黃云海，張炯，劉衛(wèi)東

（1.五邑大學(xué) 土木建筑學(xué)院，廣東 江門 529020；2.河海大學(xué) 機(jī)械學(xué)院，江蘇 南京 210098）

顆粒增強(qiáng)復(fù)合材料因其優(yōu)異的力學(xué)和熱學(xué)性能，被廣泛應(yīng)用在航空航天等領(lǐng)域.這些材料經(jīng)常處于溫度急劇變化的環(huán)境中，由此引起的應(yīng)力集中是導(dǎo)致顆粒增強(qiáng)復(fù)合材料破壞的一個(gè)主要原因.所以在研究復(fù)合材料破壞的問題中，確定含橢圓夾雜平面的熱彈性場(chǎng)具有重要意義.

針對(duì)以上問題，很多學(xué)者進(jìn)行了大量的研究，Lekakis[1]采用復(fù)勢(shì)函數(shù)、共形映射和解析延拓方法，研究了在無(wú)限處的均勻熱流作用下橢圓夾雜物的熱彈性問題.Shen[2]基于復(fù)變函數(shù)方法導(dǎo)出了用無(wú)窮級(jí)數(shù)表示的熱彈性場(chǎng).戴明[3]借助保角變換法、Faber 級(jí)數(shù)和Fourier 級(jí)數(shù)等工具，求解了含多個(gè)夾雜橢圓平面的熱彈性場(chǎng).Lee[4]采用等效夾雜法并結(jié)合三維橢球的Eshebly 內(nèi)部張量，計(jì)算了在無(wú)限大空間內(nèi)由于橢球夾雜溫度變化引起的熱應(yīng)力.

但是，在用上述共形映射、復(fù)變函數(shù)和級(jí)數(shù)等方法求解該問題時(shí)，計(jì)算過(guò)程較為復(fù)雜.為了簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程和提高計(jì)算效率，本文在文獻(xiàn)[4]的基礎(chǔ)上采用等效夾雜法并結(jié)合二維的Eshelby 內(nèi)部張量和外部張量，以期更簡(jiǎn)便和精確地求解含單個(gè)橢圓夾雜平面在均勻溫度變化下的熱彈性場(chǎng).

1 等效夾雜法

假設(shè)在彈性常數(shù)為的某無(wú)限大平面內(nèi)存在一個(gè)彈性常量為的橢圓夾雜，如圖1 所示，橢圓夾雜的長(zhǎng)軸與x軸的夾角為θ；橢圓夾雜的長(zhǎng)短軸之比Γ=a/b；夾雜物和基體之間的線膨脹系數(shù)差值為Δα；夾雜物和基體的剪切模量比為；整個(gè)平面溫度變化為ΔT.

將圖1 的橢圓夾雜轉(zhuǎn)化為圖2 所示的問題.在圖2 中，將橢圓夾雜轉(zhuǎn)化為位置和形狀不變但彈性常量變?yōu)榈膴A雜；同時(shí)在夾雜內(nèi)部會(huì)產(chǎn)生本征應(yīng)變（）[5]，由于本征應(yīng)變的產(chǎn)生，會(huì)在夾雜內(nèi)部和外部產(chǎn)生擾動(dòng)應(yīng)變（）：

其中Sijkl為內(nèi)部張量[6]；Gijkl為外部張量[7-8].

圖1 含橢圓夾雜的無(wú)限大平面受到均勻溫度變化示意圖

圖2 等效夾雜法示意圖

根據(jù)圖1 和圖2 所示問題，可在夾雜中心建立應(yīng)力平衡方程：

其中[4]是由溫度變化引起的均勻應(yīng)變

根據(jù)上述的等效夾雜法和Eshelby 內(nèi)部張量，若夾雜橢圓內(nèi)部的本征應(yīng)變?yōu)?，通過(guò)式（1）可以得到橢圓夾雜的內(nèi)部應(yīng)變，根據(jù)式（2）可以求得夾雜的內(nèi)部應(yīng)力場(chǎng)為：

同理可根據(jù)上述的Eshelby 外部張量，若夾雜的橢圓內(nèi)部受到均勻的本征應(yīng)變，結(jié)合式（1）可以求得橢圓夾雜的外部應(yīng)變，然后根據(jù)式（2）可以求得夾雜外部的應(yīng)力場(chǎng)為：

這樣便可根據(jù)Eshelby 的內(nèi)部和外部張量求解出溫度變化下彈性體的應(yīng)力應(yīng)變場(chǎng).

