謝小軍，馬 虹，楊付貴，邱云蘭

(1.廣州工商學(xué)院 基礎(chǔ)教學(xué)部，廣東 廣州 510850；2.廣東金融學(xué)院 金融數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，廣東 廣州 510521)

模糊集理論自Zadeh教授提出后，其理論得到了快速發(fā)展。1994年，Song在Zadeh教授提出的模糊集理論基礎(chǔ)上，研究并構(gòu)建了模糊時間序列預(yù)測模型[1-2]。此后對于模糊時間序列的研究受到越來越多的專家和研究者的關(guān)注與重視，并已經(jīng)取得大量的研究成果。例如袁潮清等[3]提出了將區(qū)間灰數(shù)序列分別采用發(fā)展趨勢序列和認知程度序列來進行描述，此方法使得區(qū)間灰數(shù)預(yù)測過程中的灰數(shù)運算問題得到成功避免，而且使得區(qū)間灰數(shù)序列本身所擁有的信息得到成功利用；余文利等[4]基于模糊C均值算法建立了模糊時間序列預(yù)測模型，并利用該模型對杭州的溫度進行了預(yù)測和分析；還有很多學(xué)者結(jié)合一些新穎的機器學(xué)習(xí)的方法，例如粒子群算法模型[5]、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法[6]、決策樹[7]等，它們不需要建立模糊關(guān)系矩陣，而是利用各預(yù)測規(guī)則得到的值加權(quán)后求得預(yù)測值，但是總體上這些方法的預(yù)測結(jié)果還是令人比較滿意的，而且在實踐中其模糊規(guī)則也具有說服力，可作為模糊時間序列預(yù)測模型未來的重要研究方法之一。曾祥艷等[8]提出了一種利用灰色模型對三角模糊數(shù)序列進行預(yù)測，在此文章中提出了將三角模糊數(shù)序列轉(zhuǎn)換為等量信息的三個精確數(shù)序列的方法，轉(zhuǎn)換后只需要利用灰模型對精確數(shù)列分別進行建模即可，再利用還原公式還原為三角模糊數(shù)，成功的實現(xiàn)了利用灰色模型對三角模糊數(shù)的擬合和預(yù)測。劉齊林等[9]在文獻[8]的基礎(chǔ)上建立了支持向量機的模糊時間序列預(yù)測模型。要瑞璞等[10]對模糊數(shù)的HFGB(Hesitant fuzzy geometric Bonferronimeans)算子進行擴展，定義了區(qū)間值三角模糊數(shù)幾何加權(quán)均值(interval valued triangular fuzzy geometric weighted means，ITFGWM)算子.同時對Carlsson定義的均值進行擴展，從而給出了區(qū)間值三角模糊數(shù)的均值定義，并基于ITFGWM算子、均值及可能度，提出了區(qū)間值三角模糊數(shù)預(yù)測方法。高志方等[11]提出了一種新的計算區(qū)間二型模糊數(shù)之間距離的測度，然后結(jié)合該距離測度公式構(gòu)造一種新的基于距離測度來求權(quán)重的方法。最近幾年組合模型越來越受到研究者的青睞，基于現(xiàn)實中模糊時間序列具有不確定性，既包含了線性的時序成分，也蘊含了非線性關(guān)系。因此只利用單一的線性預(yù)測模型或非線性預(yù)測模型都將無法準(zhǔn)確的捕捉實踐序列中的復(fù)合特征。故一些學(xué)者提出了利用組合模型進行預(yù)測的方法[12-16]，在一定程度上能夠提高區(qū)間模糊數(shù)時間序列的預(yù)測精度。

本文鑒于ARIMA（auto regressive moving average）模型[17-19]可以很好的獲取數(shù)據(jù)之間的線性關(guān)系，而 BP（back propagation）神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[20-21]可以捕捉數(shù)據(jù)之間的非線性關(guān)系，故文章結(jié)合ARIMA模型和BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)各自的優(yōu)點，以二元模糊數(shù)時間序列為研究對象，首先利用轉(zhuǎn)換公式將二元模糊數(shù)轉(zhuǎn)換為兩個等量信息的確數(shù)序列，然后對兩個數(shù)序列分別建立以ARIMA與BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型相結(jié)合的組合模型，最后將兩個精確序列的擬合值和預(yù)測值利用公式還原為二元區(qū)間模糊數(shù)時間序列。通過實驗與傳統(tǒng)ARIMA模型對比，所提出的組合模型對區(qū)間模糊數(shù)時間序列具有更好地預(yù)測精度。

1 區(qū)間模糊數(shù)時間序列的轉(zhuǎn)換

大量的研究者對于二元區(qū)間模糊數(shù)序列的處理是直接對兩個個界點建模進行建模和預(yù)測，這樣做往往會存在缺陷：不能很好地描述序列整體性的發(fā)展趨勢；建立的模型所預(yù)測的結(jié)果容易發(fā)生錯亂，導(dǎo)致預(yù)測失效。因此出于整體性考慮，先將二元區(qū)間模糊數(shù)序列轉(zhuǎn)換成等量信息的兩個精確數(shù)序列，然后對轉(zhuǎn)換后的兩個精確數(shù)列構(gòu)建組合模型并進行預(yù)測，最后再將預(yù)測結(jié)果利用還原公式轉(zhuǎn)換為二元區(qū)間模糊時間數(shù)序列。

