韓 帥，劉滿祿，張俊俊，張 華

（西南科技大學(xué)特殊環(huán)境機(jī)器人技術(shù)四川省重點實驗室，四川 綿陽 621010）

1 引言

以倒立擺為研究對象可以對控制學(xué)科中的許多典型問題進(jìn)行說明，如非線性問題、魯棒性問題、正定性問題和跟蹤性問題等。此外，對倒立擺進(jìn)行穩(wěn)定控制對許多復(fù)雜的工程也有重大的應(yīng)用價值，如火箭發(fā)射的姿態(tài)調(diào)整、直升機(jī)的飛行控制、雙足機(jī)器人的穩(wěn)定行走等。平衡車作為倒立擺系統(tǒng)最廣泛、最簡便的應(yīng)用，具有多變量、強(qiáng)耦合、非線性等一系列特點，是研究相關(guān)控制算法的理想平臺。

目前，國內(nèi)外研究人員在平衡車控制方法方面進(jìn)行了大量的研究工作，總結(jié)出了許多成熟的控制方法和控制策略，其科研成果也廣泛地服務(wù)于大眾。針對平衡車模糊自適應(yīng)控制算法，文獻(xiàn)[1]運(yùn)用自適應(yīng)的PID控制器對一級倒立擺進(jìn)行了實物實驗，證明其系統(tǒng)具有較好的瞬態(tài)性和魯棒性；文獻(xiàn)[2]采用模糊控制和PID控制相結(jié)合的方式，用MATLAB/Simulink對控制系統(tǒng)進(jìn)行了仿真實驗，證明了兩種控制策略的有效性；竇立環(huán)建立了直線二級倒立擺系統(tǒng)的數(shù)學(xué)建模，將自適應(yīng)模糊PID智能控制算法運(yùn)用到二級倒立擺的穩(wěn)定控制中，利用MATLAB對傳統(tǒng)PID控制與自適應(yīng)模糊PID控制進(jìn)行對比仿真研究[3]；文獻(xiàn)[4]則提出了一種簡單、易行的模糊自適應(yīng)PID控制器，并對其進(jìn)行了仿真實驗[5]。

綜合上述文獻(xiàn)，這些控制算法和研究方法都具有其自身的一些優(yōu)越性，但總的來說存在兩點主要的不足：（1）僅單方面地研究自適應(yīng)控制算法或模糊控制算法，未將兩者結(jié)合起來[6-7]；（2）部分文獻(xiàn)盡管結(jié)合了自適應(yīng)控制算法或模糊控制算法，但大都停留在了仿真階段，未能用實物加以驗證[8-9]，這就使得倒立擺的模糊自適應(yīng)控制算法缺少了參考價值。

基于兩輪自平衡小車系統(tǒng)，針對外部干擾和建模不確定部分f（x）未知的問題，采用模糊系統(tǒng)f?（x）代替非線性函數(shù)f（x），實現(xiàn)了對平衡車的模糊自適應(yīng)補(bǔ)償。運(yùn)用MATLAB對平衡車的角度和角速度進(jìn)行了跟蹤仿真實驗，并在實物上對算法加以驗證，對實驗結(jié)果進(jìn)行了較為詳細(xì)的分析，結(jié)果表明：模糊自適應(yīng)控制算法對自平衡小車的速度和角速度都有較好的跟蹤效果，證明了該算法的有效性、實時性和穩(wěn)定性。

2 系統(tǒng)建模

小車實物，如圖1所示。整個車體由電路板、直流電機(jī)（帶編碼器）、電池、車輪及車身（鋁型材）組成。兩個帶編碼器的直流電機(jī)對稱安裝在小車底座上，分別驅(qū)動左右車輪運(yùn)動，并保證輪軸線與底盤中心線重合。系統(tǒng)采用整合了陀螺儀和加速度傳感器的六軸運(yùn)動處理組件MPU6050作為姿態(tài)監(jiān)測傳感器，實時監(jiān)測車體運(yùn)動姿態(tài)，根據(jù)陀螺儀和加速度計傳回的運(yùn)動姿態(tài)信號，經(jīng)過MPU6050數(shù)字運(yùn)動處理器，可將原始數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為四元數(shù)輸出，進(jìn)一步計算出歐拉角?？紤]到整個系統(tǒng)占用的資源，核心板采用STM32F103系列，其內(nèi)部資源即可以滿足系統(tǒng)所有需求。此外，小車裝有的無線模塊可使控制更為方便。

圖1 兩輪自平衡小車實物Fig.1 Prototype of Self-Balancing Two-Wheeled Cart

兩輪自平衡小車模型示意圖，如圖2所示。小車模型可以簡化為一級倒立擺，即車輪和輪軸為底座，車身為單擺。

圖2 兩輪自平衡小車模型示意圖Fig.2 Sketch Map of Self-Balancing Two-Wheeled Cart model

考慮如下二階非線性系統(tǒng)。

式中：f—未知的非線性函數(shù)，代表建模不確定部分或外部干擾；g—已知非線性函數(shù)；u∈Rn和y∈Rn—系統(tǒng)的輸入和輸出。設(shè)位置變量為xs，令：

式中：x1和x2—倒立擺的擺角和擺速；g—重力加速度；m—底座質(zhì)量；M—車身質(zhì)量；l—車身質(zhì)心到電機(jī)軸長度的一半；u—控制輸入。

