曾億山，張 強，胡 敏,2，范一杰，耿豪杰

(1.合肥工業(yè)大學(xué)機械工程學(xué)院，安徽合肥 230009；2.浙江大學(xué)流體動力與機電系統(tǒng)國家重點實驗室，浙江杭州 310027)

引言

風(fēng)能是一種清潔且無公害的可再生能源，是世界各國高度重視并發(fā)展的戰(zhàn)略性產(chǎn)業(yè)之一，在能源、環(huán)境保護等方面具有重要的作用[1]。目前，對風(fēng)能利用的主要形式是通過安裝風(fēng)力發(fā)電機組，將風(fēng)能轉(zhuǎn)化為電能[2]，未來的風(fēng)力發(fā)電機組中變速運行將取代恒速運行[3]。近年來，由于液壓傳動型風(fēng)力發(fā)電機組的優(yōu)勢顯著，液壓技術(shù)在風(fēng)力發(fā)電中的應(yīng)用開始引起廣泛研究[4]。在液壓變速恒頻風(fēng)力發(fā)電機組中，液壓泵作為能量收集與轉(zhuǎn)換元件，起著重要作用。由于風(fēng)的波動性與間歇性，風(fēng)力機轉(zhuǎn)速大小極不穩(wěn)定，傳統(tǒng)液壓泵難以在隨機低轉(zhuǎn)速工況下連續(xù)長時間地可靠運行，并且流量輸出也不恒定。因此，需要設(shè)計合適的數(shù)字液壓泵來滿足風(fēng)力發(fā)電所特有的隨機發(fā)生和低速大排量工況的需求，以保證可靠高效地吸收風(fēng)能并將其轉(zhuǎn)換為穩(wěn)定的流量輸出。多位學(xué)者已對數(shù)字泵進行了大量的研究。齊禮東等[5]研究了一種徑向柱塞數(shù)字泵能夠借助于高速電磁開關(guān)閥組的PWM控制或柱塞行程的有效控制來實現(xiàn)隨機低轉(zhuǎn)速驅(qū)動下的恒流量輸出；張斌等[6]研制了一種多排數(shù)字軸向柱塞泵，通過調(diào)節(jié)對各個柱塞對應(yīng)的進口開關(guān)閥和出口開關(guān)閥的工作順序，來實現(xiàn)對流量控制；李林等[7]提出采用液控單向閥控制柱塞單元有效輸出/輸入實現(xiàn)軸向柱塞泵/馬達配流及變量的配流機構(gòu)。但是已有的數(shù)字泵都是偏心輪式結(jié)構(gòu)，較難實現(xiàn)低速大排量。考慮到現(xiàn)有的內(nèi)曲線馬達具有良好的低速穩(wěn)定性，易于達到低速大排量，因此提出設(shè)計一種內(nèi)曲線轉(zhuǎn)子驅(qū)動徑向柱塞數(shù)字泵來滿足風(fēng)力發(fā)電的需求，與內(nèi)曲線馬達不同，內(nèi)曲線轉(zhuǎn)子驅(qū)動徑向柱塞數(shù)字泵需要重點解決柱塞吸油時的低壓回程問題，本研究重點在于轉(zhuǎn)子內(nèi)曲線和回程曲線的設(shè)計，以及對泵柱塞組件的運動學(xué)和動力學(xué)進行分析。

