王玉琢 高 源 徐清華 張愛(ài)敏

(中國(guó)計(jì)量科學(xué)研究院，北京 100029)

1 引 言

“萬(wàn)物互聯(lián)、聯(lián)通共享”的理念引領(lǐng)著人類(lèi)對(duì)未來(lái)的憧憬，逐步改變著我們的生活。準(zhǔn)確穩(wěn)定的時(shí)間頻率是“互聯(lián)共享”的必要條件，是導(dǎo)航定位、時(shí)空信息共享的基礎(chǔ)。時(shí)間的穩(wěn)健流逝性決定了時(shí)間計(jì)量必須滯后進(jìn)行，而預(yù)測(cè)是保障當(dāng)下和未來(lái)時(shí)間準(zhǔn)確的有效手段。原子鐘作為當(dāng)代主要的精密計(jì)時(shí)工具，其可預(yù)測(cè)能力一方面與其硬件性能和工作條件有著本質(zhì)聯(lián)系，另一方面與原子鐘數(shù)據(jù)的處理手段和預(yù)測(cè)方法直接相關(guān)[1,2]。國(guó)際計(jì)量局(BIPM)以原子鐘可預(yù)測(cè)能力作為權(quán)重評(píng)價(jià)指標(biāo)，產(chǎn)生協(xié)調(diào)世界時(shí)(UTC)[3,4]。美國(guó)國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)與技術(shù)研究院(NIST)、德國(guó)聯(lián)邦物理技術(shù)研究院(PTB)等國(guó)際先進(jìn)實(shí)驗(yàn)室應(yīng)用濾波降噪方法處理原子鐘數(shù)據(jù)、提高其可預(yù)測(cè)能力。目前，原子鐘預(yù)測(cè)方法主要包括兩類(lèi)：基于最小二乘擬合的預(yù)測(cè)方法[3]和基于Kalman filter的預(yù)測(cè)方法[5,6]。前者被BIPM采用計(jì)算協(xié)調(diào)世界時(shí)(UTC)，后者被美國(guó)NIST采用計(jì)算鐘組紙面時(shí)，兩種方法各有所長(zhǎng)，被各國(guó)時(shí)間頻率研究機(jī)構(gòu)借鑒和發(fā)展。

在前期工作中，基于最小二乘擬合設(shè)計(jì)了一種魯棒性的原子鐘預(yù)測(cè)方法——隨機(jī)追蹤策略(random pursuit strategy)[7-9]，初步實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明該方法具有較好的應(yīng)用前景。本文以理論視角進(jìn)一步闡述了隨機(jī)追蹤策略的基本思想、預(yù)測(cè)模型、不確定度分析以及關(guān)鍵技術(shù)參數(shù)優(yōu)化等問(wèn)題，為后續(xù)研究工作奠定了理論基礎(chǔ)。

2 基本思路

隨機(jī)追蹤策略由一個(gè)預(yù)測(cè)器組構(gòu)成[7-9]，其中每個(gè)預(yù)測(cè)器工作在一個(gè)獨(dú)立的子空間，所有預(yù)測(cè)器對(duì)未來(lái)預(yù)測(cè)的加權(quán)平均作為最終預(yù)測(cè)結(jié)果。具體包括如下幾個(gè)部分。

1)歷史數(shù)據(jù)

設(shè)原子鐘相位或頻率數(shù)據(jù)的測(cè)量值向量為X,每個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)間隔時(shí)間為T(mén)，則有

X=(x1x2…xn)

(1)

式中：X——?dú)v史數(shù)據(jù)樣本，即一臺(tái)原子鐘相對(duì)參考鐘或時(shí)標(biāo)測(cè)量得到的相位差或頻率差；xt——t時(shí)刻的相位差或頻率差。

向量X作為原子鐘測(cè)量的歷史數(shù)據(jù)，用于預(yù)測(cè)原子鐘未來(lái)的相位或頻率變化。

2)隨機(jī)分組

3)擬合函數(shù)

4)定義加權(quán)

5)加權(quán)平均

(2)

6)輸出預(yù)測(cè)值

綜上所述，隨機(jī)追蹤策略是基于一個(gè)預(yù)測(cè)器組構(gòu)建的加權(quán)平均預(yù)測(cè)方法，它要求一個(gè)先決條件是歷史數(shù)據(jù)向量X能代表原子鐘輸出頻率或相位的特性，且向量X中絕大部分?jǐn)?shù)據(jù)具有較高的可靠性。當(dāng)歷史數(shù)據(jù)與原子鐘所有表現(xiàn)的實(shí)際特性有較大差異時(shí)，預(yù)測(cè)方法將會(huì)失諧。雖然加權(quán)平均方法并不能保證每一次預(yù)測(cè)得到的結(jié)果均能優(yōu)于或接近最優(yōu)預(yù)測(cè)值，但是隨機(jī)追蹤策略提供一種降低預(yù)測(cè)方法對(duì)離群值、異常值敏感性的新思路。

3 理論分析

3.1 鐘差模型

(3)

預(yù)測(cè)器j的估計(jì)值在t時(shí)刻的公式為

(4)

基于子集內(nèi)m(>3)個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)利用最小二乘法進(jìn)行擬合，組成一個(gè)超定方程為

(5)

系數(shù)矩陣A可以表示為

(6)

式中：t1,…,tm——預(yù)測(cè)器j中的m個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的時(shí)刻值。

(7)

式中：A-1——A的廣義逆矩陣。

3.2 參數(shù)的相關(guān)性

(8)

式中：αj——擬合參數(shù)(時(shí)鐘的相位、頻率和頻率漂移)；Z——t1,?,tn的真值。

K和A-1相似可以表示為

(9)

