楊杰

摘 ?要：改革開放帶來的經(jīng)濟增長奇跡促使中國經(jīng)濟學家必須承擔起創(chuàng)立新經(jīng)濟學理論的歷史重任，而現(xiàn)代經(jīng)濟學理論離不開使用各種數(shù)學函數(shù)。文章選擇了柯布—道格拉斯和里昂惕夫兩種實證應用最為廣泛的經(jīng)濟函數(shù)，從它們的歷史背景和應用情況等進行分析和研究，以期加深人們對經(jīng)濟理論發(fā)展過程的認識，并從認清時代責任、改革數(shù)據(jù)管理、強化數(shù)學基礎研究、提倡系統(tǒng)化思維以及重視歷史邏輯等方面，為現(xiàn)階段發(fā)展具有中國特色的經(jīng)濟學理論提供一些經(jīng)驗和建議。

關鍵詞：經(jīng)濟函數(shù);C—D函數(shù);里昂惕夫函數(shù)

中圖分類號：F303 ? ? 文獻標識碼：A

Abstract：Following the Reform and Opening-up strategy， the miracle of economic growth urges Chinese economists to undertake the historical task of creating new economic theories. Modern economic theories often use various mathematical functions to describe economic activities. This paper chooses Cobb-Douglas and Leontief functions to analyze their historical background and application，and provide some experience and suggestions for the development of new Chinese economic theories from recognizing the responsibility，reforming data management， strengthening the Mathematics， advocating systematic thinking and attaching importance to history，etc.

Key words： Economic Function;Cobb-Douglas Function;Leontief Function

用抽象的數(shù)學函數(shù)來表達和分析一些經(jīng)濟規(guī)律，已成為現(xiàn)代經(jīng)濟學的重要特征。馬克思說過：“分析經(jīng)濟形式，既不能用顯微鏡，也不能用化學試劑，兩者都必須用抽象力來代替?！盵11]不同于物理學等自然科學，經(jīng)濟學不能采用重復實驗的方法，需要借助一些數(shù)學函數(shù)、邏輯推演和抽象模型來分析具體問題。這些經(jīng)濟模型不僅可以對經(jīng)濟活動進行精準的歸納和刻畫，還可以通過進一步的數(shù)學演繹發(fā)現(xiàn)先于社會經(jīng)驗的新理論，從而加深人們對客觀經(jīng)濟規(guī)律的認識。在眾多的實證研究模型中，柯布—道格拉斯函數(shù)（簡稱C—D函數(shù)）和里昂惕夫函數(shù)（也叫投入產(chǎn)出函數(shù)）應用最為廣泛。筆者從歷史背景和應用情況等角度對這兩種常用的函數(shù)進行分析，希望能為發(fā)展具有中國特色的經(jīng)濟學理論提供一些借鑒。

一、綜述

普遍認為，古典經(jīng)濟學家從17世紀中葉就開始嘗試用數(shù)學分析經(jīng)濟問題。英國在1640年資產(chǎn)階級革命后，資本主義經(jīng)濟開始快速發(fā)展，社會在生產(chǎn)模式和生產(chǎn)關系上的大變革帶來了很多新問題。英國古典政治經(jīng)濟學家配第在1672年出版的《政治算術》中，率先將統(tǒng)計學應用到經(jīng)濟分析中，并對歐洲主要發(fā)達國家進行了經(jīng)濟實力的數(shù)量對比，是經(jīng)濟學利用數(shù)學進行分析的萌芽。隨著歐洲大陸啟蒙運動的興起和資本主義的發(fā)展，法國的重農主義經(jīng)濟學家魁奈（當過醫(yī)生）在1758年最早利用表格和圖式的形式構建了經(jīng)濟學均衡理論的雛形，把整個經(jīng)濟社會作為一個系統(tǒng)進行思考，可惜魁奈所使用的數(shù)據(jù)并非來自真實統(tǒng)計，僅借用虛擬數(shù)字說明了一些供需均衡關系。1776年，英國亞當·斯密在《國富論》中提到“看不見的手”[15]，由于斯密不擅長用數(shù)學說明他的思想，后世經(jīng)濟學家雖將它等價于市場自我調節(jié)背后的一般均衡理論，卻用了一個多世紀去證明和探索。

