張 真 真

(江蘇大學(xué)京江學(xué)院，212013，江蘇，鎮(zhèn)江)

0 引言

多尺度的耦合效應(yīng)，廣泛存在于工程實(shí)際中，如化工系統(tǒng)BZ反應(yīng)中反應(yīng)物的消耗速率不同[1]、旋轉(zhuǎn)機(jī)械中存在低頻周期激勵(lì)或參數(shù)激勵(lì)與系統(tǒng)自然頻率的耦合[2]、神經(jīng)系統(tǒng)中的簇放電現(xiàn)象[3]和生物系統(tǒng)中捕食-食餌模型[4]等。多尺度系統(tǒng)的響應(yīng)中往往會(huì)出現(xiàn)大振幅振蕩與小振幅振蕩的交替，這種現(xiàn)象叫做簇發(fā)振蕩或者混合模式振蕩[5]。通常，大振幅振蕩表現(xiàn)為軌跡在大振幅極限環(huán)向量場中的運(yùn)動(dòng)[6]，這種運(yùn)動(dòng)形式可以稱為激發(fā)態(tài)運(yùn)動(dòng)。小振幅振蕩表現(xiàn)為軌跡在平衡點(diǎn)吸引域或小振幅極限環(huán)向量場內(nèi)的運(yùn)動(dòng)[7]，這種運(yùn)動(dòng)形式叫做沉寂態(tài)運(yùn)動(dòng)。在激發(fā)態(tài)和沉寂態(tài)交替轉(zhuǎn)遷過程中，一般存在2種重要的分岔形式[8]，一種分岔使得系統(tǒng)由激發(fā)態(tài)進(jìn)入沉寂態(tài)，另一種分岔使得系統(tǒng)由沉寂態(tài)進(jìn)入激發(fā)態(tài)。基于這2種分岔形式，Izhkevich[9]提出了一種較為直觀且被廣泛接受的簇發(fā)振蕩分類方法。

根據(jù)多尺度系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型中耦合形式的不同，多尺度系統(tǒng)通?？梢苑譃?類：第1種是時(shí)域上的耦合，無量綱模型表現(xiàn)為系統(tǒng)受到小參數(shù)擾動(dòng)；第2種是頻域上的耦合，數(shù)學(xué)模型表現(xiàn)為系統(tǒng)存在不同變化頻率的相互作用；第3種是時(shí)域和頻域的組合，模型上表現(xiàn)為小參數(shù)擾動(dòng)和不同變化頻率的耦合。低頻外激或參激作用下的非線性系統(tǒng)是一類典型的頻域多尺度系統(tǒng)，具有廣泛的科學(xué)和工程背景[10-12]，引起了國內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注，尤其是針對(duì)簇發(fā)振蕩的研究。如陳章耀[13]等人研究了周期激勵(lì)作用下廣義Chua電路的簇發(fā)振蕩現(xiàn)象，給出了兩類典型對(duì)稱周期簇發(fā)的動(dòng)力學(xué)機(jī)制。韓青爽[14]等人分析了周期激勵(lì)作用下水輪機(jī)調(diào)節(jié)系統(tǒng)的簇發(fā)振蕩行為，并給出了簇發(fā)行為隨激勵(lì)振幅的動(dòng)力學(xué)演化。侯靜玉[15]等人給出了周期激勵(lì)作用下分?jǐn)?shù)階Belousov-Zhabotinsky化學(xué)反應(yīng)的穩(wěn)定性和快慢行為機(jī)理。Simo和Woafo[16]揭示了雙勢阱Duffing振子在外周期強(qiáng)迫激勵(lì)下的簇發(fā)振蕩行為。Kovacic and Lenci[17]發(fā)現(xiàn)一類純非線性振蕩器在低角激勵(lì)作用下，系統(tǒng)響應(yīng)表現(xiàn)為簇發(fā)振蕩，這種振蕩是由慢流行附近的快速振蕩引起的。