設(shè)二元區(qū)間模糊數(shù)X=(x(t1),x(t2),…,x(tn))，Δti=ti-ti-1=1，其中第i個二元模糊數(shù)為：

此二元模糊數(shù)的隸屬函數(shù)為：

隸屬函數(shù)所覆蓋的面積為：

比較和排序的指標(biāo)以模糊數(shù)的重心代替，利用如下公式計算：

二元模糊數(shù)x(ti)=(ai,bi)利用式（3）計算得重心為：

定義1在二元模糊數(shù)序列中，將各個二元模糊數(shù)的隸屬函數(shù)所覆蓋的面積構(gòu)成的實數(shù)序列定義為面積序列，記為：S=(s(t1),s(t2),…,s(tn))。

定義2在二元模糊數(shù)序列中，將各個二元模糊數(shù)計算所得的重心構(gòu)成的實數(shù)序列定義為重心序列，記為：

上述方法將二元模糊數(shù)序列轉(zhuǎn)換成了兩個精確數(shù)序列：面積序列和重心序列。由此兩個精確數(shù)列也可以推導(dǎo)出原二元模糊序列的兩個界點，由式（2）和式（4）可得

轉(zhuǎn)換后的兩個精確序列同時受到二元模糊數(shù)的兩個界點的約束，從而保持了模糊數(shù)的整體性，且避免了模糊數(shù)的界點可能產(chǎn)生跳躍，也讓序列的光滑性更好，也避免了預(yù)測的兩個界點相對位置出現(xiàn)錯亂的情況。此方法還可以推廣到對三角模糊數(shù)序列和梯形模糊數(shù)序列的轉(zhuǎn)換。

2 組合模型的構(gòu)建

2.1 ARIMA模型的建立

ARIMA模型建模的基本流程如圖1所示。

圖1 ARIMA模型建模流程

2.2 BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型

BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)往往由輸入層、輸出層以及多個隱含層構(gòu)成：以一個三層結(jié)構(gòu)的為例，即含有一個輸入層、一個輸出層和一個隱含層，每層由不同的神經(jīng)元組成，其基本結(jié)構(gòu)如圖2所示。

圖2 BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)基本結(jié)構(gòu)

具體BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型的建立按照如下過程：

1)輸入層中節(jié)點的信息輸入為：xi，則隱含層第k個節(jié)點的接受到的信息netk為：

其中：ak為閾值；wki為第i個輸入神經(jīng)元到隱含層第k個神經(jīng)元的權(quán)值。

2)在隱含層激勵函數(shù)處理下，隱含層每個神經(jīng)元輸出uk為

其中：f表示隱含層激勵函數(shù)。

3)輸出層神經(jīng)元j接受信息Oj為：

其中：bj表示輸出層第j個節(jié)點閾值；vjk為隱含層第k個輸入神經(jīng)元到輸出層第j個神經(jīng)元的權(quán)重。

4)輸出層第j個節(jié)點的在激勵函數(shù)處理后輸出信息yj：

其中：g表示輸出層激勵函數(shù)。

對于第j個神經(jīng)元的輸出誤差由以下公式計算：

為了獲得一組最優(yōu)權(quán)值與閾值，需反復(fù)利用正向傳播過程與誤差反向傳播過程對網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練學(xué)習(xí)，直至訓(xùn)練結(jié)束，模型對應(yīng)參數(shù)為連接權(quán)重值與閾值，繼而進行預(yù)測直至網(wǎng)絡(luò)輸出與期望輸出的誤差滿足設(shè)定的精度要求。

2.3 ARIMA和BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)組合模型的建立

設(shè)時間序列Υt為精確序列線性主體Lt與非線性殘差Et兩部分的組成，即

首先運用ARIMA模型對精確數(shù)列的線性主體部分進行預(yù)測，假設(shè)預(yù)測結(jié)果為，其殘差記為Et，由以下公式計算：

序列Et蘊含了非線性關(guān)系，利用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型對序列Et進行建模，預(yù)測結(jié)果記為，最后用以下組合公式計算得到原序列的預(yù)測值：

可見在組合模型中，其線性部分利用ARIMA模型進行預(yù)測，非線性部分利用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型進行預(yù)測，結(jié)合ARIMA和BP神經(jīng)模型各自的優(yōu)勢，從而達到更好的預(yù)測效果。

3 數(shù)值實驗

為了驗證所提出的模型的有效性，文章以2019年1月2日至2019年3月7日上證指數(shù)為原始數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)來源于東方財富網(wǎng)（http://quote.eastmoney.com/zs000001.html），將每日的最小值和最大值作為二元區(qū)間模糊數(shù)的兩個界點，總共樣本39組。利用2019年1月2日至2019年3月4日的原始數(shù)據(jù)進行構(gòu)建模型，預(yù)測2019年3月5日至2019年3月7日三天的值，實驗過程采用MATLAB和Eviews軟件完成。

