談世勇 馬文政

安徽省合肥一六八中學(xué) (230000)

形如求max{min{f1(x1),f2(x2),…,fn(xn)}}等的問題稱為“雙重最值問題”．按其變元的個數(shù)可分為一元雙重最值問題和多元雙重最值問題.其中雙重最值問題綜合性強(qiáng)，難度大，能力要求高.筆者從熟題入手，總結(jié)歸納了九種方法，幫助學(xué)生提高解決此類問題的能力.

1.利用絕對值不等式

利用絕對值三角不等式|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|求最值，主要是求一些含有雙絕對值函數(shù)的最值問題，比寫成分段函數(shù)求最值簡單.

例1 求函數(shù)f(x)=|x2-a|在區(qū)間[-1,1]上的最大值Μ(a)的最小值．

點(diǎn)評：對于解決函數(shù)形如f(x)=|ax2+bx+c|,x∈[-1,1]的雙重最值問題時，一定是取x=0,x=±1對應(yīng)的函數(shù)值，它們都比最大值小，然后利用絕對值三角不等式求出.

2.利用均值不等式

利用均值不等式求最值，關(guān)鍵在于“拆、拼、湊”，將條件或待求式變形為“和或積”是定值.常見的變形技巧有轉(zhuǎn)化符號、拆補(bǔ)項(xiàng)、配湊系數(shù)等.

點(diǎn)評：觀察發(fā)現(xiàn)三個式子的積可以用均值不等式輕松求出最小值，當(dāng)然本題目也可以用三個式子的和來求最小值的.

3.利用柯西不等式

柯西不等式在不等式證明中占有重要的地位，柯西不等式在高中數(shù)學(xué)競賽中有會成為“?？汀?，且二維、三維柯西不等式在高中數(shù)學(xué)中的代數(shù)、幾何、三角等各個方面都有聯(lián)系，熟悉這些聯(lián)系能本質(zhì)地把握不等式，并更自覺地應(yīng)用它們.

點(diǎn)評：柯西不等式可以解決整式，分式，與根式的最值問題，通過觀察發(fā)現(xiàn)分母之和為定值，這恰好就是柯西不等式解決分式的功能.

4.消元法

多元雙重最值可以通過消元，使多元變?yōu)橐辉?，然后通過構(gòu)造函數(shù)解決問題，類似立體幾何中的降維，將三維轉(zhuǎn)化為二維問題來處理.

點(diǎn)評：通過觀察，對比可以發(fā)現(xiàn)，最快的是將Μ=max{x1+x2,x2+x3,x3+x4,x4+x5}迭加，最大化的消元，而且留下的變量最少越便于后面的再消元.

5.構(gòu)造函數(shù)

構(gòu)造函數(shù)是高中解決最值問題的常用方法之一，構(gòu)造函數(shù)需把握兩點(diǎn):一是掌握一些函數(shù)模型，二是能夠轉(zhuǎn)化到已有的函數(shù)模型.

例5 設(shè)a，b，c∈R，f(x)=x3+ax2+bx+c(-1≤x≤1)，求min{max|f(x)|}．

點(diǎn)評：此類問題為切比多項(xiàng)式的逼值問題，從取點(diǎn)到最后的調(diào)節(jié)系數(shù)，都是用已有的結(jié)構(gòu)，本質(zhì)上是用端點(diǎn)與極值點(diǎn)配合絕對值進(jìn)行放縮求值.

6.利用韋達(dá)定理

韋達(dá)定理是高中數(shù)學(xué)中求最值的方法之一，由已知題設(shè)中變量之間的關(guān)系，利用韋達(dá)定構(gòu)造二次函數(shù)，然后實(shí)行消元.

例6 若a，b，c>0且a+b+c=12，ab+bc+ca=45，求min{max{a,b,c}}．

點(diǎn)評：通過兩根的“和”與“積”構(gòu)造函數(shù)，設(shè)置a為三者中的最大值，構(gòu)成根分布的范圍，從而問題得到解決.

7.分類討論

分類討論作為高中數(shù)學(xué)常用的方法，主要是從那分類，然后再合的過程.先“分”后“合”，把握好分類的節(jié)點(diǎn)，往往事情就比較好的解決了.

點(diǎn)評：從a,b大小關(guān)系開始分類，最后再合并起來，分類的關(guān)鍵點(diǎn)才是分類討論中最為重要的.

8.待定系數(shù)法

待定系數(shù)法是高中數(shù)學(xué)常見的方法之一，先設(shè)出系數(shù)，通過題設(shè)中的條件將問題解決.

點(diǎn)評：通過題設(shè)引入?yún)?shù)，通過基本不等式的性質(zhì)進(jìn)行消元，抓住等號成立的條件，將系數(shù)解出來，其主要的難度是調(diào)節(jié)系數(shù)的過程，可以用設(shè)參來完成.

9.數(shù)形結(jié)合

“數(shù)”體現(xiàn)了精準(zhǔn)，“形”體現(xiàn)了直觀.二者結(jié)合問題能完美的解決.

圖1

例8 (2014浙江競賽)若a>0，b∈R且max{min{2x+4,ax2+b,5-3x}}=2，求a+b．

解：在同一坐標(biāo)系中畫出f1(x)=2x+4，f2(x)=ax2+b，f3(x)=5-3x的圖像，如圖1,則由圖1可知當(dāng)且僅當(dāng)f2(x)過Α(-1,2)，Β(1,2)時，才有max{min{2x+4,ax2+b,5-3x}}=2，所以a+b=2．

點(diǎn)評：利用小函數(shù)的定義，取兩個函數(shù)圖像下方的部分，組成新的函數(shù)，然后再求函數(shù)的最值.