明 飛

（上海電氣電站工程公司）

自適應(yīng)逆控制的關(guān)鍵在于被控對(duì)象逆模型的建立，在實(shí)際中，絕大部分情況下無(wú)法得到被控對(duì)象精確的數(shù)學(xué)模型。 很多情況下，采用一些智能計(jì)算方法可得到被控對(duì)象的逆模型， 例如Volterra 基 函 數(shù) 網(wǎng) 絡(luò)［1，2］、神 經(jīng) 網(wǎng) 絡(luò)［3，4］及 模 糊 系統(tǒng)［5，6］等。

T-S模糊模型由一組if-then規(guī)則來(lái)建立，其后件部分是一線(xiàn)性等式，被廣泛應(yīng)用于非線(xiàn)性系統(tǒng)的建模與控制。T-S模糊模型應(yīng)用于自適應(yīng)逆控制器的基本思路為： 首先根據(jù)試驗(yàn)得到輸入-輸出訓(xùn)練數(shù)據(jù)，然后在訓(xùn)練數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上進(jìn)行結(jié)構(gòu)辨識(shí)和參數(shù)辨識(shí)。 結(jié)構(gòu)辨識(shí)一般包括輸入變量的選擇、輸入變量空間的劃分等，輸入變量的選擇一般根據(jù)運(yùn)行經(jīng)驗(yàn)或者專(zhuān)家知識(shí)等進(jìn)行，輸入空間的劃分方法包括網(wǎng)格法、模糊數(shù)法及模糊聚類(lèi)算法等。 完成T-S模糊模型的結(jié)構(gòu)辨識(shí)后，在此基礎(chǔ)上進(jìn)行T-S模糊模型的參數(shù)辨識(shí)，參數(shù)辨識(shí)包括前件參數(shù)辨識(shí)和后件參數(shù)辨識(shí)。

模糊C均值（Fuzzy C-means，F(xiàn)CM）聚類(lèi)算法是一種無(wú)監(jiān)督學(xué)習(xí)算法，常應(yīng)用于T-S模糊前件參數(shù)的辨識(shí)。 FCM聚類(lèi)算法不需要先驗(yàn)知識(shí)，直接根據(jù)訓(xùn)練數(shù)據(jù)得到模糊系統(tǒng)的前件部分。 定義了聚類(lèi)的個(gè)數(shù)即對(duì)應(yīng)了模糊系統(tǒng)的規(guī)則數(shù)，可避免模糊系統(tǒng)的規(guī)則爆炸問(wèn)題， 實(shí)施起來(lái)也較為簡(jiǎn)單。 后件參數(shù)可以通過(guò)最小二乘算法或者正交最小二乘算法得出，最小二乘算法是一種較常使用的函數(shù)擬合算法，易于實(shí)現(xiàn)。

筆者提出一種基于FCM聚類(lèi)算法的自適應(yīng)逆控制器設(shè)計(jì)算法，并通過(guò)兩個(gè)非線(xiàn)性對(duì)象的仿真試驗(yàn)驗(yàn)證筆者提出的控制器的控制效果。

1 FCM聚類(lèi)算法

2 T-S模糊模型

T-S模糊模型的if-then規(guī)則描述為［7］：

這里，樣本表示為（xk，yk）（k=1，2，…，N）。 通過(guò)FCM聚類(lèi)算法，第i條規(guī)則的激發(fā)隸屬度即為數(shù)據(jù)通過(guò)FCM聚類(lèi)算法得到的隸屬度。T-S模糊模型的輸出可表示為：

3 基于FCM聚類(lèi)算法的模糊逆模型

3.1 前件參數(shù)辨識(shí)

前件參數(shù)通過(guò)FCM聚類(lèi)算法得到，步驟為：

a. 根據(jù)系統(tǒng)輸入-輸出數(shù)據(jù)，生成N對(duì)以向量形式描述的訓(xùn)練數(shù)據(jù)；

b. 對(duì)N對(duì)訓(xùn)練數(shù)據(jù)進(jìn)行聚類(lèi)運(yùn)算， 聚類(lèi)算法結(jié)束以后得到c類(lèi)中心；

c. 每一組訓(xùn)練數(shù)據(jù)， 根據(jù)中心得到c個(gè)隸屬度，分別對(duì)應(yīng)c條模糊規(guī)則的激發(fā)隸屬度。

