廖政斌, 王澤飛, 祝 珊

(1 湖北工業(yè)大學(xué)太陽(yáng)能高效利用及儲(chǔ)能運(yùn)行控制湖北省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖北 武漢 430068 2 國(guó)網(wǎng)湖北省咸寧市咸安區(qū)供電公司，湖北 咸寧 437000)

在交流伺服系統(tǒng)中，機(jī)械傳動(dòng)裝置被用來(lái)將電機(jī)的力矩傳遞給負(fù)載，以實(shí)現(xiàn)負(fù)載跟隨電機(jī)同步轉(zhuǎn)動(dòng)。在實(shí)際工程應(yīng)用中，機(jī)械傳動(dòng)裝置一般使用聯(lián)軸器、皮帶輪、滾珠絲杠等[1-2]，而這些傳動(dòng)機(jī)構(gòu)剛性較差，為柔性傳動(dòng)機(jī)構(gòu)，傳動(dòng)效果沒(méi)有剛性機(jī)構(gòu)理想，通常會(huì)在系統(tǒng)中引發(fā)機(jī)械諧振。針對(duì)交流伺服系統(tǒng)諧振抑制，文獻(xiàn)[3]提出極點(diǎn)配置法，通過(guò)對(duì)極點(diǎn)進(jìn)行配置使系統(tǒng)的諧振頻率點(diǎn)和反諧振頻率點(diǎn)相互抵消來(lái)抑制系統(tǒng)諧振；文獻(xiàn)[4]提出轉(zhuǎn)速誤差補(bǔ)償法，通過(guò)設(shè)計(jì)狀態(tài)觀測(cè)器，觀測(cè)電機(jī)轉(zhuǎn)速并與電機(jī)反饋轉(zhuǎn)速作差，將得到的差值通過(guò)低通濾波器和高通濾波器處理后作為轉(zhuǎn)速補(bǔ)償，以此達(dá)到抑制系統(tǒng)諧振；文獻(xiàn)[5]提出負(fù)載轉(zhuǎn)矩觀測(cè)器，將負(fù)載轉(zhuǎn)矩觀測(cè)值反饋到系統(tǒng)中，相當(dāng)于改變電機(jī)轉(zhuǎn)子側(cè)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，尋找合適的負(fù)載慣量比來(lái)達(dá)到抑制諧振的作用；這兩種方法對(duì)系統(tǒng)參數(shù)有一定要求。因此采用自適應(yīng)陷波濾波器對(duì)系統(tǒng)諧振頻率點(diǎn)的幅值進(jìn)行抑制，并針對(duì)相位滯后的問(wèn)題采用一種相位補(bǔ)償?shù)姆椒p小相位后，提高系統(tǒng)帶寬頻率，改善系統(tǒng)的響應(yīng)速度。

1 交流伺服系統(tǒng)諧振產(chǎn)生原理

1.1 交流伺服系統(tǒng)二慣量模型建立

伺服系統(tǒng)由伺服電機(jī)、慣性負(fù)載和傳動(dòng)軸組成。在實(shí)際應(yīng)用中，電機(jī)與負(fù)載間的傳動(dòng)軸并非總是剛性連接，系統(tǒng)中存在一定的非線(xiàn)性因素，考慮到彈性連接對(duì)系統(tǒng)的性能影響，將此時(shí)的機(jī)械系統(tǒng)等價(jià)于二慣性系統(tǒng)。圖1為二慣性系統(tǒng)的簡(jiǎn)化模型[6-7]。

圖1 二慣量系統(tǒng)機(jī)械模型

圖1中Tm為電機(jī)電磁轉(zhuǎn)矩，Tl為負(fù)載轉(zhuǎn)矩，ωm為電機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，ωl為負(fù)載的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，Ks為傳動(dòng)軸的耦合剛度系數(shù)，Bm為電機(jī)側(cè)阻尼系數(shù)，Bl為負(fù)載側(cè)阻尼系數(shù)，Ts為傳動(dòng)軸的扭轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)矩，Jm為電機(jī)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，Jl為負(fù)載的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