1 內(nèi)曲線轉(zhuǎn)子驅(qū)動徑向柱塞數(shù)字泵的工作原理

圖1是多作用內(nèi)曲線徑向柱塞泵的工作原理圖。該液壓泵采用的是轉(zhuǎn)子導(dǎo)軌的結(jié)構(gòu)形式，內(nèi)曲線轉(zhuǎn)子與主軸通過花鍵連接，在主軸轉(zhuǎn)動時，隨主軸一起轉(zhuǎn)動。從圖1可以看出，柱塞的滾柱夾在轉(zhuǎn)子內(nèi)曲線和回程曲線之間，在轉(zhuǎn)子的外側(cè)回程曲線的幫助下，柱塞很容易進行回程運動，從而解決了傳統(tǒng)液壓泵自吸能力不強的缺點。在主軸轉(zhuǎn)動過程中，當(dāng)柱塞位于吸油區(qū)時，柱塞在外側(cè)的回程機構(gòu)以及低壓油的壓力作用下，運動到離轉(zhuǎn)子中心最近的位置，此時柱塞腔容積最大，完成一次吸油動作。接著隨著主軸運動，帶動內(nèi)曲線轉(zhuǎn)子進行轉(zhuǎn)動，在轉(zhuǎn)子曲線的作用下，柱塞開始向外運動，柱塞腔容積逐漸減小，并最終到達離轉(zhuǎn)子中心最遠處的位置，此時柱塞腔內(nèi)的高壓油液完全排出，從而完成一次排油動作。由于柱塞組件與轉(zhuǎn)子導(dǎo)軌之間采用了滾柱接觸，而且滾柱一方面在內(nèi)曲線導(dǎo)軌上運動，另一方面又與柱塞形成了轉(zhuǎn)動副，采用滾柱接觸大大減小了摩擦力，提升了柱塞泵的性能和壽命。

圖1 多作用內(nèi)曲線徑向柱塞數(shù)字泵工作原理圖

柱塞在單個吸排油區(qū)間內(nèi)就可以完成1次完整的吸排油動作。而當(dāng)轉(zhuǎn)子含有x個這樣的吸排油區(qū)時，內(nèi)曲線轉(zhuǎn)子每旋轉(zhuǎn)1周，單個柱塞就可以完成x次吸排油的動作。如果再在泵軸向布置z個相同的轉(zhuǎn)子柱塞組件結(jié)構(gòu)，泵的排量將會呈z倍增加，這樣不僅可以實現(xiàn)液壓泵的低速大排量化，也可根據(jù)需要對徑向柱塞泵排量加以控制。因此液壓泵的排量可以用以下公式表示：

(1)

式中,d—— 柱塞直徑

h—— 柱塞行程，即柱塞進行一次吸排油的運動位移

x—— 作用次數(shù)，即內(nèi)曲線轉(zhuǎn)子的凸起個數(shù)

y—— 柱塞個數(shù)

z—— 轉(zhuǎn)子個數(shù)

從式(1)中可以看出，柱塞泵的排量與柱塞直徑，柱塞行程，作用次數(shù)，柱塞個數(shù)，以及轉(zhuǎn)子的個數(shù)這5個變量是成正比的。增大上式中5個變量的1個或幾個變量即可增大泵的排量。

2 柱塞組件運動學(xué)和動力學(xué)分析

2.1 作用曲線設(shè)計與柱塞組件運動學(xué)分析

在已有的大部分內(nèi)曲線馬達中，定子曲線采用的是等加速運動曲線，簡稱等加速曲線[8]。等加速曲線具有較好的性能，可通過合理分配吸油區(qū)和排油區(qū)的幅角，得到性能良好的內(nèi)曲線轉(zhuǎn)子驅(qū)動徑向柱塞泵。為了防止由于加速度的突變導(dǎo)致滾柱與導(dǎo)軌之間的接觸應(yīng)力值的突變，從而給導(dǎo)軌帶來損壞，因此等加速曲線常常會設(shè)有零速區(qū)。徑向柱塞泵的吸油區(qū)和排油區(qū)曲線中，都設(shè)有零速區(qū)、加速區(qū)、等速區(qū)和減速區(qū)[9]。

如圖2所示，等加速曲線是由零速區(qū)、加速區(qū)、等速區(qū)、減速區(qū)組成的，若AB段是吸油區(qū)，BC段是排油區(qū)，則吸油區(qū)的幅角(ψm)，ψm0，ψm1，ψm2，ψm3分別是吸油零速區(qū)、加速區(qū)、等速區(qū)、減速區(qū)。排油區(qū)的幅角為(ψn)，ψn0，ψn1，ψn2，ψn3分別是排油零速區(qū)、加速區(qū)、等速區(qū)、減速區(qū)，吸油區(qū)和排油區(qū)的總幅角為ψz。將前人對徑向柱塞泵定子曲線的幅角分配的研究結(jié)果[9]應(yīng)用到轉(zhuǎn)子內(nèi)曲線上，則吸排油區(qū)域各個角度占比具體分配如表1所示。

