汪娟娟，葉運銘，黃星海

（華南理工大學 電力學院，廣州 廣東 510641）

在傳統(tǒng)小擾動穩(wěn)定性分析課程教學中，學生普遍反映課程涉及原理多樣抽象，所用公式零散復雜，理解起來十分困難，對學生的考查也僅停留在針對一個二階或三階的簡單系統(tǒng)進行線性化計算上，使學生在面對高階系統(tǒng)時往往束手無策。隨著編程語言和仿真工具的不斷發(fā)展，運用電磁暫態(tài)仿真軟件（如PSCAD/EMTDC）可方便地構建與實際模型具有相同代數(shù)關系和電磁關系的電磁模型，有助于學生加深對小擾動分析法的理解，但僅僅通過電磁仿真仍然無法使學生透徹理解小擾動分析法的本質(zhì)。

“基于MATLAB的高壓直流輸電系統(tǒng)小擾動穩(wěn)定性分析仿真”課程，主要講述如何在 MATLAB中對高壓直流輸電系統(tǒng)進行建模、仿真和小擾動穩(wěn)定性分析，是電氣工程及其自動化專業(yè)的重要課程之一。該課程不僅需要學生具備數(shù)學、電路、自動化、計算機等學科的基礎知識，還由于其較強的理論性與工程實踐性特點，從而是一門集綜合性、復雜性和應用性于一體的專業(yè)實踐課。與傳統(tǒng)小擾動穩(wěn)定性分析課程相比，該課程能夠讓學生在 MATLAB仿真中，直觀感受系統(tǒng)參數(shù)變化對系統(tǒng)小擾動穩(wěn)定性的影響。

本文結合實際教學經(jīng)驗，以高壓直流整流側系統(tǒng)為研究對象，詳細介紹在 MATLAB中進行系統(tǒng)小擾動穩(wěn)定性分析的過程，以期在電磁仿真的基礎上，幫助學生深刻理解小擾動分析法。首先，在 MATLAB軟件中建立高壓直流整流側系統(tǒng)數(shù)學模型，并對該模型進行線性化，得到小干擾動態(tài)模型；然后在電磁暫態(tài)仿真軟件（PSCAD/EMTDC）中搭建高壓直流整流側系統(tǒng)電磁模型，對小干擾動態(tài)模型的正確性進行仿真驗證；最后應用小干擾動態(tài)模型進行系統(tǒng)小擾動穩(wěn)定性分析的仿真演示。

1 MATLAB功能簡介

MATLAB是美國 MathWorks公司出品的商業(yè)數(shù)學軟件，提供用于算法開發(fā)、數(shù)據(jù)可視化、數(shù)據(jù)分析以及數(shù)值計算的高級技術計算語言和交互式環(huán)境。它的基本數(shù)據(jù)單位是矩陣，且其指令表達式與數(shù)學、工程中常用的形式十分相似，所以用 MATLAB解算問題要比用C、FORTRAN等語言更加簡捷[1]。

在高壓直流輸電系統(tǒng)小擾動穩(wěn)定性分析仿真教學中，主要利用 MATLAB進行矩陣運算、實現(xiàn)算法和繪制函數(shù)及數(shù)據(jù)等功能。MATLAB具有強大的算法實現(xiàn)功能，包括非線性方程組和微分方程組在內(nèi)的復雜算法均可在其中高精度地實現(xiàn)。高壓直流輸電系統(tǒng)是一個非線性系統(tǒng)，使用 MATLAB易于搭建和調(diào)試與本課程內(nèi)容相關的模型。

2 MATLAB實驗教學應用實例

2.1 小擾動穩(wěn)定性分析

目前的小擾動分析法主要是基于李雅普諾夫線性化方法[2]。高壓直流輸電系統(tǒng)在運行時無時無刻不受到一些小擾動的影響，如電源的輕微起伏和控制器指令值的微小變化等。這些小的擾動通常不會改變系統(tǒng)的結構，由于其強度足夠小，以致系統(tǒng)受到小擾動前后的運行狀態(tài)十分接近，此時系統(tǒng)的行為可通過其線性化模型進行分析[3]。

