王 峰，黃友能，何占元，徐田華， 唐 濤

(1.北京交通大學(xué) 電子信息學(xué)院，北京 100044；2. 朔黃鐵路發(fā)展有限責(zé)任公司，河北 滄州 062350；3. 北京交通大學(xué) 軌道交通控制與安全國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100044)

為滿足城市軌道交通運(yùn)營(yíng)效率不斷提升的需求，越來(lái)越多的城市軌道交通采用列車自動(dòng)運(yùn)行的方式。列車自動(dòng)運(yùn)行不僅能夠提高運(yùn)輸效率、降低司機(jī)勞動(dòng)強(qiáng)度，還可以減少由于人工誤操作對(duì)運(yùn)營(yíng)帶來(lái)的影響。列車自動(dòng)進(jìn)站停車是列車自動(dòng)運(yùn)行中的一個(gè)重要功能，而停車精度是列車在不影響運(yùn)營(yíng)安全的氣象條件下運(yùn)行時(shí)，衡量列車自動(dòng)進(jìn)站過(guò)程中，是否滿足執(zhí)行列車車門和屏蔽門正常聯(lián)動(dòng)功能的最重要的觸發(fā)條件。

目前，學(xué)者對(duì)城軌列車自動(dòng)停車精度(Train Parking Error, TPE)的研究可總結(jié)為以下兩個(gè)方面：一是列車自動(dòng)進(jìn)站停車算法，主要采用的控制算法有經(jīng)典控制算法、參數(shù)自適應(yīng)控制算法、智能控制算法、集成智能控制算法[1-3]，這些算法研究通常是從保證站間運(yùn)行時(shí)間、列車節(jié)能等角度開(kāi)展，但當(dāng)一條線路投入運(yùn)營(yíng)后，就不再調(diào)整算法。二是列車制動(dòng)閘瓦特性，城軌列車進(jìn)站停車過(guò)程中所需的制動(dòng)力，主要由電制動(dòng)提供，僅在速度低于3 km/h時(shí)才施加空氣制動(dòng)使列車停穩(wěn)。文獻(xiàn)[4-6]分析總結(jié)了國(guó)內(nèi)外閘瓦磨損規(guī)律和使用壽命，列車閘瓦的理論使用年限較長(zhǎng)，可達(dá)7～9年。

可以看出，在城軌線路投入運(yùn)營(yíng)后，列車自動(dòng)進(jìn)站停車算法通常不再調(diào)整。同時(shí)，從列車閘瓦理論使用年限來(lái)看，較長(zhǎng)時(shí)期內(nèi)不會(huì)更換閘瓦，但隨著列車運(yùn)行里程的增加，閘瓦的磨耗會(huì)導(dǎo)致列車制動(dòng)性能變化，影響到列車進(jìn)站停車算法中所依賴的參數(shù)，從而導(dǎo)致進(jìn)站停不準(zhǔn)的情況發(fā)生。目前，針對(duì)此類問(wèn)題，維護(hù)人員每日對(duì)車載設(shè)備記錄的自動(dòng)進(jìn)站停車數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，根據(jù)停車精度的偏移程度決定是否進(jìn)行維修調(diào)整，顯然這種方式效率較低、勞動(dòng)強(qiáng)度大。如果能夠預(yù)測(cè)列車自動(dòng)進(jìn)站停車精度的偏移情況，可指導(dǎo)維護(hù)人員依據(jù)其變化趨勢(shì)及時(shí)調(diào)整進(jìn)站停車算法中的參數(shù)配置，從而可以大大減少列車上線運(yùn)營(yíng)后由于停不準(zhǔn)引起的車門屏蔽門無(wú)法聯(lián)動(dòng)的問(wèn)題，對(duì)運(yùn)營(yíng)水平和維護(hù)效率的提高具有重要意義。

因此，本文提出一種停車精度預(yù)測(cè)方法，首先通過(guò)Weibull分布擬合各期停車精度的分布，進(jìn)而采用支持向量回歸(Support Vector Regression, SVR)模型對(duì)停車精度分布進(jìn)行預(yù)測(cè)，最后以北京地鐵某條線一列車的停車精度數(shù)據(jù)對(duì)提出的模型進(jìn)行仿真驗(yàn)證。