圖2 等加速曲線幅角分配圖

表1 吸/排油區(qū)域各個角度占比

內(nèi)曲線轉(zhuǎn)子徑向柱塞泵的單個柱塞的運動規(guī)律可以等效為凸輪滾柱機構(gòu)的運動來分析。如圖3所示，弧AC段是內(nèi)曲線轉(zhuǎn)子導(dǎo)軌上的單個作用曲線，當(dāng)內(nèi)曲線轉(zhuǎn)子順時針旋轉(zhuǎn)時，柱塞滾柱進入弧BA段運動時，柱塞組件在轉(zhuǎn)子導(dǎo)軌的作用下向著缸體中心作回程運動，此時柱塞腔容積增大，液壓油經(jīng)過吸油窗口進入到柱塞腔內(nèi)，完成吸油過程；柱塞滾柱在弧CB段運動時，柱塞組件背離缸體作徑向運動，此時柱塞腔容積減小，迫使油液排出柱塞腔，完成排油過程。柱塞組件的運動取決于轉(zhuǎn)子內(nèi)曲線的形式，為了簡化分析，可以用柱塞滾柱來代替柱塞組件的運動。如圖4所示，A1B1C1是內(nèi)曲線轉(zhuǎn)子的一個作用曲線，A2B2C2是滾柱中心的運動軌跡。在一開始零速區(qū)為起始位置，滾柱中心距主軸中心的距離OA2是ρ0,在轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動的過程中，滾柱中心距主軸中心的距離OO1是ρθ,當(dāng)轉(zhuǎn)子在dt時間內(nèi)轉(zhuǎn)動dθ的角度時，滾柱相對于轉(zhuǎn)子從O1點運動到O2點，此時滾柱的徑向位移為dρ,因此可算出滾柱的徑向線速度vρ。

圖3 單作用曲線柱塞運動示意圖

圖4 柱塞滾柱運動簡圖

(2)

(3)

式中,vθ稱為度速度[10]，即滾柱在單位轉(zhuǎn)動角度上的徑向位移；ω為轉(zhuǎn)子在泵軸帶動下的角速度。

繼續(xù)對徑向線速度vρ進行角度的一階微分，可得滾柱的度加速度aρ。

(4)

(5)

其中,aθ稱為度加速度[10]。

在得出度速度和度加速度公式的前提下，對度加速度和度速度進行積分即可得出柱塞組件的運動規(guī)律。柱塞組件的度速度為:

(6)

柱塞滾柱在某個角度距離轉(zhuǎn)子中心的距離為:

(7)

通過上述公式可以得到滾柱中心運動理論推導(dǎo)公式，接下來需要對轉(zhuǎn)子內(nèi)曲線和回程曲線進行理論推導(dǎo)。使用微元的思想[9]，轉(zhuǎn)子曲線是一個不規(guī)則的圖形，柱塞滾柱和轉(zhuǎn)子的位置關(guān)系是相切，由相切的幾何特性，過曲線上該點做該點的法線方向的一條直線，滾柱最內(nèi)側(cè)的點，是滾柱與轉(zhuǎn)子內(nèi)曲線的接觸點，而滾柱的最外圍的點，則在接觸點與圓心相連的直徑之上，也是轉(zhuǎn)子回程曲線上的點。由數(shù)學(xué)公式，在極坐標系下，曲線的極半徑ρ(θ)與其導(dǎo)數(shù)ρ′(θ)之比等于極半徑與曲線切線之夾角的正切，數(shù)學(xué)表達式如式(8)。由圖5可知，α=ψ+θ，則曲線切線在M點的法線方向為過M點的水平線順時針旋轉(zhuǎn)了90°-ψ-θ，這樣可以根據(jù)滾柱的直徑確定內(nèi)曲線和回程機構(gòu)曲線上點的位置。

圖5 回程曲線推導(dǎo)圖

(8)

考慮到滾柱與導(dǎo)軌每點都需要保證相切，從而需要計算出滾柱中心運動曲線每點相對應(yīng)的法線方向，并且需要計算出最小的曲率半徑值。曲率半徑公式如下:

(9)

