洪爽

摘要：數(shù)學(xué)應(yīng)用題解決過程中，問題表征方式?jīng)Q定了解題策略的選擇。問題表征分為內(nèi)部表征與外部表征，外部表征主要通過文字表征、符號表征、背景表征、圖表表征來影響應(yīng)用題的解決;內(nèi)部表征通過概念表征、命題表征、概念圖表征和圖式表征影響應(yīng)用題的解決。不同的表征方式間結(jié)構(gòu)特征的差異性，影響了應(yīng)用題解決方式上的差異性，通過認識內(nèi)外部表征將有助于解決實際應(yīng)用題。

關(guān)鍵詞：內(nèi)部表征;外部表征;高考數(shù)學(xué)應(yīng)用題

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準》中明確提出要求：“高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)強調(diào)數(shù)學(xué)與生活以及其他學(xué)科的聯(lián)系，提升學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實際問題的能力”[1]。在新課程標(biāo)準理念的指導(dǎo)下，高中數(shù)學(xué)教學(xué)更加重視學(xué)生的能力培養(yǎng)和應(yīng)用意識培養(yǎng)，高考試題中也常以“生活化”的應(yīng)用題考察學(xué)生的應(yīng)用意識。

美國現(xiàn)代認知心理學(xué)家西蒙認為：“問題表征是問題解決的一個中心環(huán)節(jié)，它說明了問題在頭腦中是如何呈現(xiàn)、如何表現(xiàn)出來的”[2]。

一般地，表征是指學(xué)習(xí)者對信息的記載以及表達方式，其中包含形式上的記錄和呈現(xiàn)信息，以及過程上的運用和調(diào)整信息。因此，問題表征既是過程上對問題的理解和內(nèi)化，也是形式上對問題理解的一種結(jié)果，即問題在頭腦中的呈現(xiàn)方式[3]。問題的解決受問題表征質(zhì)量的作用。在解決應(yīng)用題時，學(xué)生通常將實際問題抽象為數(shù)學(xué)問題，建立數(shù)學(xué)模型，再通過求解數(shù)學(xué)模型達到解決問題的目的，在抽象為數(shù)學(xué)問題的過程中，學(xué)生需要進行恰當(dāng)?shù)谋碚饕赃_到簡化問題從而確立適當(dāng)?shù)慕忸}策略。

目前大多數(shù)學(xué)者認同問題表征由內(nèi)部表征和外部表征兩部分構(gòu)成這一觀點，其中，內(nèi)部表征表現(xiàn)為學(xué)習(xí)者對問題的大腦思考過程，而外部表征主要呈現(xiàn)形式為圖形，表格、模型等。

下面將從外部表征與內(nèi)部表征兩方面對2019年數(shù)學(xué)高考應(yīng)用題進行分析：

1外部表征對數(shù)學(xué)應(yīng)用題的影響

Zhang[4]認為外部表征主要是情景中的結(jié)構(gòu)以及知識點，具體可以表現(xiàn)為限制條件、物體、維度、外部規(guī)則以及物理符號等，在解決數(shù)學(xué)應(yīng)用題中，也即將問題用圖形、表格、模型等外部的形式表現(xiàn)出來。

1.1文字表征對數(shù)學(xué)應(yīng)用題的影響

文字表征即能夠?qū)㈥愂鲂缘拿枋鲛D(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)命題，這是問題表征的關(guān)鍵一步，對題目的理解將直接影響解題策略的選擇與調(diào)控，表征恰當(dāng)與否影響了解題的成敗。

例1（2019年高考全國一卷理.15）甲、乙兩隊進行籃球決賽，采取七場四勝制（當(dāng)一隊贏得四場勝利時，該隊獲勝，決賽結(jié)束）。根據(jù)前期比賽成績，甲隊的主客場安排依次為“主主客客主客主”。設(shè)甲隊主場取勝的概率為0.6，客場取勝的概率為0.5，且各場比賽結(jié)果相互獨立，則甲隊以4：1獲勝的概率是_______

