王曉瑛,宋亞飛

(西北大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院,陜西 西安 710127)

1 引言與結(jié)論

設(shè)k為正整數(shù),h為任意整數(shù).經(jīng)典Dedekind和的定義如下

此處

其中[y]表示不超過(guò)y的最大整數(shù).

關(guān)于Dedekind和的最重要的性質(zhì),是互反公式.即對(duì)于互素的正整數(shù)h和k,有

Dedekind[1]基于logη(τ)的變換公式,給出了上式的第一個(gè)證明.Rademacher[2],Berndt[3-5]和Dieter[6]都分別給出了這個(gè)互反公式的不同證明.

張文鵬等人研究了Dedekind和的混合均值,并得到了較強(qiáng)的漸近公式如下.

命題1.1[7]對(duì)于整數(shù)q≥3,有

命題1.2[8]設(shè)整數(shù)n≥1,p為素?cái)?shù),k=pn.則有

設(shè)f為正整數(shù),χ為模f的Dirichlet特征.定義新型Dedekind和如下

本文將給出s(h,k;χ)的混合均值的漸近公式.主要結(jié)論如下.

定理1.1設(shè)f為正整數(shù),p＞2為素?cái)?shù),滿足(f,p)=1.設(shè)χ為模f的Dirichlet特征,滿足χ(-1)=1.則有

定理 1.2.設(shè)f為正整數(shù),p＞2為素?cái)?shù),滿足(f,p)=1.設(shè)χ為模f的Dirichlet特征,滿足χ(-1)=1.則有

2 一些引理

引理2.1設(shè)f,k為正整數(shù),h為任意整數(shù),滿足(fk,h)=1與(f,k)=1.設(shè)χ為模f的Dirichlet原特征.則有

證對(duì)任意實(shí)數(shù)y,由文獻(xiàn)[9]中的定理3.1可知

此外當(dāng)0≤x＜1時(shí),有其中e(y)=e2πiy. 因此

注意到χ為模f的原特征,以及(fk,h)=1,(f,k)=1.可得

再由特征和的正交性質(zhì),有

引理2.1證畢.

3 定理1.1的證明

4 定理1.2的證明