目前的研究大都是針對(duì)余維-1分岔展開的，并且Izhkevich[9]已經(jīng)給出了低維光滑系統(tǒng)與余維-1分岔相關(guān)的所有簇發(fā)類型，但對(duì)于分岔滯后(慢通過效應(yīng))等特殊行為誘發(fā)的簇發(fā)行為成果較少。分岔滯后最早見于Baer[18]等的工作，他們發(fā)現(xiàn)如果控制參數(shù)為線性時(shí)變參數(shù)，當(dāng)控制參數(shù)變化穿越超臨界Hopf分岔點(diǎn)時(shí)，系統(tǒng)軌跡不會(huì)立刻從穩(wěn)定平衡點(diǎn)的吸引域進(jìn)入穩(wěn)定極限環(huán)的向量場，而是仍然沿著平衡點(diǎn)繼續(xù)運(yùn)動(dòng)一段時(shí)間，然后才進(jìn)入穩(wěn)定極限環(huán)，這種現(xiàn)象就稱為分岔滯后，或者稱為記憶效應(yīng)或慢通過效應(yīng)。分岔滯后可以產(chǎn)生非常有趣的簇發(fā)振蕩類型，如馬新東[19]等研究了一類由叉形分岔(pitchfork分岔)滯后誘發(fā)的混沌簇發(fā)行為；韓修靜[20]等發(fā)現(xiàn)了一種由叉形分岔滯后和邊界危機(jī)共同作用引起的混沌簇發(fā)振蕩。以上成果的研究對(duì)象都是參數(shù)激勵(lì)，對(duì)于系統(tǒng)受外部周期激勵(lì)的情況很少涉及，或者就用慢通過效應(yīng)代替，沒有深入研究。本文針對(duì)改進(jìn)型van der Pol-Duffing系統(tǒng)在低頻激勵(lì)下的一類由Hopf分岔滯后引起的簇發(fā)振蕩，應(yīng)用穩(wěn)定性和分岔理論，結(jié)合數(shù)值模擬和快慢分析法，揭示了該簇發(fā)行為的產(chǎn)生機(jī)理及隨控制參數(shù)變化的動(dòng)力學(xué)演化。周期激勵(lì)下的van der Pol-Duffing系統(tǒng)的數(shù)學(xué)表達(dá)式是

(1)

式中：參數(shù)a>0，b>0，c>0，d是任意實(shí)數(shù)，f是激勵(lì)振幅，ω為激勵(lì)頻率且滿足0<ω?1，即外激勵(lì)頻率與系統(tǒng)自然頻率ω0之間存在量級(jí)差異。由于0<ω?1，在周期T內(nèi)，激勵(lì)fcosωt變化非常緩慢，因此可將fcosωt視為慢變參數(shù)δ，方程(1)轉(zhuǎn)化為廣義自治方程

(2)

本文旨在探討周期激勵(lì)下系統(tǒng)的不同簇發(fā)振蕩形式。重點(diǎn)是研究一類由Hopf分岔滯后誘發(fā)的簇發(fā)振蕩產(chǎn)生機(jī)制。本文的組織結(jié)構(gòu)如下，在第1節(jié)中，給出了方程(2)的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性，分析了平衡點(diǎn)的分岔類型及其臨界條件；第2節(jié)通過選擇合適的參數(shù)，應(yīng)用轉(zhuǎn)換相圖和分岔圖的疊加等手段，揭示了由亞臨界Hopf分岔滯后誘發(fā)的簇發(fā)振蕩機(jī)理；第3節(jié)研究了激勵(lì)振幅和頻率對(duì)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)行為的影響，給出了分岔滯后簇發(fā)行為隨參數(shù)變化的動(dòng)力學(xué)演化；最后，總結(jié)全文。

1 系統(tǒng)的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性

另一方面，在平衡點(diǎn)E0(x0,0,x0)處對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行線性化，可以得到雅克比矩陣

(3)