【解析】本題給出了甲隊在主、客場取勝概率，要求解甲隊4：1獲勝的概率，學(xué)生在文字表征時應(yīng)理解甲隊取勝概率受主客場影響，其次，還需對4：1進行重點表征，4：1表明了甲隊在第五場必須取勝，且在前四場中輸了一場比賽;學(xué)生閱讀題目時應(yīng)首先理解題目所提供的信息，理解并表征其中的關(guān)鍵字詞，以便于選擇正確的解題策略。

1.2符號表征對數(shù)學(xué)應(yīng)用題的影響

新課改背景下，數(shù)學(xué)教育更加重視數(shù)學(xué)符號意識的培養(yǎng)，數(shù)學(xué)符號可以幫助學(xué)生加深數(shù)學(xué)概念理解，掌握數(shù)量之間的關(guān)系，簡化并解決實際問題。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與教學(xué)都離不開數(shù)學(xué)符號語言，數(shù)學(xué)形式化和符號化必需借助符號語言來體現(xiàn)。但由于數(shù)學(xué)符號語言高度的簡潔抽象特征，當(dāng)接觸到含有大量符號的應(yīng)用題時，學(xué)生在符號表征上易遇到阻礙，進而容易畏懼該類題型。

1.3背景表征對數(shù)學(xué)應(yīng)用題的影響

弗賴登塔爾主張數(shù)學(xué)教育體系的內(nèi)容應(yīng)該是與現(xiàn)實密切聯(lián)系的數(shù)學(xué)，能夠在實際中得到應(yīng)用的數(shù)學(xué)，即“現(xiàn)實的數(shù)學(xué)”[5]。他認為數(shù)學(xué)來源于現(xiàn)實，也必須扎根于現(xiàn)實，并應(yīng)用于現(xiàn)實。如果在數(shù)學(xué)教育中完全脫離現(xiàn)實背景，則會徒增學(xué)生解題的難度，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)本身的意義也就難以體現(xiàn)。因此，高考數(shù)學(xué)應(yīng)用題的編制須考慮實際生活背景的選用。對于一些實際背景的題目，當(dāng)學(xué)生用現(xiàn)實的眼光來分析解決問題時，將有助于學(xué)生在體驗生活化數(shù)學(xué)的同時，增強對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣。

1.4圖表表征對數(shù)學(xué)應(yīng)用題的影響

圖表表征是指對具體的問題用幾何圖形或者表格的形式表示，圖形和表格具有形象直觀，簡潔明了的特點，在解決數(shù)學(xué)應(yīng)用題的過程中，可使得題目的條件與結(jié)論之間的關(guān)系變得一目了然便于理解，使得解題過程簡單化。

例2（2019年高考全國三卷文.4）《西游記》《三國演義》《水滸傳》和《紅樓夢》是中國古典文學(xué)瑰寶，并稱為中國古典小說四大名著。某中學(xué)為了解本校學(xué)生閱讀四大名著的情況，隨機調(diào)查了100學(xué)生，其中閱讀過《西游記》或《紅樓夢》的學(xué)生共有90位，閱讀過《紅樓夢》的學(xué)生共有80位，閱讀過《西游記》且閱讀過《紅樓夢》的學(xué)生共有60位，則該校閱讀過《西游記》的學(xué)生人數(shù)與該校學(xué)生總數(shù)比值的估計值為（）

A.0.5 ? ? ? ? ? ? B.0.6 ? ? ? ? ? ?C.0.7D.0.8

【解析】本題要求解閱讀過《西游記》的學(xué)生人數(shù)與該校學(xué)生總數(shù)比值的估計值，文本中涉及到《西游記》和《紅樓夢》讀者人數(shù)，閱讀完文本后可發(fā)現(xiàn)文本數(shù)據(jù)是關(guān)于兩大名著讀者數(shù)及其數(shù)量關(guān)系的，可用線段圖形式表征出來，如下圖：

線段圖具有直觀、形象的特點，在解決應(yīng)用題中能幫助學(xué)生掌握數(shù)量間的關(guān)系，分析明確題意，并在線段圖的外部表征下，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)列出解決問題的關(guān)系式以解決問題。