在利用已知的設(shè)計條件得到最小的曲率半徑之后，滾柱的半徑應(yīng)小于等于滾柱中心運動曲線曲率半徑值最小值，確定滾柱直徑D之后，在MATLAB軟件中進行繪制內(nèi)曲線和回程曲線程序的編寫，而內(nèi)曲線的設(shè)計是基于極坐標系的，因此可以利用極坐標系與笛卡爾坐標系的轉(zhuǎn)換公式得到：

x=ρ(θ)cos(θ)

(10)

y=ρ(θ)sin(θ)

(11)

接下來需要計算每個對應(yīng)的內(nèi)曲線和回程曲線上的點，可用以下公式得到:

xin=ρ(θ)cos(θ)?0.5D×cos(90°-φ-θ)

(12)

yin=ρ(θ)cos(θ)±0.5D×cos(90°-φ-θ)

(13)

xout=ρ(θ)cos(θ)±0.5D×cos(90°-φ-θ)

(14)

yout=ρ(θ)cos(θ)?0.5D×cos(90°-φ-θ)

(15)

式中，D—— 柱塞滾柱的直徑

x—— 滾柱中心運動曲線的橫坐標

y—— 滾柱中心運動曲線的縱坐標

xin—— 內(nèi)曲線的橫坐標

yin—— 內(nèi)曲線的縱坐標

xout—— 回程曲線的橫坐標

yout—— 回程曲線的縱坐標

按照這種方法，進行程序編制，考慮到后續(xù)需要對泵的排量進行控制，結(jié)合選用電磁閥的響應(yīng)時間，將轉(zhuǎn)子作用曲線設(shè)為8個。因此把整個轉(zhuǎn)子曲線，看作是一個作用曲線繞原點，旋轉(zhuǎn)復(fù)制8次得到。編程的主要參數(shù)如表2所示。

表2 編程參數(shù)

編完程序后運行可得到圖6，點劃線是轉(zhuǎn)子內(nèi)曲線，虛線是回程曲線，實線是柱塞滾柱中心的運動軌跡。

圖6 MATLAB程序運行圖

2.2 柱塞組件的動力學(xué)分析

如圖7所示，內(nèi)曲線轉(zhuǎn)子驅(qū)動徑向柱塞數(shù)字泵在運行時，柱塞和滾柱上的作用力有：柱塞底部的液壓力Fp，柱塞滾柱組件運動時徑向加速度產(chǎn)生的慣性力Fr，滾柱轉(zhuǎn)動時受滾動摩擦力矩經(jīng)過簡化成滾柱中心的力F，柱塞與殼體柱塞孔之間的正壓力N，柱塞在柱塞孔壁的摩擦力Ff，內(nèi)曲線轉(zhuǎn)子對滾柱的作用力Fn。

圖7 柱塞滾柱受力分析簡圖

1) 柱塞底部的液壓力p0

柱塞做徑向往復(fù)運動，吸油時，在低壓油液壓力和轉(zhuǎn)子回程機構(gòu)的作用下做回程運動；排油時，柱塞底部受到高壓油的液壓力。液壓力p0為：

(16)

式中，p為柱塞腔油液壓力。

2) 柱塞滾柱組件的慣性力Fr

Fr=(m滾柱+m柱塞)ar

(17)

式中，m滾柱—— 滾柱質(zhì)量

m柱塞—— 柱塞質(zhì)量

ar—— 柱塞滾柱徑向加速度

3) 滾柱轉(zhuǎn)動時受滾動摩擦力矩[11]經(jīng)過簡化成滾柱中心的力F

(18)

式中，μ—— 滾動摩擦系數(shù)

R—— 滾柱半徑

4) 柱塞與殼體柱塞孔之間的正壓力N

轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動時，轉(zhuǎn)子對滾柱作用力的分力作用在柱塞上，最終柱塞和柱塞孔壁之間產(chǎn)生相互作用力。

5) 柱塞在柱塞孔壁的摩擦力Ff

Ff=f·N

(19)

式中，f為摩擦系數(shù)。

6) 內(nèi)曲線轉(zhuǎn)子對滾柱的作用力Fn

柱塞滾柱組件徑向方向的力平衡方程為：

Fncosα+Fr+Ff-Fp=0

(20)

即：

(21)

其中，

(22)

由此可算得：

(23)