Fold分岔：當(dāng)a3=0時(shí)，方程(2)的3個(gè)平衡點(diǎn)退化為一個(gè)平衡點(diǎn)，并且特征方程出現(xiàn)零根，這表明系統(tǒng)會(huì)出現(xiàn)fold分岔，響應(yīng)在不同平衡點(diǎn)吸引域之間切換時(shí)有跳躍現(xiàn)象產(chǎn)生。

以參數(shù)c=10，d=0.1，a=2，b=9，f=2，ω=0.005為例，系統(tǒng)關(guān)于δ=2cos0.005t的單參數(shù)分岔圖見圖1所示。當(dāng)δLPC2=-0.456<δ<δLPC1=0.456時(shí)，存在穩(wěn)定的同宿極限環(huán)LC1，LC1和不穩(wěn)定的極限環(huán)LC2和LC3在極限環(huán)的fold分岔點(diǎn)LPC1和LPC2處碰撞消失，在分岔的兩側(cè)只存在穩(wěn)定的平衡點(diǎn)E+和E-。穩(wěn)定的平衡點(diǎn)E+和E-經(jīng)由亞臨界Hopf分岔subH1和subH2(δsubH1,2=±0.167)失穩(wěn)。軌跡在2個(gè)fold分岔點(diǎn)LP1和LP2(δLP1,2=±0.125)處產(chǎn)生跳躍現(xiàn)象。

subH1、subH2表示亞臨界Hopf分岔；LPC1(+,-)和LPC2(+,-)表示極限環(huán)的fold分岔；LP1、LP2表示fold分岔；實(shí)線表示穩(wěn)定的極限環(huán)LC1；虛線表示不穩(wěn)定的極限環(huán)LC2和LC3；點(diǎn)劃線表示不穩(wěn)定的平衡點(diǎn)；劃線表示鞍點(diǎn)

2 Delayed subHopf-fold/fold cycle簇發(fā)振蕩

基于c=10，d=0.1，a=2，b=9，f=2，ω=0.005時(shí)的系統(tǒng)穩(wěn)定性和分岔，下面討論在該組參數(shù)條件下的簇發(fā)振蕩行為，對(duì)應(yīng)的相圖和時(shí)間歷程如圖2所示。很明顯，系統(tǒng)軌跡在2個(gè)平衡點(diǎn)和2個(gè)極限環(huán)之間轉(zhuǎn)換。

(a)相圖

這種動(dòng)力學(xué)行為的產(chǎn)生機(jī)制可以通過將轉(zhuǎn)換相圖疊加到分岔圖上進(jìn)行分析，如圖3所示。假設(shè)系統(tǒng)軌跡從慢變量δ的最大值2開始出發(fā)，此時(shí)系統(tǒng)處在穩(wěn)定平衡點(diǎn)E+的吸引域內(nèi)，表現(xiàn)為沉積態(tài)運(yùn)動(dòng)。當(dāng)δ減小至δ=0.167時(shí)， 亞臨界Hopf分岔subH1出現(xiàn)，穩(wěn)定平衡點(diǎn)E+失穩(wěn)，但從圖3可以看到，系統(tǒng)軌跡并沒有立刻轉(zhuǎn)到穩(wěn)定極限環(huán)E+的向量場中運(yùn)動(dòng)，而是繼續(xù)沿著不穩(wěn)定平衡點(diǎn)E+運(yùn)動(dòng)一段時(shí)間，這就是由亞臨界Hopf分岔滯后導(dǎo)致的。當(dāng)δ減小到δ=0.167時(shí)，分岔滯后消失，同時(shí)可以看到fold分岔LP1出現(xiàn)，LP1使軌跡躍遷到下支上運(yùn)動(dòng)，分岔滯后點(diǎn)出現(xiàn)使得軌跡進(jìn)入穩(wěn)定極限環(huán)LC1中運(yùn)動(dòng)，對(duì)應(yīng)著激發(fā)態(tài)運(yùn)動(dòng)。然后軌跡一直處在激發(fā)態(tài)運(yùn)動(dòng)中，直到LPC2出現(xiàn)，使得穩(wěn)定極限環(huán)LC1和不穩(wěn)定極限環(huán)LC3碰撞消失，此時(shí)穩(wěn)定的吸引子只剩下平衡點(diǎn)E-，軌跡就沿著平衡點(diǎn)E-運(yùn)動(dòng)直到δ減小至其最小值-2，完成半個(gè)周期運(yùn)動(dòng)。另外半個(gè)周期運(yùn)動(dòng)與前半個(gè)周期運(yùn)動(dòng)類似，這里不再贅述。