1 停車精度預(yù)測(cè)模型框架

圖1為停車精度預(yù)測(cè)的主要流程，主要包括以下幾個(gè)步驟：

Step1停車精度數(shù)據(jù)預(yù)處理。首先，給定歷史進(jìn)站停車精度數(shù)據(jù)庫(kù)后，依據(jù)現(xiàn)場(chǎng)維修需求，以單位時(shí)間均勻分割歷史數(shù)據(jù)為T期，每一期將作為一個(gè)分布樣本。

Step2擬合各期數(shù)據(jù)的分布。Weibull能夠表達(dá)多種分布，例如指數(shù)分布和正態(tài)分布等，具有很強(qiáng)的適應(yīng)性[7]，在工程領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。因此，采用Weibull分布對(duì)每一期數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，每一期將得到兩個(gè)分布參數(shù)的估計(jì)值，即尺度參數(shù)和形狀參數(shù)。對(duì)各期數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合后，得到兩個(gè)分布參數(shù)的時(shí)間序列，即有待構(gòu)建預(yù)測(cè)模型的兩個(gè)時(shí)間序列。

Step3預(yù)測(cè)模型的構(gòu)建與預(yù)測(cè)。在兩個(gè)時(shí)間序列基礎(chǔ)上，采用支持向量回歸算法分別構(gòu)建兩個(gè)時(shí)間序列預(yù)測(cè)模型，通過(guò)構(gòu)造的模型對(duì)下一期的分布情況進(jìn)行預(yù)測(cè)。

Step4分布的分析與應(yīng)用。通過(guò)分析下一期分布的參數(shù)和數(shù)字特征，如期望和方差等，可對(duì)下一期停車精度的情況作出評(píng)估，從而確定維修的必要性。

圖1 停車精度預(yù)測(cè)算法框架

2 停車精度分布構(gòu)造

Weibull 分布函數(shù)具有較好的適用性，在工程領(lǐng)域有著廣泛應(yīng)用[8]。因此，本文采用Weibull分布對(duì)停車精度數(shù)據(jù)進(jìn)行分布擬合。數(shù)據(jù)分期后，對(duì)各期停車精度分布數(shù)據(jù)進(jìn)行Weibull分布擬合，得到分布參數(shù)。

2.1 Weibull分布

假設(shè)隨機(jī)變量X服從Weibull分布(隨機(jī)變量的觀察值是每期數(shù)據(jù))，則X的概率密度函數(shù)為

( 1 )

分布函數(shù)為

( 2 )

式中：α>0 為尺度參數(shù)；β>0為形狀指數(shù)。其中，Weibull分布中兩個(gè)參數(shù)都與停車精度分布特征因子有關(guān)。α>0代表停車精度的分布的離散程度；β>0決定停車精度的偏度，是分析停車精度分布動(dòng)態(tài)的依據(jù)之一。

2.2 Weibull分布的參數(shù)估計(jì)

Weibull分布參數(shù)估計(jì)方法主要包括：最大似然估計(jì)法、矩估計(jì)法、線性回歸估計(jì)[9-10]。由于最大似然估計(jì)是一種簡(jiǎn)單有效的參數(shù)估計(jì)方法，本文采用最大似然法對(duì)Weibull分布的參數(shù)估計(jì)。

根據(jù)最大似然估計(jì)法，Weibull分布的最大似然函數(shù)可以表示為

L(x1,x2,…,xn;α,β)=

( 3 )

對(duì)上式兩邊取對(duì)數(shù)可得

lnL(x1,x2,…,xn;α,β)=

( 4 )

為求解上式的極大值，令?lnL/?α=0 和?lnL/?β=0，求解得到。即對(duì)以下二元一次方程組求解：

( 5 )

上述方程組可由數(shù)值解法求得參數(shù)α和β。

3 基于支持向量回歸的預(yù)測(cè)算法

支持向量回歸在很多領(lǐng)域已有廣泛的應(yīng)用，取得了良好的效果。為了對(duì)下一期停車精度分布進(jìn)行預(yù)測(cè)，以參數(shù)時(shí)間序列為基礎(chǔ)，采用支持向量回歸構(gòu)建其預(yù)測(cè)模型。