式中,α為壓力角，壓力角計算推導(dǎo)如圖8所示。

圖8 壓力角計算推導(dǎo)圖

壓力角可通過以下方法來計算：過O1作OO2的垂線O1P,則O2P為滾柱徑向位移dρ,O1P約為ρdθ,因此壓力角[7]的正切值為：

(24)

3 柱塞滾柱組件的運動學(xué)與動力學(xué)仿真分析

3.1 徑向柱塞泵虛擬樣機建模

表3 徑向柱塞泵主要零部件材料屬性設(shè)置 g·cm-3

在對各個零部件賦予材料屬性之后，就是對主要零部件創(chuàng)建約束關(guān)系，根據(jù)機械原理相關(guān)知識和徑向柱塞泵的實際運動情況，添加的約束關(guān)系為：主軸-大地：旋轉(zhuǎn)副；轉(zhuǎn)子-主軸：固定副；回程導(dǎo)軌-轉(zhuǎn)子：固定副；柱塞-滾柱：旋轉(zhuǎn)副；柱塞-大地：平移副。

在對零部件之間添加約束后，滾柱與轉(zhuǎn)子之間存在點線約束，對兩者添加點線約束后，滾柱將按照設(shè)計的作用曲線運動。但是要想模擬滾柱運動的實際情況，需要在轉(zhuǎn)子與滾柱之間添加contact接觸副，使得滾柱與轉(zhuǎn)子之間產(chǎn)生碰撞力。根據(jù)滾柱和轉(zhuǎn)子的材料進行contact參數(shù)設(shè)置：材料的剛度設(shè)為100000 N/mm，金屬材料的力指數(shù)一般取1.3～1.5,這里取1.5；阻尼一般取剛度的0.1%～1%，取值100 N·s/mm，穿透深度指的是材料之間的最多嵌入深度，一般取值0.1 mm。

內(nèi)曲線轉(zhuǎn)子驅(qū)動徑向柱塞數(shù)字泵運動期間，進行吸排油動作時候，柱塞底部會受到液壓油壓力的作用。柱塞吸油時壓力較低，排油時壓力較高。因此，按照吸油壓力1 MPa和排油壓力20 MPa在ADAMS中可通過函數(shù)表達式來定義柱塞受到的液壓力大小。根據(jù)徑向柱塞泵在工作時受到的液壓油壓力，使用樣條曲線函數(shù)AKISPL添加的液壓力曲線如圖9所示(以泵軸轉(zhuǎn)速為30 r/min為例)。

圖9 液壓力樣條曲線圖

ADAMS中的動力學(xué)模型如圖10所示。

圖10 徑向柱塞泵主要零部件動力學(xué)模型圖

3.2 仿真結(jié)果分析

仿真完成之后，對仿真結(jié)果進行分析。

1) 柱塞滾柱的運動學(xué)分析

在圖11～圖13柱塞滾柱質(zhì)心的速度變化曲線圖中，實線是滾柱與轉(zhuǎn)子設(shè)置contact接觸時，滾柱的速度變化曲線；虛線是滾柱與轉(zhuǎn)子設(shè)置點線接觸時，滾柱質(zhì)心的速度變化曲線。滾柱與轉(zhuǎn)子設(shè)置點線接觸是比較理想的情況，滾柱與轉(zhuǎn)子的接觸點和轉(zhuǎn)子曲線始終不脫離，因此速度曲線有著預(yù)期的零速區(qū)、加速區(qū)、等速區(qū)、減速區(qū)，其中等速區(qū)速度有不穩(wěn)定的情況，原因是MATLAB導(dǎo)出點坐標到三維建模軟件中，會出現(xiàn)某些點不連續(xù)的情況，整個曲線速度最大值為35 mm/s，基本無速度突變。但是泵在實際運動過程中，在滾柱直徑取值較小時，即配合間隙較大時，速度在等速區(qū)會有突變，突變峰值能達到在46 mm/s，且速度波動變化較頻繁。當(dāng)配合間隙值取最小公差時，即滾柱直徑取19.94 mm時，速度曲線波動變小，速度突變峰值也減小，整體曲線性能變好，和理想速度曲線基本重合。由于滾柱直徑略小于內(nèi)曲線和回程曲線的間距，速度值不會完全按照設(shè)計的內(nèi)曲線來變化，這也反映了滾柱的真實運動狀況，滾柱運動較平穩(wěn)。因此滾柱直徑可按照最小配合公差取值19.94 mm。