圖3 分岔圖與轉(zhuǎn)換相圖的疊加

這里出現(xiàn)了一個(gè)非常有趣的現(xiàn)象，就是在fold分岔點(diǎn)LP1或LP2出現(xiàn)的時(shí)候，亞臨界分岔滯后點(diǎn)subH1和subH2也同時(shí)出現(xiàn)，這就是使得軌跡在上支和下支之間跳躍的同時(shí)，也使軌跡進(jìn)入穩(wěn)定極限環(huán)。這表明在fold分岔點(diǎn)LP1或LP2處，存在2種分岔形式，一種是fold分岔，另一種是分岔滯后。以往的研究只是考慮了分岔滯后會(huì)產(chǎn)生在不同的參數(shù)區(qū)域，對(duì)應(yīng)不同的簇發(fā)振蕩模式，而本文的研究表明分岔滯后可以與另一種分岔同時(shí)出現(xiàn)，即余維-2分岔。所以根據(jù)Izhikevich對(duì)簇發(fā)的分類方法，這種簇發(fā)類型可以定義為delayed subHopf-fold/fold cycle簇發(fā)振蕩。delayed subHopf-fold表示這2種分岔出現(xiàn)在同一點(diǎn)，且在這一點(diǎn)處激發(fā)態(tài)運(yùn)動(dòng)開始，fold cycle表示激發(fā)態(tài)運(yùn)動(dòng)結(jié)束于極限環(huán)的fold分岔(LPC分岔)。

3 delayed subHopf-fold/fold cycle簇發(fā)振蕩的動(dòng)力學(xué)轉(zhuǎn)遷

上面給出了delayed subHopf-fold/fold cycle簇發(fā)行為的產(chǎn)生機(jī)制，下面研究這種簇發(fā)振蕩隨參數(shù)變化的動(dòng)力學(xué)轉(zhuǎn)遷機(jī)制。

3.1 兩參數(shù)分岔圖

圖4給出了當(dāng)c=10，d=0.1，a=2，b=9，ω=0.005時(shí)，系統(tǒng)關(guān)于參數(shù)b和δ的兩參數(shù)分岔圖。整個(gè)參數(shù)平面可以分為7個(gè)部分，其中左右兩部分關(guān)于區(qū)域4是對(duì)稱的。

在區(qū)域1和區(qū)域7內(nèi)，存在穩(wěn)定的平衡點(diǎn)E+和E-。當(dāng)參數(shù)穿越極限環(huán)的fold分岔曲線LPC1和LPC2進(jìn)入?yún)^(qū)域2和6后，E+和E-繼續(xù)保持穩(wěn)定，同時(shí)在2和6內(nèi)存在2個(gè)穩(wěn)定的極限環(huán)，因此區(qū)域2和6是雙穩(wěn)態(tài)區(qū)域。當(dāng)參數(shù)穿越亞臨界Hopf分岔曲線subHopf1和subHopf2進(jìn)入?yún)^(qū)域3和5后，E+和E-失穩(wěn)，變?yōu)椴环€(wěn)定的平衡點(diǎn)，此時(shí)區(qū)域3和5內(nèi)的穩(wěn)定吸引子是2個(gè)穩(wěn)定的極限環(huán)。當(dāng)參數(shù)變化穿越fold分岔曲線Fold1和Fold2后，2個(gè)穩(wěn)定的極限環(huán)繼續(xù)存在，同時(shí)4區(qū)域出現(xiàn)不穩(wěn)定的鞍點(diǎn)。

