蔣守成

教材作為教學(xué)權(quán)威、穩(wěn)定、直接、系統(tǒng)的課程資源，為學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動提供了主要內(nèi)容、基本線索和知識結(jié)構(gòu)，也承載著數(shù)學(xué)課程改革的基本理念和具體要求?；诮滩牡闹黝}拓展教學(xué)就是從教材出發(fā)，以主題為驅(qū)動力，通過超級鏈接，不斷拓展關(guān)聯(lián)的未知領(lǐng)域，增長學(xué)生的見識，構(gòu)成新體系，形成新見解。這一過程充分調(diào)動學(xué)生的認(rèn)知能力和思維能力，促進(jìn)學(xué)生把分散的、零碎的知識系統(tǒng)起來，培養(yǎng)結(jié)構(gòu)化的思維方式，提升學(xué)習(xí)能力。

一、如何確定主題

根據(jù)教學(xué)進(jìn)程，依據(jù)學(xué)生年齡特點(diǎn)和已有的生活經(jīng)驗，師生共同確定主題，選擇素材，教師據(jù)此規(guī)劃教學(xué)進(jìn)程。一個主題可以聚焦于一個核心內(nèi)容，但其內(nèi)容要有典型性和擴(kuò)張力。例如，學(xué)完《十進(jìn)制》后，以《五進(jìn)制》為主題，讓學(xué)生明白一個數(shù)量可以用不同的進(jìn)制系統(tǒng)來表示，雖然呈現(xiàn)的樣式不同但數(shù)量是不變的。一個主題也可以聚焦于一個專題進(jìn)行研究，將幾個相關(guān)聯(lián)、有層次的素材組合成有機(jī)的整體。例如，學(xué)完《因數(shù)和倍數(shù)》后，以《有趣的數(shù)學(xué)猜想》為主題，將小學(xué)生能懂的三個數(shù)學(xué)猜想進(jìn)行有序組合，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)猜想的完整過程，感受數(shù)學(xué)理性的魅力。

二、如何把握主題拓展的三個“度”

主題拓展教學(xué)是基于主題對知識內(nèi)在結(jié)構(gòu)的逐層深化的學(xué)習(xí)，本質(zhì)是促進(jìn)學(xué)生高階思維能力的發(fā)展。

1．達(dá)成知識學(xué)習(xí)的充分廣度。

充分的廣度與知識產(chǎn)生的背景相關(guān)，與知識對人生成的意義相關(guān)，與個體經(jīng)驗相關(guān)。一個主題的拓展能夠讓學(xué)生明晰問題的來龍去脈，明白“是什么”“為什么”“還可以怎么做”。像這樣抓住了問題的核心，才能真正解決問題。就一節(jié)課而言，拓展的廣度由其教學(xué)目標(biāo)和學(xué)生可能達(dá)到的水平?jīng)Q定；就某一主題而言，可以說是無限的，倡導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行無邊界學(xué)習(xí)。

2．達(dá)成知識學(xué)習(xí)的充分深度。

充分深度與知識所表達(dá)的內(nèi)在思想、認(rèn)知方式和具體的思維邏輯相關(guān)。具體地說，主題拓展倡導(dǎo)的深度，不是單純增加知識數(shù)量與難度，最佳的深度應(yīng)當(dāng)是學(xué)生的自學(xué)水平與教師、同伴幫助下能夠達(dá)成的學(xué)習(xí)水平之間的落差，應(yīng)為學(xué)生提供帶有挑戰(zhàn)性的主題學(xué)習(xí)內(nèi)容，創(chuàng)造學(xué)生主動思考的事件，發(fā)揮師生“學(xué)習(xí)共同體”的潛能，在過程中逐層深化。

3．達(dá)成知識學(xué)習(xí)的充分關(guān)聯(lián)度。

充分關(guān)聯(lián)度是指知識學(xué)習(xí)指向與多維度地理解知識的豐富內(nèi)涵及其與文化、想象、經(jīng)驗的內(nèi)在聯(lián)系。主題拓展的關(guān)聯(lián)度就是要通過主題幫助學(xué)生打通數(shù)學(xué)學(xué)科知識的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，打通數(shù)學(xué)與其他學(xué)科之間的關(guān)聯(lián)，打通數(shù)學(xué)世界與生活世界的關(guān)聯(lián)，促進(jìn)學(xué)生自我構(gòu)建數(shù)學(xué)主題系統(tǒng)。