圖11 φ19.85滾柱質(zhì)心速度變化圖

圖12 φ19.89滾柱質(zhì)心速度變化圖

圖13 φ19.94滾柱質(zhì)心速度變化圖

圖14是在轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)1個作用曲線過程中，φ19.94滾柱運動位移曲線圖。實線是滾柱與轉(zhuǎn)子之間設(shè)置點線接觸時，即理想情況下的滾柱運動位移曲線；虛線是滾柱與轉(zhuǎn)子之間設(shè)置contact時滾柱的運動位移曲線，柱塞滾柱在轉(zhuǎn)子內(nèi)曲線和回程曲線的作用下往復(fù)運動。實線光滑且連續(xù)，無速度突變區(qū)，符合內(nèi)曲線設(shè)計目標。虛線和實線形狀相似，柱塞滾柱實際運動時平穩(wěn)，無剛性沖擊，實際運行情況較好。

圖14 φ19.94滾柱的運動位移曲線圖

2) 柱塞滾柱的動力學(xué)分析

圖15是泵在運行過程中，在柱塞底部添加液壓力時，滾柱與轉(zhuǎn)子的接觸力變化曲線。高壓油作用下，滾柱與轉(zhuǎn)子的接觸力規(guī)律性地波動，整體的接觸力數(shù)值上幾乎相等。低壓油作用下的接觸力波幅度比高壓油作用下小很多，接觸力值在滾柱運動過程中也近似相等。

圖15 液壓力作用下滾柱與轉(zhuǎn)子的接觸力曲線圖

圖16是在不同轉(zhuǎn)速情況下，在柱塞底部添加液壓力時，滾柱與轉(zhuǎn)子的接觸力變化曲線。虛線是轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速為10 r/min時，滾柱與轉(zhuǎn)子接觸力變化曲線，實線是轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速為30 r/min時，滾柱與轉(zhuǎn)子接觸力變化曲線。從圖中可以看出，滾柱與轉(zhuǎn)子的接觸力主要與液壓力有關(guān)，接觸力周期性變化，呈鋸齒狀在一個平衡值處上下波動，整體的接觸力數(shù)值上幾乎相等。轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速在10 r/min和30 r/min時，接觸力曲線波動相似，受力情況相近。由于徑向柱塞泵用于液壓風(fēng)力發(fā)電機組，風(fēng)力機轉(zhuǎn)速一般為10～31 r/min，而轉(zhuǎn)子與滾柱的接觸力在低速情況下有良好的穩(wěn)定性，力數(shù)值變化有規(guī)律性，性能較好。

圖16 不同轉(zhuǎn)速下滾柱與轉(zhuǎn)子的接觸力曲線圖

4 結(jié)論

提出了一種內(nèi)曲線轉(zhuǎn)子驅(qū)動徑向柱塞數(shù)字泵，對其進行內(nèi)曲線和回程曲線的設(shè)計，并進行柱塞組件的運動學(xué)及動力學(xué)特性分析，這種泵有以下優(yōu)點：

(1) 在風(fēng)力發(fā)電領(lǐng)域有較好的應(yīng)用前景，在內(nèi)曲線轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動1周的過程中，泵可進行多次吸油和排油，解決了傳統(tǒng)液壓泵在低速情況下難以實現(xiàn)大排量化的缺點；

(2) 內(nèi)曲線轉(zhuǎn)子驅(qū)動徑向柱塞數(shù)字泵采用滾柱凸輪的接觸形式，將柱塞與轉(zhuǎn)子之間的滑動摩擦變?yōu)闈L動摩擦，減小了摩擦力，提升了柱塞泵的性能和壽命；

(3) 滾柱在轉(zhuǎn)子內(nèi)曲線和回程曲線的作用下來回運動，在分析比較不同滾柱直徑的運動學(xué)特性之后，確定合適的滾柱直徑，仿真結(jié)果表明滾柱運動時無較大的沖擊，回程曲線能較好地幫助柱塞完成回程動作，柱塞滾柱運動連續(xù)平穩(wěn)，受力均勻有周期性。在風(fēng)力低速驅(qū)動的條件下，具有良好的運動學(xué)和動力學(xué)穩(wěn)定性。