真正把先進數(shù)學工具用于經(jīng)濟分析是19世紀中葉的事情。經(jīng)濟學家德布羅在諾貝爾獲獎演說中說：“如果要對數(shù)理經(jīng)濟學的誕生選擇一個象征性的日子，我們這一行會以罕見的一致意見選定1838年，古諾是作為第一個闡明經(jīng)濟現(xiàn)象的數(shù)學模型的締造者而著稱于世的?！盵14]古諾認為斯密提到過的供需、價格和市場等經(jīng)濟關系都可以用數(shù)學函數(shù)的形式來表現(xiàn)和解釋。古諾在《財富理論的數(shù)學原理研究》中，第一次真正意義上使用數(shù)學語言和具體函數(shù)來分析了經(jīng)濟現(xiàn)象。古諾的思想很快得到了法國經(jīng)濟學家瓦爾拉斯的認同和發(fā)展，瓦爾拉斯提出了真正意義上的一般均衡理論構想，成功將供需關系納入抽象市場中進行系統(tǒng)分析。一般經(jīng)濟均衡理論是對現(xiàn)實世界的高度簡化，實際上是利用數(shù)學公式建立了經(jīng)濟學的基本骨架。在此后的很長一段時間，經(jīng)濟學上最大的問題就是一般均衡的存在性證明[4]。直到20世紀50年代，才由美國經(jīng)濟學家阿羅與德布羅利用最新數(shù)學成果分別成功重建了一般均衡理論大廈[17]。其中，德布羅的《價值理論》是諾貝爾經(jīng)濟學獎歷史上最簡短的獲獎學術著作，它精練地利用集合論、凸性分析技術和不動點理論等完美地解決了一般均衡存在性問題;還解釋了為什么建立在代數(shù)和方程理論基礎上的瓦爾拉斯一般均衡理論是不完備的[4]。很多經(jīng)濟學家得以在此基礎上進行更具體的實證研究。

一般均衡存在的結果在后來的實證研究中變得相當有用，由世界銀行團隊在此基礎上完成了可計算一般均衡（CGE）模型。在CGE模型內，任何一個細小的變化都會產(chǎn)生牽一發(fā)而動全身的結果。為了量化這些變化，CGE模型將理論證明中的每個環(huán)節(jié)都選擇了對應法則（數(shù)學結構或函數(shù)形式），再由電腦通過數(shù)值計算給出最優(yōu)解。不同的經(jīng)濟函數(shù)形式可以根據(jù)具體情況用在CGE模型的不同地方。其中較為著名的有柯布—道格拉斯函數(shù)（C—D）、來昂惕夫函數(shù)（Leontief）、常替代彈性函數(shù)（CES）等[2]。盡管函數(shù)有各種各樣的形式，但本質上都沒有超過一般均衡理論的范疇。以下將著重研究的柯布—道格拉斯函數(shù)和里昂惕夫函數(shù)在CGE模型中各自深刻的含義。

二、柯布—道格拉斯函數(shù)

柯布—道格拉斯函數(shù)（即C—D函數(shù)）是經(jīng)濟實證研究中應用最廣泛的一個，由美國經(jīng)濟學家道格拉斯和數(shù)學家柯布兩人共同發(fā)明，兩人的合作方式和后來的廣泛應用都具有一定的偶然性。

（一）C—D函數(shù)的產(chǎn)生

20世紀初，美國芝加哥大學的經(jīng)濟學家道格拉斯在研究美國制造業(yè)1899—1922年度統(tǒng)計資料時，將有關雇傭勞動、固定資本、實際生產(chǎn)等數(shù)據(jù)標在對數(shù)坐標紙上時，發(fā)現(xiàn)有關生產(chǎn)的散點被夾在勞動和固定資本散點帶之間，而且在這兩條點帶間距的四分之一之處波動[19]。根據(jù)道格拉斯的回憶，他一直沒有思路找到一種數(shù)學形式表達這種關系，直到他到阿默斯特學院短期訪問教學時，由同一所學院的數(shù)學教授柯布輕易解決。這就是后來所看到的C—D函數(shù)雛形[18]，于1928年發(fā)表在《美國經(jīng)濟學評論》上，原始形式如下：

