曹淑娟， 李佳澤， 周 晨

(天津工業(yè)大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，天津 西青 300387)

0 引言

非參數(shù)統(tǒng)計(jì)是統(tǒng)計(jì)學(xué)的一個(gè)重要分支，是21世紀(jì)統(tǒng)計(jì)理論的重要發(fā)展方向之一。傳統(tǒng)的參數(shù)方法強(qiáng)烈依賴于對總體分布的假設(shè)，而非參數(shù)統(tǒng)計(jì)與總體分布幾乎沒有什么關(guān)系，不用假定特定的總體分布，僅需要一些非常一般性的假設(shè)(例如連續(xù)分布、對稱分布等)，利用樣本觀察值中一些比較直觀的信息進(jìn)行統(tǒng)計(jì)推斷，有許多學(xué)者和教師在教學(xué)和研究中都提到非參數(shù)統(tǒng)計(jì)的這一特點(diǎn)，并利用非參數(shù)統(tǒng)計(jì)解決具體的問題[1-2]。也因?yàn)槿绱耍菂?shù)統(tǒng)計(jì)成為一門應(yīng)用性和研究性兼具的核心課程[3]。

在實(shí)際問題中，常常需要比較兩個(gè)總體的位置參數(shù)，如兩種市場營銷策略哪種更有效，兩種汽油哪一種對環(huán)境的污染更少，兩種訓(xùn)練方法哪一種更出色等，如果總體的分布未知，就需要用到非參數(shù)統(tǒng)計(jì)中的兩樣本位置參數(shù)的檢驗(yàn)方法了。筆者根據(jù)文獻(xiàn)[4-6]總結(jié)了4種兩樣本位置參數(shù)檢驗(yàn)方法：符號檢驗(yàn)、Brown-Mood中位數(shù)檢驗(yàn)、Wilcoxon秩和檢驗(yàn)和Wilcoxon-Mann-Whitney檢驗(yàn)，針對不同的假設(shè)檢驗(yàn)問題，選擇不同的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，以表格的形式簡潔地描述了不同的拒絕域的具體形式和求p值的方法。最后分別用這4種檢驗(yàn)方法解決一個(gè)實(shí)際問題。

1 非參數(shù)統(tǒng)計(jì)中兩樣本位置參數(shù)檢驗(yàn)

1.1 符號檢驗(yàn)[4，6]

表1 符號檢驗(yàn)的基本內(nèi)容Tab.1 Basic content of sign test

當(dāng)樣本量n足夠大(>10)時(shí)，由棣莫佛-拉普拉斯中心極限定理可知

表2 符號檢驗(yàn)大樣本的基本內(nèi)容

1.2 Brown-Mood中位數(shù)檢驗(yàn)[5]

假設(shè)X1,X2,…,Xm；Y1,Y2,…,Yn是兩組相互獨(dú)立的樣本，來自兩個(gè)分布F(x)和F(x-μ)，有相應(yīng)的中位數(shù)mex和mey。假設(shè)檢驗(yàn)問題為H0：mex=mey。在原假設(shè)成立的情況下，如果兩組數(shù)據(jù)有相同的中位數(shù)，則將兩組數(shù)據(jù)混合后，兩組數(shù)據(jù)的混合中位數(shù)mexy與mex相等，兩組數(shù)據(jù)應(yīng)該比較均勻分布在mexy兩邊。因此，與符號檢驗(yàn)類似，檢驗(yàn)的第一步是找出混合數(shù)據(jù)的樣本中位數(shù)Mxy，將X和Y按照分布在Mxy的左右兩側(cè)分為4類，對每一類計(jì)數(shù)，形成四格表如表3。

表3 Brown-Mood中位數(shù)檢驗(yàn)的四格表

令A(yù)，B，C，D表示表3中4個(gè)類別的樣本點(diǎn)數(shù)，A表示X樣本中大于Mxy的個(gè)數(shù)。t表示混合樣本中大于Mxy的個(gè)數(shù)，它依賴于m+n的奇偶性，當(dāng)m，n和t固定后，A的分布在原假設(shè)下服從超幾何分布A～H(t,m,N)，其概率的計(jì)算公式為

表4 Brown-Mood中位數(shù)檢驗(yàn)的基本內(nèi)容

注意:兩樣本數(shù)據(jù)混合之后排秩，找出中位數(shù)Mxy后，如果樣本數(shù)據(jù)中存在與中位數(shù)一致的樣本數(shù)據(jù)，應(yīng)該刪除。

