一、填空題(本大題共14小題，每小題5分，計70分)

1.已知集合A={-1,1,2,3},B={x|x∈R,x2<3}, 則A∩B=______.

2.復數(a+i)(1+2i)是純虛數(i是虛數單位),則實數a=______.

3.某算法的偽代碼如圖所示,如果輸入的x值為32,則輸出的y值為______.

Readx

Ifx≤5 Then

y←x2

Else

y←log2x

End If

Printy

4.現有三張識字卡片,分別寫有“抗”、“疫”、“情”這三個字．將這三張卡片隨機排序,則能組成“抗役情”的概率是______.

6.已知一組數據3,6,9,8,4,則該組數據的方差是______.

8.將1個半徑為1的小鐵球與1個底面周長為2π,高為4的鐵制圓柱重新鍛造成一個大鐵球,則該大鐵球的表面積為______.

10.若正實數x,y滿足x2+2xy-1=0,則2x+y的最小值為______.

12.已知對任意x∈(-∞,1)∪(5,+∞),都有x2-2(a-2)x+a>0,則實數a的取值范圍是______.

13.在平面直角坐標系xOy中,圓C: (x+2)2+(y-m)2=3.若圓C存在以G為中點的弦AB,且AB=2GO, 則實數m的取值范圍是______.

14.在?ABC中,已知∠C=120°,tanA=3tanB, sinA=λsinB, 則實數λ=______.

二、解答題(本大題共6小題,共計90分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)

(1)求cosB的值;

(2)求CD的長.

16.(本小題滿分14分)如圖,在四棱錐P-ABCD中,PC⊥平面ABCD,AB∥CD,CD⊥AC,過CD的平面分別與PA,PB交于點E,F.

(1)求證:CD⊥平面PAC;

(2)求證:AB∥EF.

(1)若QF=2FP,求直線l的方程;

(2)設直線AP,BQ的斜率分別為k1,k2,是否存在常數λ,使得k1=λk2?若存在,求出λ的值;若不存在,請說明理由.

(1)求S關于θ的函數關系式,并求定義域;

(2)根據設計要求,透光區(qū)域與矩形窗面的面積比值越大越好.當該比值最大時,求邊AB的長度.

19.(本小題滿分16分)已知函數

f(x)=2 lnx-x2+ax(a∈R).

(1) 當a=2時,求f(x)的圖象在x=1處的切線方程;

(1) 求{an}，{bn}的通項公式:

附加題(本大題共4小題，每小題10分,計40分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)

22.(本小題滿分10分)在平面直角坐標系xOy中,點F(1,0),直線x=-1與動直線y=n的交點為M,線段MF的中垂線與動直線y=n的交點為P.

(1) 求動點P的軌跡E的方程；

(2) 過動點M作曲線E的兩條切線,切點分別為A,B,求證: ∠AMB的大小為定值.

(2) 求證:bn不能被5整除.

參考答案

一、填空題

二、解答題

cosB=cos[π-(A+∠ACB)]

=-cos(A+∠ACB)

=sinAsin∠ACB-cosAcos∠ACB

16.(1)∵PC⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，

∴CD⊥PC.

∵CD⊥AC,PC∩AC=C,∴CD⊥平面PAC.

(2)∵AB∥CD,∴CD∥平面PAB.

∵過CD的平面分別與PA,PB交于點E,F,

∴CD∥EF,從而AB∥EF.

17.(1)由a2=4,b2=3,得c=1.所以點F的坐標為(1,0).

設P(x1,y1),Q(x2,y2),直線l的方程為x=my+1,代入橢圓方程,得

(4+3m2)y2+6my-9=0,

由A(-2,0),B(2,0),P(x1,y1),Q(x2,y2),x1=my1+1,x2=my2+1,可得

18.(1)過點O作OH⊥FG于點H，則易知∠OFH=∠EOF=θ，并且OH=OFsinθ=sinθ,FH=OFcosθ=cosθ.所以

S=4S?OFH+4S扇形OEF

=sin 2θ+2θ.

19.(1)y=2x-1. (過程略)

綜上，實數a的取值范圍是(-∞, 2].

20.(1)由Sn=2an-2,Sn-1=2an-1-2,兩式相減，得an=2an-2an-1,則an=2an-1(n≥2).

由S1=2a1-2,得a1=2,故{an}是以2為首項,2為公比的等比數列,可得an=2n(n∈N*).

顯然有2n+n+1>2n-(n+1),則c2=7>c3=3>c4>…>1,即存在n=2,3,使得b7=c2,b3=c3.

綜上,滿足要求的bn為b3,b7.

附加題

所以， 矩陣A的特征值λ=4或-1.

22.(1) 依題意,MP為點P到直線x=-1的距離，且MP=PF.所以點P的軌跡是拋物線，其焦點為F(1,0),準線為x=-1.所以，曲線E的方程為y2=4x.

ky2-4y+4k+4n=0.

令Δ1=16-4k(4k+4n)=0,得

k2+kn-1=0.

(*)

由Δ2=n2+4>0,知方程(*)有不相等實根k1，k2.由k1k2=-1,得∠AMB=90°.(定值)