若非線性函數(shù)f（x）已知，則可以通過直接控制u來消除其非線性部分，然后再利用線性控制理論設(shè)計合適的控制器。但實際上f（x）代表的外部干擾和建模不確定部分是不能直接測得的，因此式（3）中的控制律很難實現(xiàn)。此時，可采用模糊系統(tǒng)f?（x）來代替f（x），實現(xiàn)小車的自適應(yīng)模糊補(bǔ)償。實驗方法為通過給小車底座施加一個正弦輸入信號，通過對比分析小車角度和角速度的跟蹤情況，驗證模糊自適應(yīng)算法的可行性。

3 模糊自適應(yīng)控制器的設(shè)計與分析

3.1 模糊系統(tǒng)的基本理論

3.2 自適應(yīng)模糊控制器的設(shè)計

3.3 穩(wěn)定性分析

如前所示，將式（7）代入式（1），可得模糊控制系統(tǒng)的閉環(huán)動態(tài)方程為：

4 仿真實驗

4.1 隸屬度函數(shù)設(shè)計

4.2 仿真實驗及分析

針對式（4）所述小車模型，測得實物參數(shù)，如表1所示。

表1 仿真系統(tǒng)相關(guān)參數(shù)Tab.1 The Related Parameters of Simulation System

表2 仿真部分初始條件Tab.2 The PartialInitial Conditions of Simulation System

仿真采用MATLAB的simulink工具箱完成，仿真時間設(shè)為30s。simulink仿真結(jié)構(gòu)圖，如圖3所示。

圖3 自平衡小車s i m u l i n k仿真結(jié)構(gòu)圖F i g.3 T h e D i a g r a m o f S i m u l a t i o n S t r u c t u r e f o r t h e S e l f-B a l a n c e d C a r t

為表達(dá)方便，程序中分別用F、F1、F2表示模糊系統(tǒng)ξ（x）及其分母、分子。運(yùn)行程序后，仿真結(jié)果，如圖4所示。

圖4 角度及角速度跟蹤仿真曲線Fig.4 The Tracking Curve of the Angle and Angular Velocity

分析仿真曲線可以得出，模糊自適應(yīng)算法對小車角度和角速度都有較好的跟蹤效果。對于角度跟蹤，仿真曲線在1.5s之后即能穩(wěn)定地跟蹤預(yù)設(shè)函數(shù)，其最大跟蹤誤差為12.2%，全程平均誤差為4.7%；對于角速度跟蹤，仿真曲線在起始階段有較大波動，但在1.8s之后即能穩(wěn)定地跟蹤預(yù)設(shè)函數(shù)，其最大跟蹤誤差為12.9%，全程平均誤差為6.9%。

5 實物實驗及相關(guān)現(xiàn)象分析

實驗開始時小車與豎直方向保持一微小角度，各初始條件由系統(tǒng)給定，小車上電后，分別記錄下角度、角速度在，2，…，6）時刻的值，并與預(yù)設(shè)值進(jìn)行比較。角度值由安裝在電機(jī)上的編碼器讀取，角速度值由位置指令求導(dǎo)后間接得出。

小車實驗現(xiàn)象表現(xiàn)為：對于角度，車身在起始位置有大概1.5s的延遲，之后相對于豎直方向持續(xù)保持約為6°的左右晃動；對于角速度，車身開始有急速抖動，持續(xù)時間約為1s，之后在±6°的范圍內(nèi)平穩(wěn)擺動。具體測量數(shù)據(jù)，如表3、表4所示。

表3 模糊自適應(yīng)算法下的角度跟蹤測量Tab.3 The Angle Tracking Measurement with the Algorithm Study of Fuzzy Adaptability

表4 模糊自適應(yīng)算法下的角速度跟蹤測量Tab.4 The Angular Velocity Tracking Measurement with the Algorithm Study of Fuzzy Adaptability

通過分析表3、表4可以得出，角度的平均跟蹤誤差為6.1%，角速度的平均跟蹤誤差為8%，基本符合仿真結(jié)果中的全程平均誤差，跟蹤效果良好，表明自平衡小車能在外部干擾和建模不確定性未知的情況下較好地實現(xiàn)平穩(wěn)控制，也證明了模糊自適應(yīng)算法的有效性和可行性。此外，在記錄角速度跟蹤測量數(shù)據(jù)時，發(fā)現(xiàn)20s時的數(shù)據(jù)存在異常，曲線上表現(xiàn)為較大的跳動，分析后發(fā)現(xiàn)此階段有較大外力干擾，為保證數(shù)據(jù)的有效性，已舍去此組數(shù)據(jù)。

6 結(jié)論

首先針對外部干擾和建模不確定性未知的情況，從理論上證明了模糊自適應(yīng)控制器的穩(wěn)定性和有效性。之后通過simulink仿真、實物驗證的方法，對自平衡小車的角度和角速度進(jìn)行了跟蹤性實驗，并通過實物實驗進(jìn)行了驗證，最后得出了“糊自適應(yīng)算法能實時地對未知外部干擾和建模不確定性進(jìn)行自適應(yīng)模糊補(bǔ)償”這一結(jié)論，對以后欠驅(qū)動系統(tǒng)的控制具有一定的參考價值。