為簡化起見，本文在 CIGRE標準測試模型基礎上，將兩端 LCC-HVDC系統(tǒng)的逆變側等效為一個理想的直流電壓源，僅探討整流側高壓直流輸電系統(tǒng)，該系統(tǒng)的換流閥為12脈波。圖1為所研究系統(tǒng)的結構圖及其單線原理圖，其中交流濾波器參數(shù)與文獻[4]附錄中的整流側交流濾波器參數(shù)一致。

圖1 LCC-HVDC系統(tǒng)結構

圖1 (b)中：us為交流系統(tǒng)電網(wǎng)電壓；RS和LS分別代表交流系統(tǒng)的等值電阻和等值電感；iS為交流系統(tǒng)輸出的電流；vPCC為公共連接點（point of common coupling，PCC）電壓，R1—R3，L1、L2和 C1—C4分別代表交流濾波器組內(nèi)相關支路的電阻、電感和電容；iC為換流變壓器網(wǎng)側電流；k為換流變壓器變比；Rdc1(Rdc2)和Ldc1(Ldc2)分別代表直流線路整流（逆變）側等值電阻和電感；Lec為換流變壓器對直流側的等效影響電感；Cdc為直流輸電線路等值對地電容；Idcr為整流側直流電流；Idci為理想直流電壓源側直流電流；UCdc為直流輸電線路中點對地電壓；Udci為逆變側等效理想直流電壓源電壓；α0為交流系統(tǒng)電網(wǎng)電壓的初相位。

下面以上述系統(tǒng)為例，從建立系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型開始，逐步敘述如何在MATLAB中建立小干擾動態(tài)模型，并利用該模型對系統(tǒng)小擾動穩(wěn)定性分析進行仿真演示。

2.2 系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型

2.2.1 換流器的建模

基于調(diào)制理論的換流器開關函數(shù)模型具有物理概念清晰、計算簡單、能夠揭示諧波產(chǎn)生機理等優(yōu)點，被廣泛用于建立換流器模型[5]。經(jīng)過基頻開關函數(shù)的調(diào)制，12脈波換流器交、直流側電流間的關系可表示為：

式中，iC(abc)為流經(jīng)換流變壓器網(wǎng)側的等效三相電流；Si(abc)表示直流電流與等效交流三相電流之間的開關函數(shù)，其表達式如下[6]：

式中，Ai表示換流器換相過程的電流修正系數(shù)[7]；φ為換流器功率因數(shù)角；ω為系統(tǒng)角頻率。Ai和φ的表達式為：

式中，μ為換相重疊角；α為觸發(fā)延遲角。

經(jīng)過恒功率Park變換后，換流變壓器網(wǎng)側等效電流iC的d、q軸電流分量為：

2.2.2 定電流控制器的建模

圖 2為整流器定電流控制器的原理圖[8]，由圖可得其狀態(tài)空間方程如式（5）[9]。

圖2 定電流控制器原理框圖

式中，x1為中間狀態(tài)變量，并無實際物理意義；G=0.5為一階慣性環(huán)節(jié)的放大倍數(shù)；Tidc=0.005 s為一階慣性環(huán)節(jié)的時間常數(shù)；KpIdc和KiIdc分別為定電流控制器的比例系數(shù)和積分系數(shù)；Idcref為直流電流指令值。

2.2.3 鎖相環(huán)的建模

鎖相環(huán)的控制原理可等效為圖 3，其相應的狀態(tài)空間方程如式（6）。

圖3 鎖相環(huán)原理框圖

圖3及式（6）中，x2為中間狀態(tài)變量，并無實際物理意義；vPCCq為公共連接點電壓的 q軸分量；vP*CCq為vPCCq的標幺值，q軸電壓輸入到PI環(huán)節(jié)前進行標幺化的目的是為了消除電壓幅值波動對鎖相環(huán)造成的影響[10]；KpPLL和KiPLL分別為鎖相環(huán)PI環(huán)節(jié)的比例系數(shù)和積分系數(shù)；ω為系統(tǒng)角頻率；0ω為額定系統(tǒng)角頻率；θ為鎖相環(huán)的輸出相位，其初相位為xPLL[11]；

2.2.4 交流濾波器及交流系統(tǒng)的建模

由公共連接點的 KCL方程和連接該點各支路的KVL方程，經(jīng)過恒功率 Park變換后，可得交流濾波器及交流系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程為：

