張樹(shù)義，聶 輝

(渤海大學(xué)數(shù)理學(xué)院，遼寧 錦州 121013)

1 預(yù)備知識(shí)

關(guān)于在概率度量空間建立不動(dòng)點(diǎn)定理文獻(xiàn)[1-8]做過(guò)研究，其中文獻(xiàn)[6]在概率n-度量空間中建立了一類映象的不動(dòng)點(diǎn)定理.本文在非阿基米德Menger概率n-度量空間中建立一類新的映象對(duì)公共不動(dòng)點(diǎn)的存在性定理，改進(jìn)和推廣了文獻(xiàn)[1，7]中的相應(yīng)結(jié)果.

定義1[1]映象f：=(-，+)→+=[0，+)稱為分布函數(shù)，如果它是不減的、左連續(xù)的，

(ⅰ)Fp(0)=0；

(ⅱ)對(duì)任意n個(gè)相異的x1，x2，…，xn∈X，存在y∈X，t0>0，使得0≤Fp1(t0)<1，p1=(x0，x1，…，xn，y)；

(ⅲ)Fp(t)=H(t)?p=(x0，x1，x2，…，xn)的坐標(biāo)x0，x1，x2，…，xn中至少有兩個(gè)相等；

(ⅳ)Fx0，x1，x2，…，xn=Fx1，x0，x2，…，xn=…=Fx1，x2，…，xn，x0；

則稱(X，F(xiàn))為概率n-度量空間.

定義3[6]映象Δ：∏[0，1]→[0，1]稱為三角范數(shù)(簡(jiǎn)稱t-范數(shù))，如果滿足以下條件：

(ⅰ)Δ(0，0，…，0)=0；?a∈[0，1]，Δ(a，1，1，…，1)=a；

(ⅱ)Δ(a0，a1，a2，…，an)=Δ(a1，a0，a2，…，an)=…=Δ(a1，a2，…，an，a0)；

(ⅳ)Δ(Δ(a0，a1，a2，…，an)，b1，b2，…，bn)=(Δ(a0，Δ(a1，a2，…，an，b1)，b2，…，bn)=…=Δ(a0，a1，a2，…，an-1，Δ(an，b1，b2，…，bn)).

注1幾種常用三角范數(shù)：?ai∈[0，1]，i=0，1，2，…，n.

2)Δ2(a0，a1，a2，…，an)=a0·a1·a2·…·an；

3)Δ3(a0，a1，a2，…，an)=min{a0，a1，a2，…，an}.

定義4[6]如果(X，F(xiàn))是概率n-度量空間，Δ是t-范數(shù)且滿足廣義Menger三角不等式：

?p=(x0，x1，x2，…，xn)∈∏X，?y∈X，?ti∈+，i=0，1，2，…，n，則稱(X，F(xiàn)，Δ)為Menger概率n-度量空間.

(Ⅰ)若對(duì)?ε>0，存在M=M(ε)，當(dāng)m≥M時(shí)，有Fxm，x，a1，…，an-1(ε)=1，?ai∈X，i=1，2，…，n-1，則稱序列{xm}收斂于x∈X.

(Ⅱ)若對(duì)?ε>0，存在M=M(ε)，當(dāng)m，k≥M時(shí)，有Fxm，xk，a1，…，an-1(ε)=1，?ai∈X，i=1，2，…，n-1，則稱序列{xm}為Cauchy序列.

(Ⅲ)若X中任一Cauchy序列都收斂于X中的一點(diǎn)，則稱(X，F(xiàn))是完備的.

定義6如果定義2中條件(ⅴ)換為：

(ⅵ)?y∈X，若Fx0，x1，x2，…，xn-1，y(t0)=1，F(xiàn)x0，x1，x2，…，y，xn(t1)=1，…，F(xiàn)y，x1，x2，…，xn(tn)=1，則Fp(max{t0，t1，…，tn})=1，?p=(x0，x1，x2，…，xn)∈∏X，?y∈X，?ti∈+，i=0，1，2，…，n，

則稱(X，F(xiàn)，Δ)為非阿基米德概率n-度量空間.

定義7稱(X，F(xiàn)，Δ)為非阿基米德Menger概率n-度量空間，若(X，F(xiàn))是一非阿基米德概率n-度量空間，Δ是滿足下列條件的t-范數(shù)：

(ⅶ)Fp(max{t0，t1，…，tn})≥Δ(Fy，x1，x2，…，xn(t0)，F(xiàn)x0，y，x2，…，xn(t1)，…，F(xiàn)x0，x1，x2，…，xn-1，y(tn))，?p=(x0，x1，x2，…，xn)∈∏X，?y∈X，?ti∈+，i=0，1，2，…，n.

設(shè)Ω={g|g：[0，1]→[0，)連續(xù)、嚴(yán)格遞減，g(1)=0，g(0)<+}.

定義8非阿基米德Menger概率n-度量空間(X，F(xiàn)，Δ)稱為(C)g型的，如果存在g∈Ω，使得?p=(x0，x1，x2，…，xn)∈∏X，y，z∈X，?t≥0，有

gFx0，x1，x2，…，xn-1，y(t)≤gFx0，x1，x2，…，xn-1，z(t)+gFx0，x1，x2，…，xn-2，z，y(t)+…+gFz，x1，x2，…，xn-2，y(t).