公式（1）中，P為工業(yè)產(chǎn)出（后多用Y代替），L為勞動投入，C為資本（后多用K代替），b和k（后多用A和α代替）為兩個需要計算的參數(shù)。通過回歸計算得出，資本和勞動這兩種生產(chǎn)要素對于美國工業(yè)總產(chǎn)出的貢獻（即所占份額）分別為0.25和0.75，即產(chǎn)出的主要部分（四分之三）都應歸屬于勞動。這個模型隱含的勞動和資本報酬份額幾乎恒定這一規(guī)律，在成為“卡爾多特征事實” （是宏觀經(jīng)濟領域中能夠反映經(jīng)濟運行的真實和基本特征的具有代表性的關鍵性事實，共包括6條，其中第5條就是“各種生產(chǎn)要素的收入在國民收入中所占的分配份額大體上穩(wěn)定不變”）的一部分后，變得更為人所知。此外，在CGE模型中，C—D函數(shù)通常用于將勞動力和資本兩種生產(chǎn)要素進行組合，形成新的增加值項[2]。這是考慮到在實際生產(chǎn)中勞動和資本有一定的替代效應，即人工可以干的活一般可以由一定數(shù)量的機器代替，而且在宏觀上可以假設這個替代效應是基本固定的。

（二）C—D函數(shù)的應用歷史

因為C—D函數(shù)恰好滿足了經(jīng)濟學家所關心一些性質，無意間滿足了后續(xù)經(jīng)濟學家進一步計算的需求，從它被發(fā)明開始就一直被很多學者應用。更是由于道格拉斯在芝加哥大學任教，后來他的C—D函數(shù)形式被他的同事、諾貝爾經(jīng)濟學獎獲得者保羅·薩繆爾森和羅伯特·索洛分別采用，配合他們在微觀和宏觀經(jīng)濟學理論和教科書的傳播，C—D函數(shù)成了經(jīng)濟學教學和實證研究中最常用的基本形式。薩繆爾森在他的《經(jīng)濟學》中，將C—D函數(shù)作為生產(chǎn)函數(shù)的基本形式，讓全球的經(jīng)濟學學生熟知。索洛以C—D函數(shù)為基礎模型，提出了一個新古典增長模型（索洛—斯旺模型）[24]，這是一個外生技術增長模型，由于資本收益遞減規(guī)律仍然存在，這就出現(xiàn)了所謂的索洛余值。由此衍生的全要素生產(chǎn)率和科技進步貢獻率，是各國政府現(xiàn)如今都關心的重要指標。

由于函數(shù)形式中關于勞動和資本報酬份額幾乎恒定這一早期“卡爾多特征事實”在實際中已發(fā)生變化，如1971—2011年間勞動份額出現(xiàn)全球下滑的趨勢[21]，很多學者開始質疑模型的準確性，道格拉斯也曾多次出面回復[19]。但是，C—D函數(shù)以其簡單的形式、恰到好處的復雜程度，在經(jīng)濟理論的分析和應用中仍然具有很重要的基礎地位。值得一提的是，將C—D函數(shù)影響范圍擴大的薩繆爾森和索洛有一位共同的老師——瓦西里·里昂惕夫。他還通過短期培訓方式影響了德布羅等一大批經(jīng)濟學家，而他傳授的就是投入產(chǎn)出模型。

三、里昂惕夫函數(shù)

里昂惕夫函數(shù)（也叫投入產(chǎn)出函數(shù)）是一種形式更簡單、應用更廣泛的函數(shù)形式。這個函數(shù)簡單到不用學習高等數(shù)學就可以去運用，但它同時蘊含的“大而化簡”的哲學思想又很難被復制。

（一）里昂惕夫函數(shù)產(chǎn)生的歷史

如果追溯投入產(chǎn)出思想的起源，里昂惕夫自認法國的魁奈曾對他產(chǎn)生過較大影響[20]。但根據(jù)研究，他的思想跟蘇聯(lián)計劃經(jīng)濟有一定淵源，雖然他本人對此并不認同[22]。首先，里昂惕夫的父親曾深度參與過蘇聯(lián)國民經(jīng)濟平衡表的編制工作，這種大規(guī)模系統(tǒng)計算方法對他多少有些啟發(fā);其二，里昂惕夫心中對蘇聯(lián)有一定的怨言，蘇聯(lián)因為政治原因曾逮捕過他，這也許是他不愿多提蘇聯(lián)積極影響的原因[23]。也許正是蘇聯(lián)經(jīng)濟理論中的不足，引發(fā)了他對更加完備的投出產(chǎn)出方法的思考，成為他后來思想的萌芽。