式中，vSd和vSq分別代表交流系統(tǒng)電網(wǎng)電壓的d、q軸分量，其相應表達式為：

2.2.5 直流輸電線路的建模

根據(jù)文獻[12]，換流變壓器對直流側的影響可由一等效電感表示，其表達式為：

式中，B為6脈動換流單元的個數(shù)；TL為換流變壓器的漏感。

根據(jù)KCL和KVL方程，直流輸電線路的狀態(tài)空間方程為：

2.3 系統(tǒng)的小干擾動態(tài)模型

2.3.1 系統(tǒng)小干擾動態(tài)模型的建立

式（1）—（10）囊括了21個非線性微分方程，將這21個方程在平衡點處進行線性化處理，可得系統(tǒng)的小干擾動態(tài)模型為[13]：

式中，狀態(tài)變量為X=[vPCCd, vPCCq, vC2d, vC2q, vC3d, vC3q,vC4d, vC4q, iL1d, iL1q, iL2d, iL2q, iSd, iSq, x1, Idcrm, x2, xPLL, Idcr,UCdc, Idci]T；輸入變量為 U=Idcref；矩陣A為21×21的系數(shù)矩陣；矩陣B為21×1的系數(shù)矩陣。

鑒于本文所使用的系統(tǒng)為21階系統(tǒng)，手動進行線性化計算的工作量較大。當研究的系統(tǒng)階數(shù)更高時，采用手動方式進行線性化計算更加不切實際。而采用MATLAB軟件作為輔助計算工具，并通過編程實現(xiàn)線性化計算過程，不僅可以大大減少計算工作量，而且可以為后續(xù)分析工作提供諸多便利。

2.3.2 系統(tǒng)小干擾動態(tài)模型的驗證

本文通過對比 MATLAB中小干擾動態(tài)模型的計算結果和 PSCAD中電磁暫態(tài)模型的仿真結果，來驗證小干擾動態(tài)模型的正確性。事實上，小干擾動態(tài)模型的驗證工作是融合在建模過程中的。圖 4為在MATLAB中建立小干擾動態(tài)模型的程序框圖。

圖4 建立小干擾動態(tài)模型的程序框圖

現(xiàn)對圖4中各主要步驟及其涉及到的編程函數(shù)作進一步說明。首先建立一個“腳本”文件用以列寫系統(tǒng)運行參數(shù)、準穩(wěn)態(tài)計算公式及狀態(tài)空間方程，然后給定恰當?shù)某跏贾?，并使用ode45函數(shù)求解狀態(tài)空間方程組的數(shù)值解；接著調(diào)用 diff（函數(shù)，變量名）完成偏微分計算步驟，生成矩陣A與矩陣B，即小干擾動態(tài)模型；再調(diào)用stepfun函數(shù)，令系統(tǒng)輸入?yún)?shù)發(fā)生階躍，以觀察小干擾模型的動態(tài)響應；最后將PSCAD中的波形數(shù)據(jù)導入MATLAB，并將小干擾動態(tài)模型的階躍響應波形與 PSCAD電磁暫態(tài)模型的階躍響應波形進行對比，從而確定小干擾動態(tài)模型的建立是否準確。

下面簡要敘述驗證小干擾動態(tài)模型正確性的具體做法。系統(tǒng)初始時運行在表1所示的參數(shù)下，t=3 s時令直流電流指令值Idcref由1.0 pu下降階躍至0.95 pu，1 s后恢復至初始運行狀態(tài)。

表1 系統(tǒng)初始運行參數(shù)

圖5從公共連接點電壓vPCC和鎖相環(huán)輸出頻率f兩個方面對比了MATLAB小干擾動態(tài)模型和PSCAD電磁暫態(tài)模型的仿真結果。

圖5 直流電流指令值發(fā)生階躍時的系統(tǒng)響應曲線

由圖5可知，在直流電流指令值Idcref發(fā)生相同階躍的情況下，MATLAB小干擾動態(tài)模型和PSACD電磁暫態(tài)模型的仿真結果基本一致，從而驗證了本文所建立的小干擾動態(tài)模型的正確性。

2.4 小擾動穩(wěn)定性分析仿真演示

從系統(tǒng)的狀態(tài)方程來看，系統(tǒng)的穩(wěn)定性取決于其線性化系數(shù)矩陣A的特征根。由李雅普諾夫第一法可知，系統(tǒng)唯一平衡狀態(tài)是漸進穩(wěn)定的充要條件，是矩陣A的所有特征根lA均具有負實部。當系統(tǒng)某一參數(shù)改變時，可通過在 MATLAB中繪制根軌跡的方法，來直觀反映該參數(shù)對系統(tǒng)小擾動穩(wěn)定性的影響。