圖4 兩參數(shù)分岔圖

圖5 不同動(dòng)力學(xué)行為對(duì)應(yīng)的區(qū)域

根據(jù)分岔曲線穿越區(qū)域和亞臨界Hopf分岔曲線與fold分岔曲線距離的不同，大致可以將整個(gè)區(qū)域分為3個(gè)部分，如圖5所示。在區(qū)域C處，系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為主要受到2個(gè)fold分岔的影響。在區(qū)域B處，由于fold分岔曲線和亞臨界Hopf分岔曲線距離很近，fold-subHopf余維-2分岔出現(xiàn)，系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為表現(xiàn)為delayed subHopf-fold/fold cycle簇發(fā)振蕩。在區(qū)域A內(nèi)，fold分岔曲線和亞臨界Hopf分岔曲線距離較遠(yuǎn)，不會(huì)出現(xiàn)fold-subHopf余維-2分岔，系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為與余維-1分岔有關(guān)。

delayed subHopf-fold/fold cycle簇發(fā)振蕩是區(qū)域B中的典型動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象，它隨參數(shù)b的變化有2個(gè)轉(zhuǎn)遷方向，一是由B進(jìn)入A，另一種是由B進(jìn)入C。下面分別討論這2種情況對(duì)應(yīng)的動(dòng)力學(xué)轉(zhuǎn)遷。

3.2 delayed subHopf/fold cycle簇發(fā)振蕩

區(qū)域A內(nèi)參數(shù)b的取值不會(huì)影響動(dòng)力學(xué)行為的本質(zhì)特性，因此選擇參數(shù)b=1為例，系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為如圖6所示，軌跡同樣在2個(gè)穩(wěn)定平衡點(diǎn)和穩(wěn)定極限環(huán)之間轉(zhuǎn)遷。

這種動(dòng)力學(xué)行為的動(dòng)力學(xué)機(jī)制仍然可以通過分岔圖和轉(zhuǎn)換相圖的疊加進(jìn)行揭示，如圖7所示。假設(shè)軌跡仍然從δ的最大值2對(duì)應(yīng)的位置開始往右運(yùn)動(dòng)，此時(shí)穩(wěn)定的吸引子是E+，因此軌跡沿著E+的向量場以近乎直線的方式運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)subH1。在點(diǎn)subH1處亞臨界Hopf分岔出現(xiàn)，E+失穩(wěn)，從圖7(b)中清楚地發(fā)現(xiàn)，軌跡仍然沿著不穩(wěn)定E+運(yùn)動(dòng)了一段時(shí)間，然后才轉(zhuǎn)到穩(wěn)定極限環(huán)LC1中運(yùn)動(dòng)，這仍是分岔滯后引起的。當(dāng)分岔滯后點(diǎn)出現(xiàn)后，軌跡在LC1中很自然地從上支運(yùn)動(dòng)到了下支，沒有經(jīng)過fold分岔點(diǎn)LP1。當(dāng)δ減小到δsubH2時(shí)，不穩(wěn)定的平衡點(diǎn)E-變得穩(wěn)定，同時(shí)產(chǎn)生一個(gè)不穩(wěn)定的極限環(huán)LC3，但此時(shí)軌跡仍處在LC1中。隨著δ減小到δLPC2，穩(wěn)定的極限環(huán)LC1和不穩(wěn)定的極限環(huán)LC3碰撞消失，此時(shí)穩(wěn)定的吸引子只剩下E-，軌跡也就轉(zhuǎn)到E-的吸引域內(nèi)運(yùn)動(dòng)，直至δ減小到其最小值-2，完成半個(gè)周期運(yùn)動(dòng)，另外半個(gè)周期運(yùn)動(dòng)與前面的分析一致。