里昂惕夫生產(chǎn)函數(shù)的基本形式是：

由于公式（2）在數(shù)學上不是那么直觀，可以借助案例說明。比如，飛機生產(chǎn)需要如發(fā)動機、機翼、起落架等一系列的中間投入，而實際中間投入組合必須包括至少一個發(fā)動機、兩個機翼和一個起落架等。如果想多生產(chǎn)一架飛機，就需要多增加一整套飛機的中間投入，僅僅多投入一個發(fā)動機而不增加機翼等其他配件將不會增加飛機的產(chǎn)出數(shù)量，要素間不可替代。如果把勞動和資本都看作僅有的中間投入，在里昂惕夫函數(shù)條件下，當aK = bL，資本和勞動力就可以達到最優(yōu)組合，可以全部被用于生產(chǎn)。否則，多余的生產(chǎn)要素就會出現(xiàn)剩余和閑置，資源將得不到充分利用，出現(xiàn)浪費現(xiàn)象。

里昂惕夫函數(shù)所描述的不可替代生產(chǎn)關系其實是最直觀和最簡單的，體現(xiàn)的這種固定投入比例關系不僅廣泛存在于微觀的生產(chǎn)，也存在于宏觀的經(jīng)濟結構，在沒有明顯技術變革的情況下很少改變，因此，里昂惕夫函數(shù)也被稱為固定比例生產(chǎn)函數(shù)[1]。通過對經(jīng)濟系統(tǒng)中的關鍵數(shù)據(jù)進行收集，再利用矩陣進行系統(tǒng)計算，可以將固定關系用系數(shù)的形式表現(xiàn)出來。CGE建模者通常假定中間投入以固定的比例用于生產(chǎn)，這意味著對于任意給定的投入組合，生產(chǎn)者不能增加一種中間投入從而去替代另一種中間投入。

（二）里昂惕夫函數(shù)的應用

投入產(chǎn)出方法得到重視是在第二次世界大戰(zhàn)期間，當時美國軍方相信，高度精細化的德國工業(yè)體系中肯定存在某些關鍵點（不可替代的中間投入），只需要“打蛇打七寸”——轟炸少數(shù)的關鍵點，就可以使德國軍事工業(yè)癱瘓。軍方使用里昂惕夫方法繪制了德國軍工投入產(chǎn)出表，并發(fā)現(xiàn)關鍵性的滾珠軸承工業(yè)，繼而發(fā)現(xiàn)了滾珠。滾珠雖小，但應用面廣，損壞頻繁，生產(chǎn)集中，還不被軍方重視。事實證明，美軍摧毀了僅有的幾家滾珠工廠后，整個德國滾軸工業(yè)停轉，前方的飛機、大炮和機械化部隊很快癱瘓。里昂惕夫的方法讓一顆小小的滾珠發(fā)揮了巨大的威力，為二戰(zhàn)勝利做出了巨大貢獻。此后，里昂惕夫又長期編制美國投入產(chǎn)出表，在各種預測方面都收到了良好的效果。

五、總結

總之，分析常用經(jīng)濟函數(shù)的產(chǎn)生背景、原始內涵和應用歷史對中國總結改革開放經(jīng)驗，發(fā)展具有中國特色經(jīng)濟學新理論具有重要的借鑒作用。從具體分析C—D函數(shù)和里昂惕夫函數(shù)的過程可以看出成功的經(jīng)濟建設經(jīng)驗、完備的統(tǒng)計數(shù)據(jù)、堅實的數(shù)學基礎研究和系統(tǒng)的簡化思想都對經(jīng)濟理論的創(chuàng)新具有重要意義。這就要求中國學術界勇于擔當歷史責任，打好數(shù)據(jù)和數(shù)學的基礎，開拓思維，與其他學科或國外科學家們開展實質性的合作，共同努力創(chuàng)新。此外，數(shù)學語言雖然可用來幫助學者快速掌握經(jīng)濟基本變化規(guī)律，但數(shù)學不是經(jīng)濟學的全部，還要在研究中加上歷史分析。要讓經(jīng)濟學思想偉大的創(chuàng)造歷程激發(fā)青年學者的熱情，讓他們在學術道路上迎難而上，繼續(xù)前行。希望在不久的將來，中國的經(jīng)濟學家能夠在國際中取得更多的話語權，不僅僅是對中國的成功經(jīng)驗進行總結，更能為其他國家的發(fā)展提供理論上的支持。