現(xiàn)以定電流控制器比例系數(shù)KpIdc為例，保持系統(tǒng)其余參數(shù)同表1，僅令KpIdc由1逐漸變化至5，變化步長取為0.05。在此過程中，KpIdc的數(shù)值每發(fā)生一次變化，線性化系數(shù)矩陣A都隨之發(fā)生一次改變，相應地矩陣A的特征根也發(fā)生改變。若將此變化過程中矩陣A所有的特征根繪制在一張圖中，即可得到系統(tǒng)特征根在KpIdc由1變化至5時的軌跡，如圖6所示。

圖6 KpIdc變化時矩陣A的根軌跡

由圖6可知，當KpIdc由1逐漸增大時，主導模態(tài)（Mode6）對應的特征根逐漸向虛軸靠近，系統(tǒng)小擾動穩(wěn)定性逐漸減弱。而當KpIdc＞4.51時，矩陣A的特征根出現(xiàn)非負實部的情況，根據(jù)李雅普諾夫第一法，系統(tǒng)失去小擾動穩(wěn)定性。為進一步驗證小干擾動態(tài)模型的正確性，保證分析結果的可信度，在 PSCAD電磁暫態(tài)模型中令KpIdc在t=3 s時由1躍變至6，得到系統(tǒng)的整流側直流電流動態(tài)響應特性如圖7所示。

從圖 7的波形數(shù)據(jù)可以看出，當 KpIdc=6時，PSCAD電磁暫態(tài)仿真模型已失去穩(wěn)定，波形呈振蕩發(fā)散狀態(tài)，其振蕩周期為TPSCAD=13.4 ms。而MATLAB小干擾動態(tài)模型在 KpIdc=6時主導模態(tài)特征根為26.992±i495.254，對應的振蕩周期為 TMATLAB=12.7 ms?？紤]到 PSCAD電磁暫態(tài)仿真模型系統(tǒng)的阻尼比本文建立的小干擾動態(tài)模型系統(tǒng)阻尼大，可以認為二者結果接近一致，從而證明了上述小擾動穩(wěn)定性分析方法的正確性。

圖7 KpIdc階躍時直流電流動態(tài)響應特性

以上仿真方法有利于學生以此為參考，分析其他參數(shù)變化時系統(tǒng)的運行規(guī)律。

3 結語

本文利用 MATLAB軟件搭建了高壓直流輸電系統(tǒng)數(shù)學模型，建立了相應的小干擾動態(tài)模型，并應用該模型對高壓直流整流側系統(tǒng)進行了小擾動穩(wěn)定性分析。將本文介紹的小擾動分析方法應用在實際教學實踐中，可對學生的學習有以下指導作用：

（1）通過將小干擾動態(tài)模型和電磁暫態(tài)分析相結合進行系統(tǒng)小擾動穩(wěn)定性分析，可以彌補傳統(tǒng)教學模式難以對高壓直流輸電系統(tǒng)直觀展現(xiàn)數(shù)學分析方法的缺陷。通過在 MATLAB中建立小干擾動態(tài)模型來進行小擾動穩(wěn)定性分析，可直觀地展現(xiàn)系統(tǒng)參數(shù)改變對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，對提高課程教學質(zhì)量和加深學生理解程度大有裨益。

（2）利用仿真軟件易于實現(xiàn)復雜算法和繪制數(shù)據(jù)圖形的優(yōu)勢，幫助學生快速理解并掌握課程知識的重點和難點，提高學習效率。

（3）通過搭建系統(tǒng)的數(shù)學模型、小干擾動態(tài)模型和電磁暫態(tài)模型，學生能夠了解并熟悉當前編程、建模及仿真領域的主流軟件，不僅有助于他們提高深入探索理論知識的能力，而且能拓寬應用實踐技術的視野，從而培養(yǎng)創(chuàng)新實踐能力。

（4）MATLB仿真實驗教學方法可對傳統(tǒng)電磁實驗教學方式進行補充。其仿真結果可幫助學生更好地理解高壓直流輸電系統(tǒng)中各電氣量的關系，有效避免所授知識的寬泛化和概念化。