定義10設(shè)(X，F(xiàn)，Δ)是(C)g型非阿基米德Menger概率n-度量空間，(X，F(xiàn)，Δ)中序列{xm}收斂于x當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)?ε>0，λ>0，存在N(ε，λ)∈*，使得m≥N(ε，λ)，有g(shù)Fxm，x，a1，…，an-1(ε)

定義11設(shè)(X，F(xiàn)，Δ)是(C)g型非阿基米德Menger概率n-度量空間，(X，F(xiàn)，Δ)中序列{xm}稱為Cauchy序列當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)?ε>0，λ>0，存在N(ε，λ)∈*，使得?k，m≥N(ε，λ)，有g(shù)Fxk，xm，a1，…，an-1(ε)

引理1(ⅰ)如果非阿基米德Menger概率n-度量空間(X，F(xiàn)，Δ)是(D)g型的，則(X，F(xiàn)，Δ)是(C)g型的.

證明：(ⅰ)顯然，下證(ⅱ).取g(t)=1-t，t∈[0，1]，則g∈Ω，且

因此(X，F(xiàn)，Δ)是(D)g型的.證畢.

設(shè)?t>0，?ai∈X，i=1，2，…，n-1，0

注2取Φ(t)=βt，?t∈+，0<β<1，則Φ∈Φ1.

證明：由引理2條件有

(1)

其中，Φm(t)表示Φ(t)的n次迭代函數(shù).下證gFx0，x1，xs，a2，…，an-1(t)=0，s=0，1，2，….事實(shí)上，當(dāng)s=0，1時(shí)gFx0，x1，xs，a2，…，an-1(t)=0顯然成立.設(shè)gFx0，x1，xs，a2，…，an-1(t)=0對(duì)s≤k-1成立，現(xiàn)證對(duì)k也成立.由式(1)可推得

gFx0，x1，xk，a2…，an-1(t)≤gFxk-1，x1，xk，a2，…，an-1(t)+gFx0，xk-1，xk，a2，…，an-1(t)+

…+gFx0，x1，xk，a2，…，xk-1，an-1(t)+gFx0，x1，xk，a2，…，an-2，xk-1(t)≤

2 主要結(jié)果

定理1設(shè)(X，F(xiàn)，Δ)是(C)g型非阿基米德Menger概率n-度量空間.T，S：X→X是兩映象，對(duì)?x，y∈X，t>0，有

(2)

其中Φ∈Φ1，?ai∈X，i=1，2，…，n-1，0

證明：對(duì)x0∈X，可歸納定義序列{xm}為x2m+1=Tx2m，x2m+2=Sx2m+1，m=0，1，2…，注意到如果對(duì)某個(gè)m，xm=xm+1，則xm是T與S在X上一公共不動(dòng)點(diǎn).事實(shí)上，如果對(duì)某個(gè)m，x2m=x2m+1，則x2m是T不動(dòng)點(diǎn).由式(2)有

gFx2m+2，x2m+1，a1，…，an-1(t)=gFSx2m+1，Tx2m，a1，…，an-1(t)≤

于是gFx2m+1，x2m+2，a1，…，an-1(t)=0，即x2m+1=x2m+2.因此，x2m是T與S在X上一公共不動(dòng)點(diǎn).如果對(duì)某個(gè)m，x2m+1=x2m+2，則類似如上證明，由式(2)可得x2m+1是T與S在X上一公共不動(dòng)點(diǎn).假設(shè)對(duì)任意m≥0，xm≠xm+1，由式(2)，對(duì)?t>0，有

gFx2m+2，x2m+1，a1，…，an-1(t)=gFSx2m+1，Tx2m，a1，…，an-1(t)≤

(3)

在式(3)中取a1=x2m，有

因此，gFx2m+1，x2m+2，x2m，a2，…,an-1(t)=0.由式(3)，對(duì)?t>0，有

(4)

同理對(duì)?t>0，有

于是對(duì)m=0，1，2，…，?t>0，有

連續(xù)重復(fù)上述步驟m次，有

(5)

下證{xm}是Cauchy序列.對(duì)?k，m∈：k>m，注意到Φ∈Φ1，g∈Ω，由式(5)和引理2有

Fxm，xk，a1，…，an-1(t)≥Δ(Fxm+1，xk，a1，…，an-1(ct)，(Fxm，xm+1，a1，…，an-1(t)，F(xiàn)xm，xk，xm+1，a2，…，an-1(t)，…，F(xiàn)xm，xk，a1，…，an-2，xm+1(t)))≥

Δ(Δ(Fxm+2，xk，a1，…，an-1(c2t)，F(xiàn)xm+1，xm+2，a1，…，an-1(ct)，F(xiàn)xm+1，xk，xm+2，a2，…，an-1(ct)，…，F(xiàn)xm+1，xk，a1，…，an-2，xm+2(ct))，

(Fxm，xm+1，a1，…，an-1(t)，F(xiàn)xm，xk，xm+1，a2，…，an-1(t)，…，F(xiàn)xm，xk，a1，…，an-2，xm+1(t)))=

從而gFz，Sz，a1，…，an-1(t)=0，于是z=Sz.故z是T與S在X上的一公共不動(dòng)點(diǎn).類似地，若S連續(xù)，則T與S在X上有一公共不動(dòng)點(diǎn).假設(shè)T與S在X上還有另一公共不動(dòng)點(diǎn)w.由式(2)有

因此z=w.證畢.

如果(X，F(xiàn)，Δ)是非阿基米德Menger概率n-度量空間，取

則由引理1知(X，F(xiàn)，Δ)是(D)g型非阿基米德Menger概率n-度量空間，其中g(shù)(t)=1-t，t∈[0，1].于是由定理1有：

其中Φ∈Φ1，?ai∈X，i=1，2，…，n-1，0

在定理2取Φ(t)=βt，?t∈+，0<β<1，則有：

其中?ai∈X，i=1，2，…，n-1，0

注3可把本文結(jié)果推廣到積分型四個(gè)映象的情形.