2內(nèi)部表征對數(shù)學(xué)應(yīng)用題的影響

內(nèi)部表征是問題解決者依賴已有的知識和經(jīng)驗，在大腦中思考問題的過程，這一過程受到注意、感知、記憶等心理過程的制約。問題的內(nèi)部表征也是問題解決的關(guān)鍵，錯誤的或不完整的內(nèi)部表征將會成為問題解決的內(nèi)部障礙[6]。

舍菲爾德尤其強調(diào)知識的表述方式和知識的良好組織，僅僅在頭腦中存在知識，并不能保證其能得到有效應(yīng)用，豐富的知識并加以優(yōu)化的結(jié)構(gòu)才能為題意的本質(zhì)理解與思路的迅速尋找創(chuàng)造成功的條件，可見良好的認知結(jié)構(gòu)有利于在問題解決過程中信息的提取和運用[7]。在某些情況下，過多的知識儲備也會給學(xué)生帶來較大的解題困擾，學(xué)生難以在眾多的知識中尋找到與題目相關(guān)的知識結(jié)構(gòu)。因此，學(xué)生在腦海中建立有序、有組織的知識結(jié)構(gòu)能夠為解題提供有效的幫助。

如下將從命題表征、概念表征、概念圖表征、圖式表征四個方面闡述內(nèi)部表征。

2.1概念表征對數(shù)學(xué)應(yīng)用題的影響

數(shù)學(xué)概念表征指對數(shù)學(xué)概念的表現(xiàn)形式，從不同層次和不同角度來表述數(shù)學(xué)知識點。喻平提出了概念域和概念系的定義：一個數(shù)學(xué)概念C的所有等價定義的圖式，叫做概念C的概念域;一組具有數(shù)學(xué)抽象關(guān)系的概念網(wǎng)絡(luò)的圖式叫做概念系[8]。在概念學(xué)習(xí)中，學(xué)習(xí)者須從多角度、多背景下去深入了解概念，從而在頭腦中形成概念體系，否則當(dāng)從另一側(cè)面去闡述同一個概念時，他們就會不得要領(lǐng)。有研究表明，學(xué)生在解題過程中的概念表征通常依賴于表象表征，也即依賴于數(shù)學(xué)概念表征的意象表征性，即學(xué)生會尋找一個或一系列的替代物來替代外來的數(shù)學(xué)概念[9]。

2.2命題表征對數(shù)學(xué)應(yīng)用題的影響

喻平同時也提出了命題域和命題系的概念，他認為與一個命題等價的命題集的圖式叫做這個命題的命題域;在一個命題集中，任意一個命題都至少與其它某一個命題有“推出”關(guān)系，就稱這個命題集的圖式為一個命題系[10]。命題網(wǎng)絡(luò)是一種陳述性知識表征形式，是由若干個具備共同成分的命題相互聯(lián)系而形成的。學(xué)生在學(xué)習(xí)不同的知識點時有可能會遇到相同的知識模塊，如果能在腦海中對這些對應(yīng)的知識模塊進行良好的命題表征，對解題將會有很大的幫助。

2.3概念圖表征對數(shù)學(xué)應(yīng)用題的影響

概念圖是由美國康奈兒大學(xué)諾瓦克教授等人提出的，是用于組織和表征知識的工具，它通常將某一主題的有關(guān)概念置于圓圈或方框之中，再以各種連線將相關(guān)概念和命題連接，從而形成了關(guān)于該主題的概念或命題網(wǎng)絡(luò)，能夠形象化地表征學(xué)習(xí)者的知識結(jié)構(gòu)及對某一主題的理解[11]。概念圖反映了某一領(lǐng)域知識的系統(tǒng)性和完整性，有助于學(xué)習(xí)者從整體上把握知識，領(lǐng)會所學(xué)內(nèi)容的概念，和各個概念的層級及其概念間的聯(lián)系;其次，概念圖圖形結(jié)構(gòu)的直觀鮮明特性，有助于促進學(xué)習(xí)者對知識技能的理解提升[12]。概念圖作為知識表征的工具，在實際生活問題的解決中，能夠幫助學(xué)生認識問題、了解問題，選取合適的解題策略解決問題。

例3（2019年高考江蘇卷.18）如圖，一個湖的邊界是圓心為0的圓，湖的一側(cè)有一條直線型公路l，湖上有橋AB（AB是圓0的直徑）。規(guī)劃在公路l上選兩個點P， Q，并修建兩段直線型道路PB， QA，規(guī)劃要求：線段PB， QA上的所有點到點0的距離均不小于圓0的半徑。已知點A， B到直線1的距離分別為AC和BD（C， D為垂足），測得AB=10，AC=6， BD= 12 （單位：百米）.