三、如何基于教材進(jìn)行主題拓展教學(xué)

主題拓展教學(xué)不是簡單地增加知識點(diǎn)，也不是簡單地增加教學(xué)時間，而是在數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)時間總量不變的前提下，以培養(yǎng)學(xué)科關(guān)鍵能力為目標(biāo)，依據(jù)學(xué)生認(rèn)知規(guī)律和知識發(fā)展規(guī)律，基于主題優(yōu)化整合教材內(nèi)容，將教材呈碎片化的知識串成“知識鏈”，引導(dǎo)學(xué)生從系統(tǒng)上把握知識點(diǎn)，并逐步將知識內(nèi)化，形成學(xué)習(xí)能力，發(fā)展核心素養(yǎng)。

1.以核心知識為主題整合教材：知識建構(gòu)。

學(xué)生學(xué)習(xí)過的知識有些是碎片化的，有些是圍繞某一主題相互聯(lián)系起來形成一定的知識單元存在的。數(shù)學(xué)家華羅庚說：“找另一條線索把舊的東西重新貫穿起來，這也是一種很好的學(xué)習(xí)方法?！蔽覀兏鶕?jù)知識點(diǎn)之間的內(nèi)在聯(lián)系和前后課時知識間的內(nèi)在邏輯關(guān)系，以核心知識為主題整合教材內(nèi)容，將“碎片”納入主題結(jié)構(gòu)，減少知識點(diǎn)之間的跳躍性與重復(fù)性，幫助學(xué)生探究知識的來龍去脈，“串珠成線”，促進(jìn)學(xué)生“編織”屬于自己的知識結(jié)構(gòu)。

例如，學(xué)習(xí)《圓》這一單元后，教師都有這樣的經(jīng)驗，學(xué)生對圓相關(guān)問題正確率很高，但對半圓相關(guān)問題反復(fù)練習(xí)多遍，錯誤率仍然居高不下，究其原因是學(xué)生對這類數(shù)學(xué)問題的核心知識并沒有真正理解。為此，我們設(shè)計了主題拓展課《半圓》，以貫通圓、半圓、扇形之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)。

活動一：在操作中明晰概念。

師：請同學(xué)們畫一個半徑為2厘米的半圓，說一說它有什么特征。（半圓是由一條直徑和半圓弧組成的圖形，它是特殊的扇形，具有扇形所有的特征。）

活動二：在研究中形成方法。

師：請同學(xué)們求出你畫的半圓的周長和面積，并說一說求的方法。（形成半圓的周長、面積的一般方法，同時學(xué)生在比較中發(fā)現(xiàn)內(nèi)在的區(qū)別。）

延展探究一：半個半圓（也就是四分之一圓）的周長和面積（特殊的扇形）；

延展探究二：八分之一圓的周長和面積（特殊的扇形）；

延展探究三：扇形的周長和面積。

活動三：在解決問題中鞏固。

研究長方形和最大的半圓的關(guān)系。在一個長是a、寬是b的長方形中畫一個最大的半圓，它的周長和面積取決于這個長方形的長還是寬？

活動四：在實踐中運(yùn)用。

解決跑道、窗戶、圍半圓形養(yǎng)雞場的相關(guān)實際問題。

以核心知識為主題進(jìn)行拓展，展現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)樣態(tài)，有力地拓寬學(xué)生的認(rèn)知視界，讓學(xué)生站在系統(tǒng)的角度明晰聯(lián)系、關(guān)注區(qū)別，促進(jìn)學(xué)生系統(tǒng)化、結(jié)構(gòu)化的思維方式的形成。這一類基于核心知識的主題拓展教學(xué)我們進(jìn)行了很多實踐，例如：以《錢生錢》為主題，涉及利息、納稅、促銷等理財知識；以《四邊形》為主題揭示了四邊形的共性和個性。

2.以典型習(xí)題為主題貫通教材：習(xí)得方法。

學(xué)生在獲取一類數(shù)學(xué)知識的時候經(jīng)常采用相同的學(xué)習(xí)方法，因此，我們以典型習(xí)題為主題幫助學(xué)生從“碎”到“統(tǒng)”，增強(qiáng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的整體意識，從整體上對某一類問題進(jìn)行分析，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，深化對知識本質(zhì)的理解，并領(lǐng)悟一些基本的數(shù)學(xué)思想方法。