3.1 支持向量回歸原理

文獻(xiàn)[11]提出一種基于結(jié)構(gòu)風(fēng)險(xiǎn)最小化的統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)算法，稱為支持向量機(jī)(Support Vector Machine, SVM)。目前SVM已在很多領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用，除模式識(shí)別領(lǐng)域之外，有學(xué)者通過(guò)改變SVM的損失函數(shù)，將其構(gòu)造為一種可用于回歸分析的算法，稱為支持向量回歸[12-13]。

支持向量回歸的核心思想可表述為：給定數(shù)據(jù)樣本集(x1,y1),…,(xm,ym)。為實(shí)現(xiàn)線性可分，通過(guò)構(gòu)造一個(gè)非線性映射φ(·)將樣本特征空間x映射到高維特征空間F。新特征空間F線性回歸表示如下

f(x)=w·φ(x)+bφ:Rn→Fw∈F

( 6 )

式中：b為偏置；w為回歸系數(shù)向量。與傳統(tǒng)的統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)不同，SVR通過(guò)結(jié)構(gòu)風(fēng)險(xiǎn)最小化，來(lái)尋找一個(gè)合適的函數(shù)f。它能夠有效克服過(guò)擬合問(wèn)題，有良好的泛化能力。由于引入了ε-敏感損失函數(shù)，結(jié)構(gòu)風(fēng)險(xiǎn)最小化可以表述如下

( 7 )

式中：C為懲罰因子；m為樣本數(shù)目；Θε(f(xi),yi)為ε-敏感損失函數(shù)，數(shù)學(xué)描述如下

( 8 )

線性不可分時(shí)，上述優(yōu)化問(wèn)題將得不到最優(yōu)解。因此，引入松弛因子ξ和ξ*，來(lái)保證解的存在性。SVR的原問(wèn)題可看作一個(gè)二次規(guī)劃問(wèn)題，形式如下

s.t. (w·φ(xi)+b)-yi≤ε+ξi

( 9 )

依據(jù)拉格朗日乘子法和對(duì)偶理論，可求得上述優(yōu)化問(wèn)題的對(duì)偶問(wèn)題，表述如下

(10)

式中：K(xi,xj)為核函數(shù)，對(duì)偶問(wèn)題的結(jié)果依賴于核函數(shù)K(xi,xj)(i=1,2,…,l)和常數(shù)C。

核函數(shù)的不同決定了不同形式的SVR回歸模型。其中，常用的核函數(shù)有Sigmoid核函數(shù)、徑向基核函數(shù)(RBF)、線性核函數(shù)等。本文采用RBF構(gòu)建SVR模型為

K(x,xi)=exp(-γ‖x-xi‖2)

(11)

(12)

3.2 預(yù)測(cè)模型

算法1給出了預(yù)測(cè)模型構(gòu)造及預(yù)測(cè)的詳細(xì)步驟，以下進(jìn)行闡述：

首先，以時(shí)間間隔τ(根據(jù)現(xiàn)場(chǎng)維修需求調(diào)研得到)對(duì)停車精度數(shù)據(jù)集D進(jìn)行劃分，得到T期原始數(shù)據(jù)分組。然后，分別對(duì)T期數(shù)據(jù)的每一期進(jìn)行處理：構(gòu)造精度數(shù)據(jù)Dt的原始分布Xt；歸一化原始分布Xt后，得到分布Yt；對(duì)Yt進(jìn)行Weibull分布擬合，估計(jì)出t期分布的參數(shù)αt,βt，即尺度和形狀參數(shù)。重復(fù)以上步驟，得到了各期Weibull分布的參數(shù)時(shí)間序列αt,βt,t=1,2,…,T。

在此基礎(chǔ)上，分割參數(shù)時(shí)間序列為訓(xùn)練序列αtrain,βtrain和測(cè)試序列αtest,βtest，并對(duì)SVR模型進(jìn)行訓(xùn)練得到預(yù)測(cè)模型Mα,Mβ。在預(yù)測(cè)階段，基于前幾期的參數(shù)序列，對(duì)下一期的分布參數(shù)進(jìn)行預(yù)測(cè)，得到下一期的分布參數(shù)αp,βp；最后，可構(gòu)造出下一時(shí)期的停車精度分布，在反歸一化后計(jì)算得到下一時(shí)期精度分布的分布特征，期望和方差；以此對(duì)列車的停車狀況進(jìn)行分析。