參考文獻：

[1] 陳錫康，楊翠紅等. 投入產(chǎn)出技術[M]. 北京： 科學出版社，2011 .

[2] 叢曉男. 可計算一般均衡求解中多要素CES函數(shù)的線性化表達[J]. 經(jīng)濟數(shù)學， 2015，32（4）： 66-69.

[3] 崔永偉，杜聰慧. ?生產(chǎn)函數(shù)理論與函數(shù)形式的選擇研究[J]. 中國管理科學， 2015（20）： 67-73.

[4] 付才輝. ?最優(yōu)生產(chǎn)函數(shù)理論——從新古典經(jīng)濟學向新結構經(jīng)濟學的范式轉換[J].經(jīng)濟評論，2018（1）：3-46.

[5] 何祚庥. 馬克思主義政治經(jīng)濟學也要“與時俱進”（下） [J]. 學術界（月刊）， ?2013（8）：5-43.

[6] 里昂惕夫. 學術經(jīng)濟學[J]. 科學， 1986（6）.

[7] 李秋莎. 試論數(shù)學在經(jīng)濟學中的地位與作用[J]. 貴州商業(yè)高等?？茖W校報，1993（3）： 30-31.

[8] 李楊. 全部經(jīng)濟學因為互聯(lián)網(wǎng)都要重寫 中國經(jīng)濟學家有望領先世界[R]. 2017-7-10.

[9] 林毅夫，付才輝. 世界經(jīng)濟結構轉型升級報告——新結構經(jīng)濟學之路[M]. 北京：北京大學出版社，2017.

[10] 劉遵義. 投入產(chǎn)出分析的拓展研究探討[J]. 管理評論，2018， 30（5）：3-8.

[11] 馬克思. ?資本論（中譯本）[M]. 北京：商務印書館，2017.

[12] 丘成桐.數(shù)學和基礎科學在應用科學中的重要性[R]， 2019年中關村論壇主旨演講.

[13] 托馬斯·皮凱蒂. 21世紀資本論（中譯本）[M]. 北京：中信出版集團，2014.

[14] 王則柯. 混沌與均衡縱橫談[M].大連：大連理工大學出版社，2008 .

[15] 亞當·斯密. 國民財富的性質和原因的研究（中譯本）[M]. 北京：商務印書館，1972.

[16] 袁輝. ?經(jīng)濟學的“歷史”批判——兼論中國經(jīng)濟學的發(fā)展與創(chuàng)新[J]. 經(jīng)濟學家， 2011（3）： 24-32.

[17] Arrow，K. J. & Debreu，G. Existence of an Equilibrium for a Competitive Economy[J]. Econometrica， 1954，22（3）：265-290.

[18] Cobb，C. W. & Douglas，P. H. A Theory of Production[J]. American Economic Review， 1928，18（1）：139–65.

[19] Douglas，P. H. The Cobb-Douglas Production Function Once Again：Its History，Its Testing， and Some New Empirical Values [J]. Journal of Political Economy， 1976，84（5）：903–916.

[20] Leontief，W. Quantitative Input and Output Relations in the Economic Systems of the United States[J]. The Review of Economic Statistics，1936，18（3）：105-125.

[21] Loukas， K. & Brent，N. The Global Decline of The Labor Share [J]. The Quarterly Journal of Economics， 2014（2）： 61–103

[22] Samuelson， P. A. & Barnett，W. A. Inside the Economist's Mind： Conversations with Eminent Economists [M]. Blackwell Publishing，2007 .

[23] Shackleton， J. R. & Locksley， G. Twelve Contemporary Economists[M]. The Macmillan Press Ltd，1981.

[24] Solow，R. Technical Change and the Aggregate Production Function[J]. The Review of Economics and Statistics，1957（39）： 312–320.