表5 Brown-Mood中位數(shù)檢驗(yàn)大樣本的基本內(nèi)容

1.3 Wilcoxon秩和檢驗(yàn)[5-6]

Wilcoxon秩和檢驗(yàn)是Wilcoxon于1945年提出的，在應(yīng)用上有重要意義。它的提出，極大地推動(dòng)了有關(guān)秩的方法的發(fā)展。假設(shè)X1,X2,…,Xm；Y1,Y2,…,Yn是兩組相互獨(dú)立的樣本，來自兩個(gè)分布F(x)和F(x-μ)，同Brown-Mood中位數(shù)檢驗(yàn)法一樣，可以分別記X和Y的中位數(shù)mex和mey。在mex>mey時(shí)，認(rèn)為X1,X2,…,Xm和Y1,Y2,…,Yn混合之后，從小到大排秩，Y樣本Y1,Y2,…,Yn傾向排在前面，而mex

表6 Wilcoxon秩和檢驗(yàn)的基本內(nèi)容

表7 Wilcoxon秩和檢驗(yàn)大樣本的基本內(nèi)容

1.4 Wilcoxon-Mann-Whitney 檢驗(yàn)[5-6]

Wilcoxon-Mann-Whitney檢驗(yàn)是Mann和Whitney于1947年提出的，是Wilcoxon秩和檢驗(yàn)的推廣，但是與Wilcoxon秩和檢驗(yàn)區(qū)別不大。Wilcoxon-Mann-Whitney檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量表示混合樣本中X觀測值小于Y觀測值的個(gè)數(shù)，表達(dá)式為

其中，ri=#{xi

與Wxy相對應(yīng)的，有

其中，rj=#{xi>yj,i=1,2,…,m}，j=1,2,…,n。顯然，Wxy+Wyx=mn。

2 實(shí)例分析

有關(guān)國內(nèi)南北方34座主要城市的年平均氣溫差異研究。數(shù)據(jù)來源于2017年中國統(tǒng)計(jì)年鑒“國內(nèi)南北方劃分主要依據(jù)秦嶺—淮河一線及其延長線”[7]，數(shù)據(jù)如表8和表9。在對國內(nèi)南北方的年平均氣溫差異研究中，收集了國內(nèi)34座主要城市2017年度的年平均氣溫?cái)?shù)據(jù)，用來研究南北地區(qū)的年平均氣溫是否存在顯著差異(在對總體不作任何分布假設(shè)的前提下)。

表8 2017年南方城市的年平均氣溫/℃

表9 2017年北方城市的年平均氣溫/℃

設(shè)國內(nèi)南方城市平均氣溫的中位數(shù)為mex；國內(nèi)北方城市平均氣溫的中位數(shù)為mey。建立問題：原假設(shè)H0:mex=mey；備擇假設(shè)H1:mex>mey，顯著性水平α=0.05。

2.1 符號檢驗(yàn)法的實(shí)例分析

針對上面檢驗(yàn)問題，計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的實(shí)驗(yàn)值，Z+=17；即當(dāng)顯著性水平α=0.05時(shí)，拒絕域?yàn)閣={Z+>12}。檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量Z+落入拒絕域中，所以拒絕原假設(shè)。或計(jì)算p值：p(b(N,1/2)≥Z+)，算得p值為0，遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于α=0.05，所以拒絕原假設(shè)，接受備擇假設(shè)。認(rèn)為在2017年國內(nèi)南方城市年平均氣溫顯著高于北方城市年平均氣溫。

2.2 Brown-Mood中位數(shù)檢驗(yàn)法的實(shí)例分析

對南北城市的平均氣溫混合排秩，如表10，其中南方城市的樣本數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)為17，[]中是北方城市的17個(gè)樣本數(shù)據(jù)。

表10 南北城市的平均氣溫混合秩

計(jì)算混合樣本中的中位數(shù)mexy=15.65，國內(nèi)南方城市中平均溫度低于混合樣本的中位數(shù)的個(gè)數(shù)2;高于混合樣本中位數(shù)的個(gè)數(shù)15，國內(nèi)北方城市中平均溫度低于混合樣本的中位數(shù)的個(gè)數(shù)15;高于混合樣本中位數(shù)的個(gè)數(shù)2；四格表如表11。

表11 氣溫比較四格表

計(jì)算p值近似為0，小于α=0.05，所以拒絕原假設(shè)，接受備擇假設(shè)。認(rèn)為在2017年國內(nèi)南方城市年平均氣溫顯著高于北方城市年平均氣溫。