圖2 停車精度預(yù)測(cè)算法步驟

算法1: 基于Weibull分布和SVR的停車精度預(yù)測(cè)

輸入變量：停車精度數(shù)據(jù)D，數(shù)據(jù)劃分時(shí)間間隔τ。

中間變量：各期精度數(shù)據(jù)Dt；原始分布Xt；歸一化后的分布Yt；參數(shù)時(shí)間序列αt,βt,t=1,2,…,T；訓(xùn)練序列αtrain,βtrain和測(cè)試序列αtest,βtest。

輸出結(jié)果：參數(shù)時(shí)間序列的預(yù)測(cè)模型Mα,Mβ。

(1)Dt←各期精度數(shù)據(jù)：按照時(shí)間間隔τ對(duì)停車精度數(shù)據(jù)D進(jìn)行劃分。

(2)fort=1,2,…,Tdo

(3)Xt← 原始分布：通過(guò)經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)構(gòu)造方法對(duì)各期精度數(shù)據(jù)Dt進(jìn)行分布構(gòu)造。

(4)Yt← 歸一化分布：對(duì)原始分布Xt進(jìn)行歸一化操作，將分布值映射到[0,1]之間。

(5)αt,βt← Weibull分布參數(shù)：通過(guò)對(duì)Yt進(jìn)行Weibull分布擬合，估計(jì)出各期分布的分布參數(shù)。

(6)end for

(7)αt,βt← 參數(shù)時(shí)間序列：由兩個(gè)參數(shù)按各期時(shí)間順序排列構(gòu)成。

(8)αtrain,βtrain和αtest,βtest←訓(xùn)練序列和測(cè)試序列：由兩個(gè)參數(shù)時(shí)間序列分割成得到。

(9)Mα,Mβ← 預(yù)測(cè)模型：由訓(xùn)練序列αtrain,βtrain作為SVR模型輸入，通過(guò)訓(xùn)練得到。

(10)αp,βp← 預(yù)測(cè)結(jié)果：通過(guò)將待測(cè)時(shí)間序列分別輸入對(duì)應(yīng)預(yù)測(cè)模型預(yù)測(cè)得到。

(11)Ynext← 通過(guò)預(yù)測(cè)得到的分布參數(shù)構(gòu)造出下一時(shí)期的分布。

(12)最后，對(duì)預(yù)測(cè)得到的分布進(jìn)行反歸一化并分析，如分布的期望和方差分析，進(jìn)而給出列車停車狀況的評(píng)估。

3.3 預(yù)測(cè)模型性能評(píng)價(jià)指標(biāo)

3.3.1 統(tǒng)計(jì)指標(biāo)

常用的預(yù)測(cè)模型的評(píng)價(jià)指標(biāo)有：平均相對(duì)誤差A(yù)RE和均方根誤差RMSE等[14]。因此，本文采用這兩種指標(biāo)對(duì)預(yù)測(cè)模型效果進(jìn)行評(píng)價(jià)

(13)

(14)

3.3.2 分布相似性度量指標(biāo)

為度量預(yù)測(cè)分布和真實(shí)分布的相似性，引入分布距離指標(biāo)，然后基于分布距離構(gòu)造相似性指標(biāo)。這里采用常用的Hellinger距離(以下簡(jiǎn)稱H-距離)。H-距離是一種度量分布差異性的距離指標(biāo)[15-16]。它的定義可表述為，給定兩個(gè)離散概率分布P=[p1p2…pn]和Q=[q1q2…qn]，這兩個(gè)分布的H-距離為

(15)

為了將分布差異性轉(zhuǎn)化為分布相似性，定義基于H-距離的分布相似性為

DS(P,Q)=1-H(P,Q)

(16)

若H(P,Q)越大，則分布P和Q的差異性越大。假設(shè)分布P和Q分別代表預(yù)測(cè)分布和真實(shí)分布，則DS(P,Q)值越大，表示預(yù)測(cè)分布越接近真實(shí)分布。