根據(jù)力學(xué)平衡關(guān)系，可以建立系統(tǒng)的微分方程組如下：

(1)

式(1)中，Ts為傳動(dòng)軸形變扭矩，θm為電機(jī)轉(zhuǎn)軸的位置，θl為負(fù)載轉(zhuǎn)軸的位置。

對(duì)于簡(jiǎn)化的二慣量系統(tǒng)，根據(jù)系統(tǒng)的微分方程組可以畫(huà)出系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)框圖[8](圖2)。

圖2 二慣量系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖

根據(jù)圖2可以推導(dǎo)出電機(jī)轉(zhuǎn)速ωm和負(fù)載轉(zhuǎn)速ωl到電磁轉(zhuǎn)矩Tm間的傳遞函數(shù)，傳遞函數(shù)如下：

(2)

(3)

系統(tǒng)中的阻尼系數(shù)很小，可以忽略不計(jì)，所以式(2)和式(3)中的Bl=Bm=0?？傻茫?/p>

從而可以得到考慮彈性傳動(dòng)裝置的電流環(huán)和轉(zhuǎn)速環(huán)雙環(huán)閉環(huán)控制系統(tǒng)框圖(圖3)。

圖3 轉(zhuǎn)速環(huán)系統(tǒng)控制框圖

圖中外環(huán)為轉(zhuǎn)速環(huán)，對(duì)電機(jī)轉(zhuǎn)速ωm進(jìn)行閉環(huán)控制。ASR為轉(zhuǎn)速環(huán)PI調(diào)節(jié)器，調(diào)節(jié)器輸出為電流指令；ACR為電流環(huán)調(diào)節(jié)器，輸出為電壓指令；Ks為逆變器的比例系數(shù)；Ts為時(shí)間常數(shù)。

1.2 機(jī)械諧振的產(chǎn)生原因

式(2)、(3)傳遞函數(shù)左邊項(xiàng)可以視為一個(gè)慣性環(huán)節(jié)，右邊項(xiàng)可以視為一個(gè)二階振蕩環(huán)節(jié)，也是引起系統(tǒng)振蕩的原因。

對(duì)比式(2)和式(3)可以發(fā)現(xiàn)其振蕩環(huán)節(jié)的不同，式(2)中的傳遞函數(shù)包含了一對(duì)共軛極點(diǎn)和一對(duì)共軛零點(diǎn)；式(3)中的傳遞函數(shù)中存在一對(duì)共軛極點(diǎn)。正是由于彈性負(fù)載接入系統(tǒng)后引入了共軛零極點(diǎn)，才對(duì)電機(jī)和負(fù)載的轉(zhuǎn)速響應(yīng)有嚴(yán)重的影響，給控制帶來(lái)了麻煩。所以抑制伺服系統(tǒng)諧振的關(guān)鍵在于將共軛零極點(diǎn)的影響降到最低[8]。

由上式可以得出二慣量系統(tǒng)的反諧振頻率ωar和諧振頻率ωr分別為：

其中R=Jl/Jm，R為負(fù)載慣量比。由式(3)可知負(fù)載慣量比與電機(jī)和負(fù)載的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量有關(guān)，諧振頻率ωr與傳動(dòng)軸的剛度系數(shù)和負(fù)載慣量比有關(guān)，減小慣量比R，使諧振頻率和反諧振頻率更加接近，有利于二慣量系統(tǒng)的諧振抑制。電機(jī)與負(fù)載側(cè)的諧振方程bode圖見(jiàn)圖4。

圖4 諧振方程bode圖

分析圖4，從幅頻特性可以看出系統(tǒng)在諧振頻率處的幅值增益最大，而在反諧振頻率處的幅值增益最小，有明顯的波峰和波谷。在諧振頻率處高增益的幅值會(huì)降低系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度，所以需要抑制諧振處的峰值。