2.3 Wilcoxon秩和檢驗(yàn)和Wilcoxon-Mann-Whitney檢驗(yàn)的實(shí)例分析

如同Brown-Mood中位數(shù)檢驗(yàn)法的實(shí)例分析，Wilcoxon秩和檢驗(yàn)要對南北城市的平均氣溫混合排秩，求出秩和

Wx=427.5，Wy=167.5。

選取Wy作為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量。由于數(shù)值較大，查表無法實(shí)現(xiàn)，可以考慮基于大樣本下的Wilcoxon 秩和檢驗(yàn)的漸進(jìn)正態(tài)分布，在此不詳述。因?yàn)閃ilcoxon 秩和檢驗(yàn)和Wilcoxon-Mann-Whitney檢驗(yàn)完全等價(jià)，Wilcoxon-Mann-Whitney檢驗(yàn)是Wilcoxon秩和檢驗(yàn)的推廣，因此用Wilcoxon-Mann-Whitney檢驗(yàn)即可。

Wilcoxon-Mann-Whitney檢驗(yàn)也得先對南北城市的平均氣溫混合排秩，選取檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量

得到檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的實(shí)驗(yàn)值Wyx=Wx-m(m+1)/2=274.5。

當(dāng)m=17,n=17,算得p值4.07E-06遠(yuǎn)小于α=0.05，所以拒絕原假設(shè)，接受備擇假設(shè)。認(rèn)為在2017年國內(nèi)南方城市年平均氣溫顯著高于北方城市。

3 結(jié)束語

非參數(shù)統(tǒng)計(jì)常用的兩樣本位置參數(shù)檢驗(yàn)方法有符號檢驗(yàn)、Brown-Mood中位數(shù)檢驗(yàn)法、Wilcoxon秩和檢驗(yàn)以及它的推廣Wilcoxon-Mann-Whitney檢驗(yàn)等。

符號檢驗(yàn)是非參數(shù)統(tǒng)計(jì)中很古老的檢驗(yàn)法，主要是利用正、負(fù)號的數(shù)目對某種假設(shè)做出推斷。優(yōu)點(diǎn)是簡單方便，并不要求知道被檢驗(yàn)量的分布規(guī)律，所以用途十分廣泛。符號檢驗(yàn)法只考慮了正、負(fù)號的個(gè)數(shù)，而沒有考慮到數(shù)據(jù)大小的信息，這就導(dǎo)致了數(shù)據(jù)信息有所損失，精確度不高。當(dāng)兩樣本的樣本容量相差較大的時(shí)候，需要舍棄較多的數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)信息損失更多，符號檢驗(yàn)法適用于兩樣本的數(shù)據(jù)量一致的情況。

Brown-Mood中位數(shù)檢驗(yàn)的主要思想是將兩樣本混合起來排秩，將兩樣本中大于或小于混合樣本中位數(shù)的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)進(jìn)行計(jì)數(shù)，繪制四格表，利用超幾何分布進(jìn)行檢驗(yàn)。

Wilcoxon秩和檢驗(yàn)主要對兩樣本數(shù)據(jù)混合排秩，并計(jì)算秩和檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行檢驗(yàn)。當(dāng)樣本數(shù)據(jù)量較大時(shí)，統(tǒng)計(jì)量值太大不易處理，可用其統(tǒng)計(jì)量的漸近分布解決，或用其推廣的方法——Wilcoxon-Mann-Whitney檢驗(yàn)法，這兩種方法本質(zhì)上是等價(jià)的，一般采用后者進(jìn)行檢驗(yàn)。當(dāng)樣本數(shù)據(jù)充分大的時(shí)候，考慮基于大樣本下的漸近正態(tài)分布，利用正態(tài)分布進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)。這兩種方法既考慮了數(shù)據(jù)的符號，又考慮了數(shù)據(jù)大小信息，較符號檢驗(yàn)更為全面考慮數(shù)據(jù)的相關(guān)信息。

這些非參數(shù)檢驗(yàn)方法的共同優(yōu)點(diǎn)是，不知總體分布的時(shí)候也可以使用，但是它們有一個(gè)共同的缺點(diǎn)，即，當(dāng)數(shù)據(jù)符合參數(shù)檢驗(yàn)條件時(shí)，這些非參數(shù)檢驗(yàn)沒有充分運(yùn)用數(shù)據(jù)信息。