4 實(shí)驗(yàn)分析

本文采用北京地鐵某條線一列車三年來(lái)的自動(dòng)進(jìn)站停車精度數(shù)據(jù)，以間隔大于一年的兩期分布數(shù)據(jù)為例說(shuō)明停車精度變化情況。由圖3可以看出，t+10期后的停車精度分布有向左偏移的趨勢(shì)；無(wú)論是停車精度分布的峰值(位置參數(shù)相關(guān))還是分布跨度(尺度因子相關(guān))，都有一定量的變化。

圖3 停車精度經(jīng)驗(yàn)分布的變化趨勢(shì)

4.1 仿真分析

針對(duì)北京地鐵某條線一列車自動(dòng)停車精度統(tǒng)計(jì)值進(jìn)行Weibull分布參數(shù)估計(jì),得到的結(jié)果見(jiàn)表1(依據(jù)經(jīng)驗(yàn)，時(shí)間間隔τ取30 d)。

表1 停車精度Weibull分布參數(shù)

通過(guò)Weibull分布對(duì)8期停車精度數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合得到圖4(橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)分別為精度值和其概率密度值(pdf))?？梢钥闯?，從第t期到第t+7期的停車精度分布整體逐漸左移，且離散性變大。

圖5 尺度參數(shù)的實(shí)際值和預(yù)測(cè)值比較

4.2 預(yù)測(cè)結(jié)果

圖5和圖6分別是尺度參數(shù)時(shí)間序列α和形狀參數(shù)時(shí)間序列β的預(yù)測(cè)結(jié)果?？梢钥闯?，提出的預(yù)測(cè)模型能夠捕捉尺度參數(shù)和形狀參數(shù)的變化趨勢(shì)，準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)未來(lái)時(shí)期參數(shù)值。圖7通過(guò)對(duì)比預(yù)測(cè)參數(shù)下的精度分布和真實(shí)分布，定性地展示了預(yù)測(cè)的效果?？梢钥闯?，停車精度分布的預(yù)測(cè)效果(歸一化后)能夠和原始各期分布基本吻合。

圖6 形狀參數(shù)的實(shí)際值和預(yù)測(cè)值比較

圖7 停車精度預(yù)測(cè)分布和真實(shí)分布對(duì)比

表2從統(tǒng)計(jì)角度，通過(guò)RMSE和ARE指標(biāo)評(píng)估了預(yù)測(cè)模型的表現(xiàn)效果，RMSE<0.09，兩個(gè)參數(shù)時(shí)間序列的預(yù)測(cè)效果較好，從而驗(yàn)證了預(yù)測(cè)模型的有效性。

表2 預(yù)測(cè)結(jié)果的統(tǒng)計(jì)指標(biāo)評(píng)價(jià)

圖8從分布相似性的角度(反歸一化后的預(yù)測(cè)結(jié)果與真實(shí)分布)給出了定量度量，預(yù)測(cè)分布和真實(shí)分布相似性的均值為0.953 3，驗(yàn)證了提出算法的有效性。

圖8 預(yù)測(cè)分布和真實(shí)分布的相似性度量

5 結(jié)束語(yǔ)

本文通過(guò)對(duì)各期列車自動(dòng)進(jìn)站停車精度數(shù)據(jù)進(jìn)行Weibull分布擬合，來(lái)描述各期列車自動(dòng)停車的狀態(tài)。進(jìn)而，取各期Weibull分布的特征參數(shù)，即尺度參數(shù)和形狀參數(shù)，來(lái)構(gòu)造兩個(gè)特征時(shí)間序列。在此基礎(chǔ)上進(jìn)行SVR模型訓(xùn)練，得到兩個(gè)預(yù)測(cè)模型。采用預(yù)測(cè)模型對(duì)新一期的停車精度的兩個(gè)特征參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，從而得到新一期的列車自動(dòng)停車精度的分布情況。通過(guò)北京地鐵某條線一列車自動(dòng)進(jìn)站停車精度數(shù)據(jù)的驗(yàn)證分析，說(shuō)明了本文提出的停車精度預(yù)測(cè)方法的有效性和準(zhǔn)確性。