例如，人教版小學(xué)數(shù)學(xué)一年級下冊第73頁有一道“*”號題。

在解決這個問題時，有的學(xué)生嘗試得到結(jié)論，有的學(xué)生通過分析發(fā)現(xiàn)未知數(shù)與已知的兩個數(shù)的差有關(guān)，然后再嘗試得出結(jié)論。知識的背后缺乏有效的方法，知識可能成為沉重的負(fù)擔(dān)，因此需要我們幫助學(xué)生理解其中的算理，構(gòu)建這一類題的數(shù)學(xué)模型，形成一般的思想方法。

人教版小學(xué)數(shù)學(xué)一年級下冊第68頁“練習(xí)十五”中安排了一道與其相關(guān)聯(lián)的思考題，它們本質(zhì)上是一樣的方法模型。思考題的數(shù)學(xué)化表達(dá)：芳芳-3=平平+3，也可以用畫圖法讓學(xué)生進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)：芳芳給平平3枚郵票，兩人的郵票就一樣多了，也就是“芳芳比平平多2個3枚”。

于是我從思考題出發(fā)將這兩個問題進(jìn)行貫通，設(shè)計了《怎樣分同樣多》一課，創(chuàng)設(shè)問題情境，緊扣問題層層展開，在情境中學(xué)生明白要分的同樣多就要把多出的部分分成相等的兩份，一份給自己，一份給他人。這樣步步深入，在畫圖中明晰算理，在具體問題解決中積累方法經(jīng)驗。學(xué)生掌握了解決問題的方法，自主學(xué)習(xí)才有了可能，在以后的學(xué)習(xí)中遇到相似的問題，比如和差問題、差倍問題，就不再需要依賴教師，通過獨(dú)立思考，就能輕松將問題解決了。

3.以《經(jīng)典問題》為主題深化教材：提升能力。

基礎(chǔ)知識貴在求聯(lián)，關(guān)鍵的能力貴在求通，我們以《經(jīng)典問題》為主題，通過拓展融合不同版本教材、古今中外主題資源來優(yōu)化教材結(jié)構(gòu)，打破課時、單元、年段的邊界，讓學(xué)生在認(rèn)知活動不斷發(fā)展和深入的過程中，觸類旁通，提升解決問題的能力。

例如，“鋪地錦”是明代的一種乘法計算方法。教材“你知道嗎”欄目中涉及了這一經(jīng)典問題。對乘法計算無論是教師還是學(xué)生總有一些固有的認(rèn)識，例如：計算乘法要按規(guī)范寫豎式、數(shù)位要對齊、要從低位算起，但對于形成這樣的算法背后的算理缺乏本質(zhì)的思考。所以，我以《鋪地錦》為主題，以人教版的“格子乘法”，北師大版的“臺灣豎式”“古印度豎式”“畫線法”，還有古代的籌算為素材，讓學(xué)生從鋪地錦出發(fā)，經(jīng)歷乘法計算的再創(chuàng)造過程。

再創(chuàng)造的過程也是對乘法計算方法歷史演變過程的深刻體驗，學(xué)生可以感受到乘法計算方法隨著歷史一步一步演變到今天，經(jīng)歷了一個不斷優(yōu)化的過程。這一過程帶給學(xué)生三方面的收獲：一是打破學(xué)生對乘法計算的固有認(rèn)知，原來計算不僅可以從高位，還可以從低位，還可以用畫線等不同方法進(jìn)行計算，在經(jīng)過比較推理的過程中明白乘法不一樣的記錄形式和計算方法，感受到算法的多樣化和計算法則的流程化；二是在各種計算方法的對比中，讓學(xué)生體會到雖然算法不同，但背后的算理是相通的，都可以用算理來貫通算法，體會到算理的統(tǒng)一化，提升了學(xué)生對運(yùn)算方法本質(zhì)的理解；三是由乘法計算引發(fā)對加法、減法和除法計算方法的思考和探究，例如“加減法一定要從低位算起嗎”“除法一定要從高位算起嗎”等問題，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)方法背后更有意義的算理的價值，全面提升學(xué)生的運(yùn)算能力。

基于教材進(jìn)行主題拓展教學(xué)，除了以上三種方式，我們還可以這樣設(shè)置探究主題，例如，以教材“你知道嗎”等欄目為主題，打通數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)在的關(guān)聯(lián)；以探究實踐為主題，打通數(shù)學(xué)與其他學(xué)科之間的關(guān)聯(lián)；以生活現(xiàn)實為主題，打通數(shù)學(xué)世界和現(xiàn)實世界的關(guān)聯(lián)。