劉原華,孫毅,牛新亮

(1.西安郵電大學(xué) 通信與信息工程學(xué)院,陜西 西安 710121;2.中國空間技術(shù)研究院西安分院,陜西 西安710100)

0 引 言

作為一種新型的微波遙感技術(shù)、全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)反射(GNSS-R)技術(shù)具有豐富的信號源,低成本、低功耗、全天時、全天候等優(yōu)點,它可以獲得各種全球海洋動力學(xué)和環(huán)境參數(shù)如海面高度(SSH),海面風(fēng)場、海冰和海水鹽度. 此外,GNSS-R衛(wèi)星平臺的成本和有效載荷相對較低,結(jié)合專用指向天底天線、軌道和星座的參數(shù)優(yōu)化設(shè)計,可形成6～8顆衛(wèi)星星座,完成多項任務(wù),具備優(yōu)良性能.

在已知接收機坐標情況下,時間延遲和反射信號路徑長度的誤差主要來自海洋表面的鏡面反射點定位誤差和大氣信號傳輸誤差. 此外,雙基雷達系統(tǒng)的輸出信噪比與信號傳播路徑有關(guān),而信號傳播路徑又與鏡面反射點的位置直接相關(guān). 在海面遙感應(yīng)用中,鏡面反射點的精確位置信息也可以用來確定反射信號是來自海面、陸地還是冰面. 鏡面反射點作為參考點GNSS-R信號的反射幾何及相關(guān)參數(shù),其定位誤差影響GNSS-R遙感產(chǎn)品的準確性[1].

鏡面反射點定位方法可分為物理方法和幾何方法. 物理方法以接收信號的處理為基礎(chǔ),幾何方法以鏡面反射點滿足的幾何條件為基礎(chǔ)進行研究. 現(xiàn)有的鏡面反射點搜索方法包括黃金分割法[2]、二分法[3]、Gleason算法[4]、S.C.WU[5]、C.Wagner[6]、橢球面算法[7]、AdaGrad自適應(yīng)算法[8]等. Gleason算法精度較高,但是迭代次數(shù)較多. 黃金分割法迭代較少,算法經(jīng)典,但仍然存在一定的提升空間. 二分法模型簡單,易于計算,不過由于采用的是角度作為迭代依據(jù),因此存在一定的誤差. 本文在分析基本幾何反射關(guān)系的基礎(chǔ)上,提出了2種鏡面反射點搜索算法,進一步改進鏡點搜索的算法.

首先,提出了基于斐波那契法的鏡點搜索算法,并和黃金分割法進行比較,從數(shù)論的角度證明了其算法的優(yōu)越性. 另外提出了一種基于求導(dǎo)極值的搜索算法,該方法省去了不斷迭代的過程,從而優(yōu)化了計算. 仿真結(jié)果表明,這種算法能夠計算出鏡點的位置,對鏡點的搜索具有一定的意義.

1 GNSS-R基本反射關(guān)系

在討論直射信號與反射信號的關(guān)系中,引入了鏡面反射點的概念[9],即從反射區(qū)域反射的反射信號中路徑最短的理論反射點. 其數(shù)學(xué)表達式為

f=|R-S|+|T-S|=

(1)

式中:R為接收機坐標;T為衛(wèi)星坐標;S為球面坐標;其大致幾何關(guān)系如圖1所示,圖中R為接收機;T為衛(wèi)星;O為地心;Re為地球半徑,在RT線段中一點為P,P所對應(yīng)的星下點為S,R的星下點為a,T的星下點為b,ar和at分別表示s到R、T之間的仰角.

鏡面反射點有以下三個特征:

1)位于橢球面弧段ab上;

2)入射與出射角相等,即ar=at;

3)到R、T點距離和為最短.

圖1 基本幾何關(guān)系

2 基于斐波那契法的鏡點搜索

斐波那契法與黃金分割法類似,也是用于單峰函數(shù). 在計算過程中,也是第一次迭代需要2個試探點,與黃金分割法的主要區(qū)別在于區(qū)間長度縮短比例不是常數(shù),而是斐波那契數(shù)[10]. 由于斐波那契數(shù)列自身規(guī)律,迭代時相較黃金分割法有一定提升,因此帶來了計算次數(shù)的減少.

設(shè)有數(shù)列{Fk},滿足條件:

(2)

可將斐波那契數(shù)列列表如表1所示.

表1 斐波那契數(shù)列

k0123456…Fk11235813…

其通項:

(3)

斐波那契在迭代中計算試探點的公式:

(4)

其具體計算步驟如下:

1)給定初始區(qū)間[R,T]和最終區(qū)間長度L=1 m,求計算函數(shù)值的次數(shù)n. 使

Fn≥|R-T|/L.

(5)

置k=1,計算試探點λ1和μ1:

(6)

(7)

計算λ1和μ1所對應(yīng)的星下點到RT距離和f(λ1)和f(μ1).

2)若f(λ1)>f(uk),則轉(zhuǎn)步驟3);若f(λk)≤f(λk),則轉(zhuǎn)步驟4).

3)令ak+1=λk,bk+1=bk,λk+1=μk

計算試探點μk+1:

(8)

若k=n-2,則轉(zhuǎn)步驟6);否則,計算函數(shù)值f(μk+1),則轉(zhuǎn)步驟5).

4) 令ak+1=ak,bk+1=μk,μk+1=λk,計算試探點λk+1:

(9)

若k=n-2,則轉(zhuǎn)步驟6);否則,計算f(λk+1),轉(zhuǎn)步驟5).