首先，對2019年1月2日至2019年3月5日二元區(qū)間模糊數(shù)序列的兩個界點ai、bi利用式（2）和式（4）轉(zhuǎn)換為兩個精確數(shù)列，然后對精確序列S、分別利用Eviews軟件建立ARIMA模型，具體建立過程如下：

（?。┟娣e序列S=(s(t1),s(t2),…,s(tn))建模過程：

首先進行平穩(wěn)性檢驗，由時序圖可知不具有明顯的周期變化和季節(jié)波動，整體蘊涵曲線增長趨勢，結(jié)合ADF檢驗知該序列是非平穩(wěn)的。先對其取對數(shù)，然后進行一階差分，其新序列記為Υt，經(jīng)檢驗，Υt序列為平穩(wěn)非白噪聲序列，故可對Υt序列進行擬合建模。

不斷嘗試，最終確立的模型為AR(1），并由條件最小二乘估計得到AR(1）的參數(shù)估計，對應(yīng)參數(shù)估計結(jié)果見表1。

表1 AR(1）的參數(shù)估計

根據(jù)參數(shù)估計結(jié)果可得Υt模型的口徑為：

其中：B為滯后算子；εt為隨機誤差。

然后采用此模型口徑對序列S進行預(yù)測，由公式（14）計算得殘差項序列Es，殘差白噪聲檢驗結(jié)果顯示：Q檢驗統(tǒng)計量在延遲1至12階的P值均顯著大于0.05，表示信息提取充分，所以AR(1）模型顯著有效。接下來對殘差序列Es利用MATLAB構(gòu)建BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。

以序列Es為網(wǎng)絡(luò)輸入樣本，總樣本N=34。隱含層的激勵函數(shù)采用Log-sigmoid型函數(shù)，輸出層激勵函數(shù)為純線性，網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練函數(shù)為共軛梯度法，設(shè)置BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)參數(shù)：網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)最佳設(shè)定為4-6-1，預(yù)設(shè)精度、最大訓(xùn)練次數(shù)、步長分別設(shè)定為：0.001、10 000、0.01。網(wǎng)絡(luò)的初始權(quán)值、學(xué)習(xí)率和閾值由網(wǎng)絡(luò)自動選取，經(jīng)過129次訓(xùn)練與學(xué)習(xí)達到精度要求。

將BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型與AR(1)模型擬合值以及對未來3天預(yù)測值利用公式（11）組合模型得到精確序列S的擬合值和預(yù)測值。

類似面積S序列的建模過程如圖2，原序列為非平穩(wěn)的，取對數(shù)作一次差分后的序列記為Zt，對Zt進行平穩(wěn)非白噪聲序列檢驗，進而建立ARIMA，最終建立AR(5)模型，參數(shù)估計見表2。

表2 AR(5)的參數(shù)估計

參數(shù)估計結(jié)果可得Zt模型的口徑為：

首先，利用此口徑對重心序列進行預(yù)測，并利用公式（10）得到殘差項序列記為，然后，采用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對序列進行擬合預(yù)測，總樣本：N=30。設(shè)置BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)參數(shù)：網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)最佳設(shè)定為5-7-1，預(yù)設(shè)精度、最大訓(xùn)練次數(shù)、步長分別設(shè)定為：0.001、10 000、0.05。

將BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型與AR(5)模型擬合值以及對未來3天預(yù)測值利用公式（11）組合模型得到精確序列的擬合值和預(yù)測值。

最后，將精確序列S的擬合值和預(yù)測值和精確序列的擬合值和預(yù)測值利用式（5）還原為二元模糊序列的兩個界點。兩個界點的擬合值對比情況見圖3和圖4，本文提出的組合模型的擬合平均相對誤差為1.92%，傳統(tǒng)ARIMA模型為2.76%，2019年3月5日至2019年3月7日三天的值預(yù)測值結(jié)果對比見表3。

從圖3和圖4可見組合模型的擬合程度要優(yōu)于ARIMA模型，說明組合模型能夠充分發(fā)揮它們各自的長處，從而有效的提高模型的擬合精度。由表3可知組合模型的預(yù)測為誤差為1.04%，要小于單一的ARIMA模型的預(yù)測誤差值1.87%，所以利用組合模型對二元區(qū)間模糊時間序列進行擬合和預(yù)測更加有效。

表3 組合模型與ARIMA模型預(yù)測對比

圖3 下界點擬合值對比

圖4 上界點擬合值對比

4 小結(jié)

文章研究了二元區(qū)間模糊數(shù)的預(yù)測方法，提出了一種基于ARIMA模型和BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)相結(jié)合的一種組合模型來對二元區(qū)間模糊數(shù)進行預(yù)測。實驗結(jié)果表明，文章提出的組合模型具有更好的擬合效果和預(yù)測精度，可用于區(qū)間模糊序的建模。所提出的組合模型可適用于離散型一、二元區(qū)間時間序列建模，也可考慮進一步推廣實現(xiàn)對三角模糊數(shù)以及梯形模糊數(shù)序列的建模。