2 機(jī)械諧振在線(xiàn)抑制及相位補(bǔ)償

由上文分析可知，二慣量系統(tǒng)的機(jī)械諧振發(fā)生在特定的頻率點(diǎn)上。在該頻率點(diǎn)上，系統(tǒng)的幅值增益會(huì)迅速上升出現(xiàn)一個(gè)峰值，為了抑制系統(tǒng)的諧振，則需在該頻率點(diǎn)處減小系統(tǒng)幅值[9]。本文采取自適應(yīng)陷波濾波器對(duì)機(jī)械諧振頻率進(jìn)行補(bǔ)償，抑制諧振的產(chǎn)生。

2.1 陷波濾波器設(shè)計(jì)

本文使用一種二階IIR陷波器設(shè)計(jì)方法，該陷波器的傳遞函數(shù)如下：

該陷波器形式簡(jiǎn)單，參數(shù)少，只有ρ和α兩個(gè)參數(shù)。參數(shù)α決定陷波頻率α=-2cos(ω0)；參數(shù)ρ決定陷波器衰減帶寬BW=(1-ρ)π，ω0(rad)為歸一化的陷波頻率；BW(rad)為3dB的衰減帶寬；ρ(0<ρ<1)越接近1，陷波器的衰減帶寬就越窄，并且其陷波深度也越小。這兩個(gè)參數(shù)之間沒(méi)有耦合，互不影響。

圖5 陷波濾波器的頻率響應(yīng)

圖5可以看出，只在陷波頻率點(diǎn)上的幅值頻率特性出現(xiàn)衰減，且在陷波頻率點(diǎn)處的相位出現(xiàn)滯后；陷波濾波器的帶寬越寬，引起的相位滯后越大，系統(tǒng)的響應(yīng)越慢。

2.2 諧振點(diǎn)辨識(shí)

由上分析可知，陷波濾波器的設(shè)計(jì)需要知道系統(tǒng)的諧振頻率點(diǎn)，本文采用按頻率抽取法快速傅里葉變換，通過(guò)蝶形算法原理完成信號(hào)的分析，得到系統(tǒng)的頻率特性，從而可知系統(tǒng)的諧振頻率點(diǎn)[10]。具體方法如下：

圖6 蝶形算法運(yùn)算單元

對(duì)于有限長(zhǎng)非周期序列x[n]，序列x[n]與其傅里葉頻譜X[k]的關(guān)系如下：

由此得到單個(gè)快速傅里葉變換運(yùn)算單元表達(dá)式為：

快速傅里葉運(yùn)算的結(jié)果為信號(hào)序列x[n]的頻譜X[k]，但此時(shí)的頻譜序列需要倒序排列放置，根據(jù)香農(nóng)采樣定理，如果信號(hào)的頻譜最高頻率為fmax，為了保證頻譜分析結(jié)果不發(fā)生頻譜混疊，采樣頻率fs應(yīng)大于最高頻率fmax的2倍，變換后的頻譜X[k]點(diǎn)數(shù)為N，則X0至X[N/2]表示[0,fs/2]頻率區(qū)間內(nèi)的信號(hào)離散頻譜。其中幅值增益最大對(duì)應(yīng)的頻率點(diǎn)為系統(tǒng)的諧振頻率點(diǎn)。

加入諧振點(diǎn)在線(xiàn)檢測(cè)和陷波濾波器環(huán)節(jié)后，交流伺服系統(tǒng)的控制框圖見(jiàn)圖7。

圖7 自適應(yīng)陷波濾波器抑制系統(tǒng)諧振框圖

圖7中，對(duì)轉(zhuǎn)速誤差進(jìn)行快速傅里葉分析(FFT)得到系統(tǒng)的頻譜圖，在系統(tǒng)頻譜圖中找出系統(tǒng)的諧振頻率點(diǎn)，再將陷波濾波器串聯(lián)到速度環(huán)中，對(duì)速度調(diào)節(jié)器輸出的電流進(jìn)行濾波處理，抑制電流波動(dòng)，進(jìn)而對(duì)電磁轉(zhuǎn)矩產(chǎn)生抑制，從而達(dá)到抑制系統(tǒng)諧振的效果。

