàn)垂直，所以我們可以由此推斷入射光線(xiàn)與準(zhǔn)線(xiàn)之間的夾角為45°，也就是∠FAO=45°，所以b和c相等，e=22。

總之，圓錐曲線(xiàn)中的離心率計(jì)算是解析幾何中的重點(diǎn)內(nèi)容，也是近些年高考中最常見(jiàn)的題型。如果學(xué)生在學(xué)習(xí)中沒(méi)有有效的思維拓展，只是就事論事，忽略了對(duì)題目的反思與總結(jié)，那么教學(xué)的效果必然不會(huì)十分明顯。數(shù)學(xué)知識(shí)之間通常是有著十分密切的聯(lián)系的，解題思路也是靈活多變，解題的方法通常也不唯一。學(xué)生在解題過(guò)程中即使能夠一次性找到答案，也應(yīng)該盡量去做更多的思考，找到最簡(jiǎn)最優(yōu)的方式。同時(shí)，還要進(jìn)一步對(duì)題目?jī)?nèi)容和解題過(guò)程進(jìn)行反思，從中總結(jié)出更多的解題規(guī)律，實(shí)現(xiàn)學(xué)習(xí)能力與解題能力的進(jìn)一步提升。

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