3.2 后件參數(shù)辨識(shí)

在前件參數(shù)的基礎(chǔ)上，本項(xiàng)目T-S模糊模型的后件參數(shù)通過(guò)最小二乘（Least Squares，LS）算法計(jì)算。 LS算法通過(guò)最小化誤差的平方和尋找數(shù)據(jù)的最佳函數(shù)匹配。 利用最小二乘法可以簡(jiǎn)便地求得未知的數(shù)據(jù)，并使得這些求得的數(shù)據(jù)與實(shí)際數(shù)據(jù)之間誤差的平方和最小。

根據(jù)LS算法，P的最小二乘估計(jì)為：

其中，X是根據(jù)T-S模糊模型前件參數(shù)和輸入變量組合得到的一組向量，Y為系統(tǒng)的輸出向量。

LS算法有個(gè)缺陷就是需要矩陣X是可逆的，這在實(shí)際過(guò)程中不一定能完全滿(mǎn)足，為了避免矩陣求逆，可以采用遞推最小二乘算法。 設(shè)X的第i個(gè)行向量為，Y的第i個(gè)分量為Yi，則遞推最小二乘算法為：

初始條件P0=0，S0=αI。 α一般取大于10 000的實(shí)數(shù)，I是L×L的單位矩陣，L=（M+1）c，M是T-S模糊模型的輸入變量個(gè)數(shù)，c是T-S模糊模型的規(guī)則數(shù)目。

4 自適應(yīng)逆控制器

自適應(yīng)逆控制器的基本思想是用被控對(duì)象的逆作為串聯(lián)控制器來(lái)對(duì)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性進(jìn)行開(kāi)環(huán)控制，從而避免了因反饋閉環(huán)而引起的不穩(wěn)定問(wèn)題，同時(shí)又能做到對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的控制與對(duì)象擾動(dòng)的控制分開(kāi)處理而互不影響。 與傳統(tǒng)的控制類(lèi)似，自適應(yīng)逆控制的最終目的是使得系統(tǒng)設(shè)定值和系統(tǒng)輸出值的偏差最小。

自適應(yīng)逆控制器的一般結(jié)構(gòu)如圖1所示［8］。

圖1 自適應(yīng)逆控制器的一般結(jié)構(gòu)

自適應(yīng)逆控制器的第1步是建立模糊逆模型。 本項(xiàng)目的模糊逆模型采用T-S模糊模型，其最終模型參數(shù)使得模糊逆模型的輸出和實(shí)際輸出的偏差最小，也即模糊逆模型盡可能地?cái)M合實(shí)際對(duì)象。 自適應(yīng)逆控制的輸入是設(shè)定值和對(duì)象前幾個(gè)時(shí)刻的輸入或者輸出，具體的輸入變量根據(jù)實(shí)際對(duì)象特性選擇。 控制器的參數(shù)通過(guò)設(shè)定值和系統(tǒng)輸出的偏差來(lái)調(diào)整， 調(diào)整算法基于最小均方（Least Mean Square，LMS）算法。 這里的模糊逆模型是通過(guò)前文描述的FCM聚類(lèi)算法建立的。

LMS是一種高效的濾波算法［9］，是梯度下降法的一種改進(jìn)，LMS算法無(wú)需輸入信號(hào)和期望信號(hào)的特征值， 計(jì)算簡(jiǎn)單， 在平穩(wěn)信號(hào)情況下收斂性好，在自適應(yīng)控制中應(yīng)用較為廣泛。 其計(jì)算式為：

其中，a為T(mén)-S模糊模型的后件參數(shù)，自適應(yīng)逆控制器的參數(shù)調(diào)整即是調(diào)整a；μ為學(xué)習(xí)步長(zhǎng)，此處采用固定步長(zhǎng)；e（k）為當(dāng)前時(shí)刻設(shè)定值和系統(tǒng)輸出的誤差，e（k）=r-y（k）；ω（x（k））為包含了當(dāng)前模型輸入和T-S模糊模型參數(shù)的一個(gè)表達(dá)式，即：