2 算例對(duì)比驗(yàn)證

將上述方法利用FORTRAN 編程實(shí)現(xiàn)，并對(duì)相應(yīng)的算例進(jìn)行分析（典型算例：無(wú)限平面含單個(gè)傾斜橢圓夾雜），然后將本文方法的計(jì)算結(jié)果與有限元軟件的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較，以驗(yàn)證其有效性.所有計(jì)算均在1.8 GHz 的i5 CPU 電腦上進(jìn)行.本文算例均假設(shè)為平面應(yīng)變問題.

在含單個(gè)橢圓夾雜的無(wú)限大平面內(nèi)均勻升溫1 C° ，基體和夾雜的剪切模量分別為2.6 GPa 和13.0 GPa，泊松比為0.3；其余參數(shù)固定為：a=2.0，b=1.0 ，θ=30°，0.01αΔ=；然后分別用本文方法和有限元方法對(duì)含單個(gè)橢圓夾雜平面的熱彈性場(chǎng)進(jìn)行計(jì)算.

由圖3～5 可知，采用本文方法所得的計(jì)算結(jié)果和有限元的計(jì)算結(jié)果吻合較好，驗(yàn)證了本文方法的有效性和精確性.在計(jì)算圖3 所示的s22 應(yīng)力（y軸方向應(yīng)力）分布時(shí)，本文方法用時(shí)為10.4 s，而有限元法用時(shí)為72.2 s，表明本文方法具有更高的計(jì)算效率.此外，采用有限元計(jì)算時(shí)，要對(duì)模型進(jìn)行劃分網(wǎng)格，然后同時(shí)求解；而本文方法在計(jì)算各個(gè)點(diǎn)的應(yīng)力時(shí)是獨(dú)立的，與其余點(diǎn)無(wú)直接聯(lián)系，可以僅對(duì)局部進(jìn)行求解，計(jì)算效率大大提高.

圖3 s22 應(yīng)力分布（θ=30°，K=5.0）

圖4 s12 應(yīng)力分布（θ=30°，K=5.0）

圖5 Mises 應(yīng)力分布（θ=30°，K=5.0）

3 材料參數(shù)和幾何參數(shù)對(duì)界面應(yīng)力的影響

由于夾雜物和基體之間的線膨脹系數(shù)不同，在溫度變化時(shí)會(huì)產(chǎn)生熱失配，由此引起的界面應(yīng)力集中是導(dǎo)致材料破壞的一個(gè)重要原因，因此研究橢圓夾雜的材料參數(shù)和幾何參數(shù)對(duì)界面熱應(yīng)力的影響有著重要的現(xiàn)實(shí)意義.

以下算例均采用本文方法對(duì)含單個(gè)橢圓夾雜平面的熱彈性場(chǎng)進(jìn)行計(jì)算，基體和夾雜物的泊松比均為v=0.3，并分別求出界面的徑向應(yīng)力差值（Δσr），環(huán)向應(yīng)力差值（Δσθ），剪應(yīng)力差值（Δσrθ）.