5)置k=k+1,轉(zhuǎn)步驟2).

在相同n次迭代計算時,用黃金分割法,最終區(qū)間長度為

(10)

用斐波那契法,最終區(qū)間長度為

(11)

由式(10)～(11)可知:

(12)

圖2 計算流程圖

3 基于極值求導(dǎo)的鏡點搜索

在WGS84坐標系下,當R(xr,yr,zr)、T(xt,yt,zt)點位置給定之后. 假設(shè)變量K∈[0,1],令P=R+k·(T-R)=(xr+k·(xt-xr),yr+k·(yt-yr),zr+k·(zt-zr)),當K從0連續(xù)變化到1時,P就取遍了RT線段中的所有點,即RT線段中的點均可用變量K和常數(shù)來表示,如圖3所示.

圖3 變量K表示RT線段

2)由映射算法知此緯度所對應(yīng)的球徑ρ

凳子上擺了本書。書打開，封皮朝上，我看到了兩個字：詩集。我很詫異，柴米河，沒幾人識字，想不到別呦呦竟愛看書，這一點倒和我一樣。我愛看談狐說鬼的書，詩，幾乎不看。

那么P所對應(yīng)的星下點S=p×ρ=

3)R、T為已知數(shù),即可建立星下點S到R、T的距離和函數(shù):

f(k)=

其圖像如圖4所示.

圖4 函數(shù)大致圖像

4)此時,鏡面反射點的搜索問題,也就轉(zhuǎn)化函數(shù)f(k)的極值問題. 利用MATLAB求導(dǎo)函數(shù)對函數(shù)f(k)進行一階求導(dǎo),得到f′(k). 再利用solve解方程函數(shù)求解方程.

f′(k)=0.

求解出K值之后,回代入P的坐標,即可求得所對應(yīng)的星下點S,此點即為鏡面反射點.

傳統(tǒng)做法大部分基于嘗試法,在RT區(qū)間內(nèi)不斷進行迭代,根據(jù)距離最小或者角度相等的原則,不斷縮小搜索區(qū)間,最終區(qū)間小于一定長度即可得到目標點. 而這樣的做法在函數(shù)形式已知的情況下較為冗余,增加了算法編程的復(fù)雜度.

本文做法基于距離和函數(shù)的極值進行求導(dǎo),相較二分法等基于角度進行不斷迭代的做法,避免了由于徑向和法向不統(tǒng)一而帶來的問題. 同時,本文算法只需要一步求導(dǎo)、一步解方程,相較黃金分割法,又省去了不斷迭代的步驟,因此優(yōu)化了計算. 對鏡點的搜索具有一定參考意義.

4 仿真分析

本文采取導(dǎo)航模擬器生成全球衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)(GNSS)接收機和衛(wèi)星在WGS84坐標系下的位置信息,接收機R的坐標為[-1747836.86, 4316984.79,-5091148.03],衛(wèi)星T的坐標為[18524153.94,1465929.77,-19218107.19]. 鏡面反射點的參考坐標為[-648295.67,3698445.399,-5138472]. 基于MATLAB對本文所提出的方法進行四次仿真,閾值選取1 m. 通過分析四種方法的計算結(jié)果、迭代次數(shù)、計算時間,比較說明本文提出的兩種方法的正確性,優(yōu)越性. 由于篇幅原因,在此僅列出一次仿真的結(jié)果，如表2所示.剩余仿真結(jié)果以柱狀圖的形式展示如圖5和圖6所示.

表2 鏡面反射點位置估計仿真

圖5 和參考點之間的距離

圖6 四次仿真的計算時間

如表2所示,極值求導(dǎo)做法距離參考點的距離是最短的,而黃金分割法和斐波那契法則次之,二分法的距離最遠.

進行多次仿真后,圖5顯示前三種方法的結(jié)果基本都在10 m以內(nèi),極值求導(dǎo)的距離是最小的,二分法則偏離參考點50 m左右. 斐波那契法偏離的距離要小于黃金分割法但是多于極值求導(dǎo). 其主要原因在于二分法收斂原則與其他方法不同.

從四次計算的時間結(jié)果來看,極值求導(dǎo)的時間少于黃金分割法,幾近于斐波那契.而二分法的計算時間是最少的,其根本原因在于二分法模型簡單,每一次計算只需要求解其中間的一個點的RT距離和,而黃金分割法和斐波那契法相對復(fù)雜一些. 同時,極值求導(dǎo)的時間略微少于黃金分割法,近似等于斐波那契法. 綜上分析,斐波那契法在偏移距離和計算時間上對傳統(tǒng)做法略有提升. 而極值求導(dǎo)在偏移距離上有一定幅度的提升,在計算時間上和傳統(tǒng)做法相近.

5 結(jié)束語

隨著GNSS的迅速發(fā)展,針對鏡點搜索的需要,本文提出2種鏡面反射點搜索算法. 首先提出了斐波那契算法,從數(shù)論角度證明了該方法相較黃金分割法有一定提升,進一步減少了迭代次數(shù). 另外,本文提出了基于極值求導(dǎo)的搜索方法,相較傳統(tǒng)做法,它省去了不斷迭代的過程,采用極值求導(dǎo)的思想計算出鏡點,具有一定的優(yōu)越性. 最后采用導(dǎo)航模擬器生成的數(shù)據(jù)進行仿真,結(jié)果表明,兩種方法均可以有效計算出鏡面反射點的位置,具有一定的借鑒意義.