2.3 相位滯后補(bǔ)償原理

由于陷波濾波器的串入會(huì)給系統(tǒng)帶來(lái)相位的滯后，為解決這一問(wèn)題，本文考慮使用一種對(duì)速度指令重構(gòu)的方法(圖8)。

圖8 相位滯后補(bǔ)償轉(zhuǎn)速環(huán)控制框圖

圖8中的虛線(xiàn)框內(nèi)為相位滯后補(bǔ)償方法，通過(guò)加入一個(gè)補(bǔ)償環(huán)節(jié)，補(bǔ)償系數(shù)Kcpm，微分通過(guò)補(bǔ)償系數(shù)環(huán)節(jié)起作用，使得系統(tǒng)在瞬態(tài)過(guò)程加快速度響應(yīng)；而在穩(wěn)態(tài)過(guò)程中，由于微分不起作用，補(bǔ)償系數(shù)也失去了作用。為保證補(bǔ)償前后的速度給定無(wú)靜差，因此補(bǔ)償系數(shù)需滿(mǎn)足一定的條件。

由上式可知，速度誤差由陷波濾波器的參數(shù)決定。k1為陷波濾波器的陷波寬度；k2為陷波濾波器的陷波深度；ω0為陷波頻率。在系統(tǒng)穩(wěn)定狀態(tài)下，即s=0，為保證速度誤差為0，可得下式：

3 仿真實(shí)驗(yàn)

3.1 諧振抑制仿真結(jié)果

在Matlab/Simulink軟件中，對(duì)永磁同步電機(jī)伺服系統(tǒng)進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)電機(jī)參數(shù)：電機(jī)額定電流為6 A；額定轉(zhuǎn)速為2000 r/min；額定轉(zhuǎn)矩為5 N·m；定子電阻為3.15 Ω、定子電感為0.0085 H；定子磁鏈為0.175 Wb；電機(jī)極對(duì)數(shù)為4對(duì)極、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為0.008 kg·m2；傳動(dòng)軸的彈性系數(shù)為50 N·m/rad；負(fù)載慣量為0.0008 kg·m2。

系統(tǒng)給定速度是周期為2 s, 幅值為1000 r/min的方波信號(hào)，在2.1 s時(shí)刻陷波濾波器起作用。得到波形見(jiàn)圖9。

圖9 系統(tǒng)諧振抑制仿真

圖9a為電機(jī)側(cè)轉(zhuǎn)速響應(yīng)圖，在2.1 s時(shí)刻加入陷波濾波器系統(tǒng)轉(zhuǎn)速會(huì)產(chǎn)生跳動(dòng)，隨后轉(zhuǎn)速波動(dòng)幅度減小直至平穩(wěn)；圖9b為負(fù)載側(cè)轉(zhuǎn)速響應(yīng)圖，由于系統(tǒng)諧振的存在，濾波前負(fù)載側(cè)轉(zhuǎn)速響應(yīng)波動(dòng)較大，處于非正常運(yùn)行狀態(tài)，2.1 s進(jìn)行濾波，負(fù)載側(cè)轉(zhuǎn)速波動(dòng)減小直至平穩(wěn)狀態(tài)；圖9c為電磁轉(zhuǎn)矩響應(yīng)圖，濾波后的電磁轉(zhuǎn)矩波動(dòng)明顯減小。圖9a和圖9b中可以看出濾波后的轉(zhuǎn)速響應(yīng)明顯變慢，速度環(huán)帶寬減小，嚴(yán)重影響系統(tǒng)的快速性；圖9d為陷波前后轉(zhuǎn)速誤差的頻譜圖，可以看出諧振點(diǎn)頻率為42 Hz，陷波前的諧振點(diǎn)幅值達(dá)到789 dB，經(jīng)過(guò)陷波濾波后諧振點(diǎn)幅值降至78 dB。