3.1 材料參數(shù)對(duì)界面應(yīng)力的影響

圖6 在K變化下的界面徑向應(yīng)力差值

由圖6～8 可知，3 個(gè)界面應(yīng)力差值的增幅隨著K的增大而逐漸減緩；Δσr和Δσrθ隨著K的增大其最大值逐漸向45°的位置靠近，而 Δσθ的最值在K＜1時(shí)出現(xiàn)在長(zhǎng)軸端點(diǎn)，在K≥1出現(xiàn)在短軸端點(diǎn).當(dāng)K=10.0時(shí)，隨著夾雜物剪切模量的增長(zhǎng)其界面應(yīng)力差值緩慢增加，在實(shí)際工程允許的情況下可以盡量選擇與基體剪切模量差值大的夾雜.

圖7 在K變化下的界面環(huán)向應(yīng)力差值

圖8 在K變化下的界面剪應(yīng)力差值

3.2 幾何參數(shù)對(duì)界面應(yīng)力的影響

算例1：基體和夾雜的剪切模量分別為2.6 GPa和0.52 GPa，固定 ΔT=1°C,b=1.0,Δα=0.01.研究a分別取1.1，2.0，5.0 和10.0 時(shí)，界面應(yīng)力差值的變化情況.

由圖9～11 可知，Δσr隨著Γ的增加其最大值逐漸向長(zhǎng)軸端點(diǎn)靠近；Δσθ的最大值隨Γ增加而增加且最大值出現(xiàn)在長(zhǎng)軸端點(diǎn)，短軸端點(diǎn)處的 Δσθ隨Γ增加其增幅逐漸減緩；Δσrθ的最大值隨Γ增加其增幅減緩且最大值出現(xiàn)的位置逐漸向長(zhǎng)軸端點(diǎn)靠近.

圖9 在Γ變化下界面的徑向應(yīng)力差值

圖10 在Γ變化下界面的環(huán)向應(yīng)力差值

圖11 在Γ變化下界面的剪應(yīng)力差值

算例2：基體和夾雜的剪切模量分別為2.6 GPa 和13.0 GPa，固定 ΔT=1°C,b=1.0,Δα=0.01.研究a分別取1.1,2.0,5.0 和10.0 時(shí)，界面應(yīng)力差值的變化情況.

由圖12～14 可知，3 個(gè)界面應(yīng)力差值的峰值隨著Γ的增加而增加； Δσr隨著Γ的增加其峰值出現(xiàn)的位置逐漸向長(zhǎng)軸端點(diǎn)靠近； Δσθ和Δσrθ隨著Γ的增加其增幅先增加然后減緩.

由算例1 和2 可以看出，硬夾雜界面應(yīng)對(duì)力夾雜物離心率較為敏感，為了減少界面處的應(yīng)力集中，可以選擇幾何參數(shù)與圓形較為接近的夾雜.

圖12 在Γ變化下界面的徑向應(yīng)力差值

圖13 在Γ變化下界面的環(huán)向應(yīng)力差值

4 結(jié)論

本文基于等效夾雜法并結(jié)合Eshelby 內(nèi)部張量和外部張量，推導(dǎo)了無(wú)限大平面內(nèi)含單個(gè)橢圓夾雜在溫度均勻變化下熱彈性場(chǎng)的計(jì)算公式，并通過(guò)典型算例驗(yàn)證了本文方法的有效性和準(zhǔn)確性，由于本文算法可以僅對(duì)局部進(jìn)行計(jì)算，計(jì)算效率大大提高.最后，通過(guò)多個(gè)算例分析了材料參數(shù)和幾何參數(shù)對(duì)熱彈性場(chǎng)的影響，結(jié)果可為復(fù)合材料的工程應(yīng)用提供理論依據(jù).但是，本文算法只能計(jì)算無(wú)限平面下的熱彈性場(chǎng)，無(wú)法計(jì)算有限平面內(nèi)的問題，所以對(duì)材料尺寸的要求比較高.針對(duì)該問題，可以通過(guò)設(shè)置邊界條件并與錯(cuò)位分布法結(jié)合來(lái)實(shí)現(xiàn)有限平面內(nèi)熱彈性場(chǎng)的計(jì)算，今后還可以進(jìn)一步擴(kuò)展到三維夾雜的熱彈性問題.