(a) (x,y)平面內(nèi)的相圖

(a)分岔圖與轉(zhuǎn)換相圖的疊加

這種簇發(fā)模式可以定義為“delayed subHopf/fold cycle”簇發(fā)振蕩。因?yàn)榧ぐl(fā)態(tài)運(yùn)動(dòng)開始于亞臨界Hopf分岔滯后，結(jié)束于極限環(huán)的fold分岔。分岔圖中雖然有fold分岔LP1和LP2，但軌跡沒有通過這2個(gè)fold分岔點(diǎn)在上支和下支之間轉(zhuǎn)換。

3.3 fold/fold簇發(fā)振蕩

當(dāng)參數(shù)b=12時(shí)，系統(tǒng)的相圖和時(shí)間歷程如圖8所示，可以發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)軌跡是在2個(gè)穩(wěn)定平衡點(diǎn)之間轉(zhuǎn)遷的。

(a)相圖

這種動(dòng)力學(xué)行為的產(chǎn)生機(jī)制可以通過圖9所示的疊加圖進(jìn)行揭示。仍假設(shè)軌跡從δ的最大值2處開始運(yùn)動(dòng)，此時(shí)的穩(wěn)定吸引子是E+，軌跡就沿著E+的向量場作光滑曲線運(yùn)動(dòng)直到fold分岔點(diǎn)LP1產(chǎn)生。LP1使軌跡從上支跳躍到下支運(yùn)動(dòng)，伴隨著振幅逐漸減小的高頻振蕩，之后軌跡趨近于穩(wěn)定平衡點(diǎn)E-的向量場對(duì)應(yīng)的平滑曲線，直到δ的最小值-2。

圖9 b=12時(shí)分岔圖與轉(zhuǎn)換相圖的疊加

由于軌跡是通過2個(gè)fold分岔點(diǎn)在2個(gè)穩(wěn)定平衡點(diǎn)E+和E-之間切換的，激發(fā)態(tài)運(yùn)動(dòng)對(duì)應(yīng)的是從上支跳躍到下支或下支跳躍到上支時(shí)的振幅逐漸減小的高頻振蕩，因此這種簇發(fā)模式稱為“fold/fold”簇發(fā)振蕩或者“fold/fold”滯后環(huán)，這是一種非常常見的簇發(fā)形式。

4 結(jié)論

研究了低頻周期激勵(lì)下van der Pol-Duffing系統(tǒng)的簇發(fā)動(dòng)力學(xué)行為，揭示了分岔滯后在簇發(fā)行為中的作用以及一類由Hopf分岔滯后誘發(fā)的余維-2簇發(fā)振蕩的產(chǎn)生機(jī)制，即delayed subHopf-fold/fold cycle簇發(fā)振蕩。研究表明，亞臨界Hopf分岔滯后使系統(tǒng)出現(xiàn)余維-2分岔的特征，即在fold分岔出現(xiàn)的時(shí)候，分岔滯后點(diǎn)同時(shí)出現(xiàn)，這就使得軌跡產(chǎn)生跳躍現(xiàn)象的時(shí)候，同時(shí)進(jìn)入穩(wěn)定極限環(huán)吸引域運(yùn)動(dòng)。這種現(xiàn)象可以用(δ,b)雙參數(shù)分岔圖清晰揭示，在fold分岔出現(xiàn)的時(shí)候，在該點(diǎn)鄰域內(nèi)亞臨界Hopf分岔產(chǎn)生。此外，探討了delayed subHopf-fold/fold cycle簇發(fā)振蕩隨參數(shù)b變化的動(dòng)力學(xué)轉(zhuǎn)遷機(jī)制。研究表明，隨著b減小，亞臨界Hopf分岔滯后點(diǎn)不會(huì)與fold分岔同時(shí)出現(xiàn)，系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為表現(xiàn)為delayed subHopf/fold cycle簇發(fā)振蕩。隨著b增大，亞臨界Hopf分岔滯后現(xiàn)象不再出現(xiàn)，系統(tǒng)的行為只與fold分岔有關(guān)，即fold/fold簇發(fā)振蕩。