5 仿真實(shí)例

5.1 仿真實(shí)例1

本例選擇如下離散對(duì)象：

該對(duì)象正模型的輸入為y（k）和u（k），輸出為y（k+1）；逆模型的輸入為y（k）和y（k+1），逆模型的輸出為u（k）。 根據(jù)筆者提出的方法，利用FCM聚類(lèi)算法建立該對(duì)象的逆模型。 首先在［-1，1］區(qū)間內(nèi)產(chǎn)生均勻分布的隨機(jī)數(shù)作為系統(tǒng)輸入u（k），通過(guò)對(duì)象模型生成100組建立逆模型所需的輸入輸出對(duì)。 在實(shí)際中，訓(xùn)練數(shù)據(jù)可根據(jù)現(xiàn)場(chǎng)運(yùn)行數(shù)據(jù)得到。 本例所選擇的聚類(lèi)個(gè)數(shù)（模糊規(guī)則數(shù)）為4。 設(shè)置系統(tǒng)的期望輸出r（k）=0.6sin（2kπ/250）+0.2sin（2kπ/250），圖2對(duì)比了筆者方法的輸出和期望輸出曲線(xiàn)，圖3為誤差曲線(xiàn)。 從圖2可以看出，兩條曲線(xiàn)基本上是重合的，說(shuō)明系統(tǒng)輸出能夠很好地跟蹤設(shè)定值。 從圖3的誤差曲線(xiàn)也可以看出誤差很小，基本接近于零。

5.2 仿真實(shí)例2

本例選擇如下離散對(duì)象：

圖2 筆者方法和期望輸出曲線(xiàn)

圖3 筆者方法和期望輸出誤差曲線(xiàn)

該 對(duì) 象 正 模 型 的 輸 入 為y（k）、y（k-1）和u（k），輸出為y（k+1）；逆模型的輸入為y（k-1）、y（k）和y（k+1），輸出為u（k）。 根據(jù)筆者提出的算法，利用FCM聚類(lèi)算法建立該對(duì)象的逆模型。 首先在［-1，1］區(qū)間內(nèi)產(chǎn)生均勻分布的隨機(jī)數(shù)作為系統(tǒng)輸入u（k），通過(guò)對(duì)象模型生成100組建立逆模型所需的輸入輸出對(duì)。 本例選擇的聚類(lèi)個(gè)數(shù)（模糊規(guī)則數(shù)）為4。 假設(shè)系統(tǒng)的期望輸出r（k）=0.6sin（2kπ/250）+0.2sin（2kπ/250），圖4對(duì)比了筆者方法的輸出和期望輸出曲線(xiàn)，圖5為誤差曲線(xiàn)。從圖4可以看出，兩條曲線(xiàn)基本上是重合的。 從圖5的誤差曲線(xiàn)也可以看出， 系統(tǒng)輸出與設(shè)定值的誤差較小，基本接近于零。

圖4 筆者方法和期望輸出曲線(xiàn)

圖5 筆者方法和期望輸出誤差曲線(xiàn)

6 結(jié)束語(yǔ)

筆者提出了一種基于FCM聚類(lèi)算法的自適應(yīng)逆控制器設(shè)計(jì)算法。 首先利用FCM聚類(lèi)算法建立對(duì)象的逆模型，F(xiàn)CM聚類(lèi)算法建模簡(jiǎn)單， 辨識(shí)前件參數(shù)數(shù)量較少且模糊規(guī)則的激發(fā)隸屬度求解簡(jiǎn)單。 聚類(lèi)結(jié)果即是模糊規(guī)則的激發(fā)隸屬度，不需要分別求取每個(gè)輸入變量的隸屬度，簡(jiǎn)化了前件參數(shù)的辨識(shí)過(guò)程。 在逆模型的基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)自適應(yīng)逆控制器，與被控對(duì)象串聯(lián)，使得系統(tǒng)的輸出能夠跟蹤設(shè)定值。 兩個(gè)非線(xiàn)性對(duì)象的仿真試驗(yàn)表明：筆者提出的自適應(yīng)逆控制器的系統(tǒng)輸出與設(shè)定值誤差較小，系統(tǒng)輸出基本上能夠立刻跟蹤上設(shè)定值，驗(yàn)證了筆者提出的算法具有較好的控制效果。