真值與測(cè)量值之間的誤差表示為

ε=X-Z

(10)

將式(10)代入式(8)擬合參數(shù)為

(11)

為了得到αji的方差，式(11)右邊兩項(xiàng)的方差被寫(xiě)作

(12)

式中：αji——固定值，所以方差為0；εi——ε誤差向量的第i個(gè)元素，測(cè)量誤差被認(rèn)為是獨(dú)立同分布的；σ——測(cè)量值和真值之間的標(biāo)準(zhǔn)偏差。

(13)

式中：kij——矩陣K中第i行第j列的元素。

由于實(shí)際應(yīng)用中原子鐘輸出真值無(wú)法獲得，用殘差的標(biāo)準(zhǔn)偏差來(lái)代替σ,它的估計(jì)值可表示為

(14)

(15)

根據(jù)式(11)可知，預(yù)測(cè)器j中的任意兩個(gè)擬合系數(shù)之間的協(xié)方差為

(16)

假設(shè)誤差獨(dú)立同分布，式(16)右邊被改寫(xiě)為

(17)

3.3 預(yù)測(cè)不確定度

(18)

(19)

也可寫(xiě)作

(20)

其中，

(21)

將式(17)代入到式(20)，預(yù)測(cè)值的標(biāo)準(zhǔn)不確定度為

(22)

3.4 最大化可預(yù)測(cè)能力

隨機(jī)追蹤策略(RPS)的預(yù)測(cè)值由每個(gè)預(yù)測(cè)器的輸出經(jīng)加權(quán)平均得到，可表示為

(23)

式中：gj——集合中預(yù)測(cè)器j中相對(duì)權(quán)重的中間變量。

+∑correlationterms

(24)

(25)

式(25)可用極值法直接求解，其解為

(26)

每個(gè)預(yù)測(cè)器的權(quán)重可以表示為

(27)

(28)

由式(28)可知，由隨機(jī)追蹤策略獲得的預(yù)測(cè)值的不確定度小于預(yù)測(cè)器組內(nèi)任意單一預(yù)測(cè)器的預(yù)測(cè)不確定度，也就是說(shuō)基于此種權(quán)重策略的隨機(jī)追蹤策略具有更強(qiáng)的系統(tǒng)魯棒性及預(yù)測(cè)能力。

4 結(jié)束語(yǔ)

隨機(jī)追蹤策略對(duì)鐘差歷史數(shù)據(jù)進(jìn)行隨機(jī)抽樣分組，構(gòu)建了由若干子空間構(gòu)成的預(yù)測(cè)空間。綜合考慮每個(gè)預(yù)測(cè)空間內(nèi)的鐘差數(shù)據(jù)特性，采用最小二乘方法建立原子鐘行為模型，構(gòu)造預(yù)測(cè)空間內(nèi)鐘差數(shù)據(jù)的獨(dú)立擬合函數(shù)(預(yù)測(cè)器)，多個(gè)子空間相對(duì)獨(dú)立形成預(yù)測(cè)器組。為了最小化隨機(jī)追蹤策略的預(yù)測(cè)不確定度，采用預(yù)測(cè)空間內(nèi)樣本的不確定度定義了預(yù)測(cè)器權(quán)重，經(jīng)加權(quán)平均合并子空間預(yù)測(cè)值形成預(yù)測(cè)結(jié)果。通過(guò)隨機(jī)分組、合并預(yù)測(cè)值等策略降低了預(yù)測(cè)方法對(duì)原子鐘異常行為的敏感性，提高了歷史數(shù)據(jù)中高質(zhì)量數(shù)據(jù)點(diǎn)對(duì)未來(lái)預(yù)測(cè)的貢獻(xiàn)，進(jìn)而提升了原子鐘的可預(yù)測(cè)能力，提高了預(yù)測(cè)方法的魯棒性。

前期研究工作已表明隨機(jī)追蹤策略具有一定的優(yōu)勢(shì)和實(shí)用價(jià)值，著重從理論層面較為全面地闡述了基本原理和優(yōu)化思路。實(shí)驗(yàn)研究與理論分析也表現(xiàn)出了不足之處：隨機(jī)分組造成相同數(shù)據(jù)源每次預(yù)測(cè)結(jié)果不一致，即預(yù)測(cè)結(jié)果的重復(fù)性差；利用多次隨機(jī)重新分組取平均方法可有效提高重復(fù)性，但引起較大運(yùn)算量、造成算法執(zhí)行效率低。

解決或緩解上述問(wèn)題有如下兩種思路。

1)優(yōu)化隨機(jī)分組設(shè)計(jì)：將每次隨機(jī)分組修改為分組后的進(jìn)出棧模式，即后續(xù)數(shù)據(jù)點(diǎn)逐步替代樣本空間中時(shí)間最久的數(shù)據(jù)點(diǎn)，每次僅替換一個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)，僅有一個(gè)子空間及擬合函數(shù)發(fā)生變化，這樣可極大改善算法運(yùn)行效率，同時(shí)可以提高算法預(yù)測(cè)的重復(fù)性。

2)提升硬件運(yùn)算能力：隨機(jī)追蹤策略設(shè)計(jì)的基本結(jié)構(gòu)是若干個(gè)獨(dú)立的子空間，具備天然的并行計(jì)算優(yōu)勢(shì)。目前，GPU硬件成本急劇下降、運(yùn)算能力不斷提升，采用GPU輔助隨機(jī)追蹤策略可大幅提升運(yùn)算效率，為預(yù)測(cè)樣本數(shù)據(jù)的大規(guī)模重組提供了可能。