（1）若道路PB與橋AB垂直，求道路PB的長;

（2）規(guī)劃要求下，P和Q中能否有一個點選在D處？并說明理由;

（3）略

【解析】本題第（1）問要求解道路PB的長度，根據(jù)已知條件，學(xué)生在垂直條件下可以聯(lián)想到直角三角形的勾股定理;第（2）問為判斷P，Q選址是否符合規(guī)劃要求，在適當(dāng)添加輔助線后，學(xué)生可以發(fā)現(xiàn)圖中包含較多的三角形，涉及知識點較多，學(xué)生可以對三角形的邊、角及性質(zhì)定理進行知識回憶，可得到如下圖的概念圖表征：

在該表征方式的作用下，學(xué)生可以在知識網(wǎng)絡(luò)中迅速找到與問題相關(guān)的知識點，進而確定解題策略。概念圖表征方式可以有效地提升學(xué)生的解題能力，增加解題思路與方法。

2.4圖式表征對數(shù)學(xué)應(yīng)用題的影響

在解決數(shù)學(xué)應(yīng)用題的過程中，借助圖式表征能夠加強學(xué)習(xí)者對問題情境及相關(guān)信息的理解。圖式推動了學(xué)生的信息加工，通過對新信息進行形象化精制，使之與其它信息（已有的知識、經(jīng)驗）相聯(lián)系，一方面在現(xiàn)實生活元素和學(xué)生原有知識結(jié)構(gòu)之間架起一座橋梁，另一方面又幫助學(xué)生用已有的認知結(jié)構(gòu)去同化、順應(yīng)新信息，使學(xué)生能更好地學(xué)會知識并活用遷移[13]。

內(nèi)外部表征在高考應(yīng)用題解決中發(fā)揮著重要作用，外部表征能夠幫助學(xué)生深入分析理解題目條件，進而為選擇合適的解題策略奠定基礎(chǔ);內(nèi)部表征可以幫助學(xué)生建立知識點間的聯(lián)系，深入領(lǐng)會知識點在實際問題中的運用。在應(yīng)用題教學(xué)過程中，教師可適當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生的表征取向，以增加解題思路和解題方法，進而選取最優(yōu)方法解題。

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準[M].北京：人民教育出版社，2017.

[2][3]胥興春，劉電芝.問題表征方式與數(shù)學(xué)問題解決的研究[J].心理科學(xué)進展，2002，（3）：264-269.

[4]Zhang J. The Nature of External Representations in Problem Solving[J]. Cognitive Science， 1997， 21（2）： 179-217.

[5][荷]弗賴登塔爾.作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)[M].陳昌平，唐瑞芬譯.上海：上海教育出版社，1995.

[6]喻平，連四清，武錫環(huán)，中國數(shù)學(xué)教育心理研究30年[M].北京：科學(xué)出版社，2011.

[7]劉增來. 構(gòu)建中學(xué)數(shù)學(xué)知識網(wǎng)絡(luò)的實踐研究[D].南京師范大學(xué)，2007.

[8][10]喻平，單墫.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心理的CPFS結(jié)構(gòu)理論[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2003（01）：12-16.

[9]羅新兵，羅增儒.數(shù)學(xué)概念表征的初步研究[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2003（02）：21-23.

[11]李和平，李峻峰，彭芳.概念圖及其在知識表征中的應(yīng)用[J].南昌高專學(xué)報，2006（03）：8-10+13.

[12]王兄.概念圖評價應(yīng)用分析[J].上海教育科研，2006（06）：64-66.

[13]盛力群.學(xué)與教的新方式[M].杭州：浙江大學(xué)出版社，2007.

課題立項：

本文是華南師范大學(xué)創(chuàng)新訓(xùn)練項目《心理機制對高中數(shù)學(xué)解題影響的實證研究》編號20190403的階段性研究成果。