3.2 相位補(bǔ)償仿真結(jié)果

在Simulink中，速度給定為1個(gè)周期幅值為1000 r/min的方波信號(hào)，在電機(jī)啟動(dòng)時(shí)刻陷波濾波器開(kāi)始作用。圖10為使用陷波濾波器帶來(lái)系統(tǒng)相位滯后的補(bǔ)償前后轉(zhuǎn)速波形圖。

圖10 相位補(bǔ)償后系統(tǒng)諧振抑制仿真

由圖10可知，加入相位補(bǔ)償環(huán)節(jié)后不僅對(duì)系統(tǒng)諧振有抑制作用，而且改進(jìn)后的方法比單純使用陷波濾波器的相位滯后小，改善了系統(tǒng)的帶寬頻率，提高了其響應(yīng)速度；改進(jìn)后的轉(zhuǎn)速響應(yīng)均提升了0.9 s左右。

以上仿真是從時(shí)域的角度分析系統(tǒng)相位滯后補(bǔ)償問(wèn)題，從頻域的角度分析系統(tǒng)相位滯后，可以通過(guò)分析系統(tǒng)的閉環(huán)截止頻率大小，閉環(huán)截止頻率越大,系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)速度越快。向系統(tǒng)轉(zhuǎn)速給定幅值一定的正弦激勵(lì)，通過(guò)改變激勵(lì)的頻率，直至幅值衰減為最大值的0.707倍，此時(shí)激勵(lì)的頻率為系統(tǒng)電流環(huán)的帶寬頻率(亦稱(chēng)截止頻率)。

在Simulink仿真軟件中，速度輸入幅值為1A的正弦激勵(lì)，通過(guò)改變激勵(lì)的頻率分別得到剛性系統(tǒng)、二慣量系統(tǒng)、加入自適應(yīng)陷波濾波器的二慣量系統(tǒng)及相位補(bǔ)償后系統(tǒng)的帶寬頻率如圖11。

圖11 不同系統(tǒng)下的激勵(lì)與響應(yīng)

圖11的a、b、c、d中轉(zhuǎn)速輸入正弦激勵(lì)的頻率分別為722 Hz、627 Hz、557 Hz、589 Hz，可知?jiǎng)傂韵到y(tǒng)的帶寬最大，系統(tǒng)響應(yīng)最快；二慣量系統(tǒng)次之；加入陷波濾波器后的二慣量系統(tǒng)帶寬有所下降；經(jīng)過(guò)相位補(bǔ)償后的系統(tǒng)帶寬在原有的基礎(chǔ)上有一定的增加。

4 結(jié)論

筆者對(duì)包含彈性裝置的伺服驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)進(jìn)行研究，分析了系統(tǒng)諧振產(chǎn)生的原理及其對(duì)系統(tǒng)帶來(lái)的影響。介紹了一種自適應(yīng)陷波濾波器的設(shè)計(jì)原理，通過(guò)設(shè)計(jì)合理的陷波濾波器對(duì)系統(tǒng)諧振進(jìn)行抑制。仿真試驗(yàn)表明，陷波濾波器能有效地抑制系統(tǒng)的機(jī)械諧振，但同時(shí)會(huì)給系統(tǒng)帶來(lái)相位滯后的問(wèn)題。針對(duì)該問(wèn)題，采用一種相位補(bǔ)償?shù)姆椒?，有效的減小了系統(tǒng)相位滯后，提高系統(tǒng)的帶寬，改善系統(tǒng)響應(yīng)速度，并通過(guò)仿真驗(yàn)證了其有效性。