孔凡哲

在人類發(fā)展史上，沒有哪一類數像實數一樣，蘊涵如此多的故事，這些故事不是傳說，而是史實.就讓我們到歷史長河中探尋實數背后的故事吧.

一、根植于豐富文化中的實數

在人類文明發(fā)展史中，古希臘時期是一個永遠無法忽略的時期.這個時期，為數眾多的數學家做出了永載史冊的貢獻.

以數學家畢達哥拉斯為首的畢達哥拉斯學派提出了“萬物皆數”，即世間萬物的所有數都可以表示為兩個整數之比的形式.

真是這樣嗎？那個時代，人類尚未認識到負數，當時的數是指0以及今天所說的正數，可以這樣說，當時所說的數，除了自然數，就是小數.

自然數可以寫成分母為1的兩個自然數之比的形式，對于有限小數，當然可以化成分數，但是，對于無限循環(huán)小數，比如，0.35，該怎么辦呢？事實上，對于0.35，設它為x，于是.100x=35+x，從而，x=35/99.

如此，“萬物皆數”的觀點是“對”的.

可是，畢達哥拉斯學派的一位學者，無意中發(fā)現：將兩個邊長為1的小正方形分別沿著一條對角線剪開，得到四個完全一樣的等腰直角三角形，將其拼成一個大正方形，這個大正方形的面積自然是2，它的邊長a既不是1，也不是2，而在1和2之間不可能存在其他的自然數，如果a是分數（分子、分母不能約分），那么，a·a肯定還是一個分數，而且，分子、分母依然不能約分，自然不能等于2.這就奇怪了！

這個事實意味著，用小正方形的邊長1作為單位，度量面積為1的這個正方形的對角線，是無法度量的！“萬物皆數”的神話破滅了！

這個驚人的事實震驚了所有人，按照畢達哥拉斯學派的規(guī)矩，發(fā)現這個“奇怪結論”的人被處以重罰——據說，他在一條行駛的船上講述他的發(fā)現，行刑者將其裝入麻袋投入水中.

但是，√2是“淹不死”的！

在隨后的歷史進程中，人們接受了這個事實！不僅√2被發(fā)現，而且√3，√5等陸續(xù)被發(fā)現.這就是無理數的由來！

二、深度理解多重含義的實數

實數是由有理數和無理數組成的，有理數都可以表示為兩個整數之比的形式，即分數.而無理數其實是非?！坝欣怼钡?！它的含義非常豐富.

首先，無理數是真實存在的.

、/丁是邊長為1的正方形的對角線的長（如下頁圖1所示），、/了是邊長分別為1和2的長方形的對角線的長，、/了是邊長分別為、/7萬和1的長方形的對角線的長（如下頁圖2所示），而邊長分別為、/7歹和1的長方形，其對角線的長為2.

對于非零自然數n，邊長分別為1和√n的長方形，其對角線的長就是√n+1.

其次，無理數是無限小數，

我們已經知道，√2是面積為2的正方形的邊長.如圖3所示，面積為2的正方形的邊長a肯定在1到2之間.因為面積越大，邊長越長，所以邊長分別為1，a，2的正方形面積之間的關系為：1²2=2<2².可以清楚直觀地看出a在1和2之間，a的整數位上的數一定是1，可十分位上的數是多少沒有辦法看出來.

我們可以用0.1，0.01，0.001，…作為間距，依靠計算器探索它的十分位上的數，百分位上的數，千分位上的數……如表1所示，可以發(fā)現a介于1.414 2與1.414 3之間.

a肯定是一個無限小數，因為假如a是一個小數點后有n位的有限小數，那么，a·a一定是一個小數點后有2n位的有限小數，而不可能是2.

最后，無理數具有不循環(huán)性，事實上，若無理數是循環(huán)小數，根據無限循環(huán)小數都可以化成分數，則它就不是無理數了，

三、數形結合理解實數

實數和有理數一樣，可以進行加、減、乘、除、乘方運算，而且有理數的運算法則與運算律對實數仍然適用，

在學習無理數之前，有理數對應的點密密麻麻地分布在數軸上，但是有空隙.無理數對應的點將數軸上有理數對應的點之間的空隙填滿，至此實數對應的點填滿了整個數軸，數軸上的每一個點，都可以唯一對應一個實數.也就是說，實數可以表示任意一條線段的長度，并且同一條線段只有一個長度.

其實，我們可以用無限小數將所有的實數表示出來.因為任意有限小數也可以寫成無限小數的形式，只要是從某位之后永遠是9就可以了，例如5.38=5.379 999 99….你能解釋這個問題嗎？

事實上，利用實數與數軸上的點一一對應的關系，我們可將實數的大小關系轉化為點的位置關系，數軸正方向指向右方，數軸上右邊的點所表示的數比左邊的點所表示的數要大.恰當利用這個性質，可以解決許多問題.

例1 （2019年廣東）實數a ，b在數軸上的對應點的位置如圖4所示，下列式子成立的是（

）.

A.b

B.-a

C.a+b>0

D.a/b<0

6

解析：由數軸可知，一21>b，-2

特別地，可以利用正方形邊長與面積之間的相互關系“邊長越大，正方形的面積也越大：反之亦然”判斷邊長的大小關系，對于兩個無理數（或者兩個實數），當判斷其大小較困難時，有時也可以利用其平方之后的大小關系進行判斷.

對于a>0，b>0的情形：若a2>b2，則a>b.

對于a<0， b<0的情形：若a2>b2，則a

例2 比較10/3和√11的大小.

實數是《義務教育數學課程標準（2011年版）》“數與代數”領域的重要內容.在學習本章之前，數學內容都是在有理數的范圍內討論的，學習了本章之后，我們就可以在實數范圍內研究數學問題，本章的主要內容是平方根和立方根的概念和求法，實數的有關概念和運算.實數的學習為后面學習二次根式、一元二次方程等知識打下堅實的基礎，

四、實數對加、減、乘、除（除數不為0）乘方運算都是封閉的

實數可以進行加、減、乘、除（除數不為0）、乘方運算，運算的結果仍然是實數，這就是說，運算是封閉的，非負數（正數和0）可以進行開平方運算.任意一個實數可以進行開立方運算.

在進行實數的運算時，有理數的運算法則及運算律，以及有理數關于絕對值和相反數的意義，都適用于實數.

在學習實數的過程中，有一些知識點容易混淆，需要進一步明確，比如，無理數都是無限小數，但無限小數不都是無理數;帶根號的數不一定是無理數，不帶根號的數不一定是有理數;兩個無理數的和、差、積、商不一定是無理數;一個有理數與一個無理數的和、差一定是無理數，但是，它們的積、商可能是有理數等，

例3在實數原有運算基礎上，補充新運算“*”如下：

當a≥b時，a*b=b2;當a

當x=√2時，（1*x）.x-（3*x）=____.（“·”和“一”仍為實數運算中的乘號和減號）

解析：本題用“*”定義了一種新運算，關鍵是深刻理解新運算符號“*”的意義，再將新運算轉化為熟悉的加、減、乘、除、乘方等運算.

在實數中，解決新定義運算型問題與解決常規(guī)的混合運算問題區(qū)別不大，只要按照新定義運算的規(guī)律、法則將其轉化為熟悉的運算即可.

練一練

1.如果在實數原有運算基礎上，新定義“@”的運算法則為x@y =xy -1，那么，（2@3）@4=____.

2.（2019年寧波）請寫出一個小于4的無理數：____.

參考答案：1. 19 2.答案不唯一，如√15等，