許生友

在平面直角坐標(biāo)系中，常常會(huì)遇到與圓有關(guān)的動(dòng)態(tài)題目，解決這類問題需要把圓的有關(guān)性質(zhì)與點(diǎn)的坐標(biāo)相結(jié)合，綜合利用直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、圓的性質(zhì)以及三角形、四邊形等有關(guān)知識(shí)，“以靜制動(dòng)”達(dá)到解題目的. 現(xiàn)分類介紹如下.

一、確定最大值

例1（2019·湖北·鄂州）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，已知C（3，4），以點(diǎn)C為圓心的圓與y軸相切. 點(diǎn)A，B在x軸上，且OA = OB，點(diǎn)P為⊙C上的動(dòng)點(diǎn)，∠APB = 90°，則AB長(zhǎng)度的最大值為 .

解析：如圖2，連接OC并延長(zhǎng)，交⊙C于點(diǎn)P，以O(shè)為圓心，以O(shè)P為半徑作⊙O，交x軸于A，B，此時(shí)AB的長(zhǎng)度最大.

∵C（3，4），∴OC = [32+42] = 5.

∵以點(diǎn)C為圓心的圓與y軸相切，∴⊙C的半徑為3，∴OP = 8.

∵∠APB = 90°，∴AB是直徑，∴AB長(zhǎng)度的最大值為16. 故填16.

點(diǎn)評(píng)：找到OP的最大值是解題的關(guān)鍵.

二、求點(diǎn)的坐標(biāo)

例2（2019·山東·菏澤）如圖3，直線y = [-34]x - 3交x軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)B，點(diǎn)P是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，以點(diǎn)P為圓心，以1個(gè)單位長(zhǎng)度為半徑作⊙P，當(dāng)⊙P與直線AB相切時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)是 .

解析：∵直線y = [-34]x - 3交x軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)B，

∴令x = 0，得y = -3，令y = 0，得x = -4，

∴A（-4，0），B（0，-3），∴OA = 4，OB = 3，∴AB = 5.

如圖4，設(shè)⊙P與直線AB相切于D，連接PD，則PD⊥AB，PD = 1.

∵∠ADP = ∠AOB = 90°，∠PAD = ∠BAO，

∴△APD ∽△ABO，∴[PDOB=APAB]，∴[13=AP5]，∴AP = [53].

∵OA = 4，∴OP = [73]或OP = [173]，

∴P [-73? 0]或[-173? 0].

故填[-73? 0]或[-173? 0].

點(diǎn)評(píng)：本題在求AP的長(zhǎng)度時(shí)，要注意點(diǎn)P的位置可能在點(diǎn)A的右側(cè)，也可能在點(diǎn)A的左側(cè)，故點(diǎn)P的坐標(biāo)有兩種可能.

三、推理證明

例3 已知，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，以P（1，1）為圓心的⊙P與x軸、y軸分別相切于點(diǎn)M和點(diǎn)N，點(diǎn)F從點(diǎn)M出發(fā)，沿x軸正方向以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，連接PF，過點(diǎn)P作PE⊥PF交y軸于點(diǎn)E，設(shè)點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t（t>0）秒.

（1）若點(diǎn)E在y軸的負(fù)半軸上（如圖5所示），求證：PE = PF.

（2）在點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)過程中，設(shè)OE = a，OF = b，試用含a的代數(shù)式表示b.

解析：由于M，N都是切點(diǎn)，若連接PM，PN，要證明PE = PF，只需證明△PMF ≌△PNE;在點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)t = 1時(shí)，點(diǎn)E與原點(diǎn)O重合;當(dāng)t>1時(shí)，點(diǎn)E在y軸的負(fù)半軸上;當(dāng)0< t < 1時(shí)，點(diǎn)E在y軸的正半軸上，再根據(jù)（1）問求解.

（1）證明：如圖6，連接PM，PN.

∵⊙P與x軸、y軸分別相切于點(diǎn)M和點(diǎn)N，

∴PM⊥MF，PN⊥ON且PM = PN = 1.

∴∠PMF = ∠PNE = 90°.

∵∠NOM = 90°，PE⊥PF，∴∠NPM = ∠EPF = 90°.

∴∠NPE = ∠MPF = 90° - ∠EPM. ∴△PMF ≌△PNE（ASA）.

∴PE = PF.

（2）解：分三種情況討論：

①當(dāng)t>1時(shí)，點(diǎn)E在y軸的負(fù)半軸上，如圖6所示，

由（1）得△PMF≌△PNE，∴NE = MF = 1 + a，

∵OF = OM + MF，∴b = 1 + （1 + a） = 2 + a;

②當(dāng)t = 1時(shí)，得MF = 1，△PMF是等腰直角三角形，如圖7所示，

∵PE⊥PF，∴∠EPM = ∠EPF - ∠MPF = 45°，

∴點(diǎn)E與原點(diǎn)O重合，∴a = 0，b = 2;

③當(dāng)0< t < 1時(shí)，點(diǎn)E在y軸的正半軸上，如圖8，

∵△PMF≌△PNE，∴MF = NE = 1 - a，

∴OF = OM + MF，∴b = 1 + （1 - a） = 2 - a.

綜上，b = [2-a? 2? ? 2+a.]

點(diǎn)評(píng)：本題第（2）問需分三種情況進(jìn)行討論，注意不要漏解.