趙 勇，肖成龍，楊立云，丁晨曦，鄭昌達

（1. 北京科技大學(xué)土木與資源工程學(xué)院，北京 100083；2. 北京科技大學(xué)城市地下空間工程北京市重點實驗室，北京 100083；3. 中國礦業(yè)大學(xué)（北京）力學(xué)與建筑工程學(xué)院，北京 100083）

工程中常見的材料（巖石、金屬、玻璃板等）中含有各種缺陷（裂紋、孔洞等）會直接影響結(jié)構(gòu)的承載能力。目前對于高加載率下材料動態(tài)響應(yīng)的測試方法主要以霍普金森壓桿或氣炮等實驗手段為主，而對于材料遇到的低速撞擊問題，落錘加載表現(xiàn)出其特有的優(yōu)勢，操作簡單、重復(fù)性好，其應(yīng)變率一般處于10?1～102s?1。在低速撞擊加載過程中，材料動態(tài)斷裂行為承受動荷載作用后，原有缺陷在動荷載作用下會迅速顯現(xiàn)出來，表現(xiàn)為宏觀狀態(tài)下的損失和破壞，甚至可能會造成材料失效[1]。因此，諸多學(xué)者們對含缺陷材料的動態(tài)斷裂行為進行了研究。Richard 等[2]對實際結(jié)構(gòu)中裂紋的擴展問題進行了研究，基于理論分析和實驗結(jié)果提出了幾種假設(shè)和概念。楊仁樹等[3-4]分別通過改變預(yù)制裂紋的傾斜角度以及水平預(yù)制裂紋的長度，得出在動態(tài)沖擊荷載作用下運動裂紋擴展行為的變化規(guī)律。姚學(xué)鋒等[5]、Yao 等[6]利用高速攝像機，采用焦散光學(xué)方法研究了兩條邊緣平行裂紋在拉伸載荷作用下裂紋尖端的動態(tài)斷裂參數(shù)；分析了含偏置裂紋三點彎曲梁在承受沖擊荷載作用下的斷裂行為。岳中文等[7]通過改變雙預(yù)制裂紋的相對位置，研究了含雙預(yù)制裂紋試件裂紋尖端擴展速率和動態(tài)應(yīng)力強度因子的變化規(guī)律。Gong 等[8]控制加載速率值作為單一變量，研究該變量對復(fù)合材料在I 型斷裂情況下動態(tài)斷裂性能的影響及其失效機理。楊立云等[9]將含異長雙裂紋有機玻璃材料作為研究對象，利用數(shù)字激光動態(tài)焦散線系統(tǒng)研究該結(jié)構(gòu)材料在沖擊荷載作用下裂紋缺陷對裂紋起裂時間、最大擴展速度等參數(shù)的影響。李清等[10-11]針對含預(yù)制L 形梁柱試件，分別通過改變節(jié)點核心區(qū)與預(yù)制裂紋距離的大小和在柱端設(shè)置不同角度的預(yù)制裂紋，研究其沖擊斷裂力學(xué)特性。Guo 等[12]利用數(shù)字激光動態(tài)焦散學(xué)實驗系統(tǒng)，進行了新巷道爆破開挖對不同斷面形狀相鄰巷道影響規(guī)律的模擬實驗。沈世偉等[13]研究了多條平行預(yù)制裂紋在爆破荷載作用下裂紋的擴展行為及應(yīng)力強度因子的變化規(guī)律。

本文中，采用動態(tài)焦散線實驗系統(tǒng)并結(jié)合幾何分形理論，研究在不同偏置距離下靜止裂紋對運動裂紋動態(tài)斷裂行為的影響規(guī)律，通過比較裂紋尖端應(yīng)力強度因子、裂紋擴展速度、偏轉(zhuǎn)角度以及分形維數(shù)等參數(shù)，以期得到運動裂紋和靜止裂紋的相互作用規(guī)律，為解決生產(chǎn)生活中出現(xiàn)的實際問題提供一定的理論指導(dǎo)。

1 數(shù)字激光動態(tài)焦散線實驗

1.1 焦散線實驗原理

圖1～2 分別為焦散線方法原理圖和Ⅰ型裂紋尖端載荷及焦散曲線[14-15]。如圖1 所示，當平行光垂直照射受到外荷載應(yīng)力作用的透明試件時，由于試件受到拉、壓應(yīng)力作用，造成試件在厚度方向上發(fā)生形變，改變其折射率，從而導(dǎo)致平行光束在折射率改變的區(qū)域未能發(fā)生垂直透射，光線偏離原路徑，造成承接面上出現(xiàn)陰影區(qū)域，陰影區(qū)域即為焦散斑。

圖1 焦散線方法原理圖Fig. 1 The principle of the caustic method

圖2 Ⅰ型裂紋尖端載荷及焦散曲線Fig. 2 Load at the mode-I crack tip and the corresponding caustics curve

圖3 所示為實驗系統(tǒng)示意圖，實驗系統(tǒng)主要由激光器、擴束鏡、雙凸透鏡（場鏡1、場鏡2）、落錘加載裝置、高速相機以及電腦組成。高速相機為日本Photron 公司生產(chǎn)的Fastcam-SA5(16G)型彩色高速相機，其自帶軟件可實現(xiàn)對實驗圖像的采集和處理。激光光源為輸出功率為0～300 mW、波長為532 nm的綠光光源，具有光強高、穩(wěn)定性好的特點，可以保證在極短時間內(nèi)拍攝到清晰照片。實驗過程中設(shè)置相機拍攝頻率為100 000 s?1，相鄰兩張照片之間的時間間隔為10 μs。

圖3 數(shù)字激光動態(tài)焦散線實驗系統(tǒng)Fig. 3 Digital laser dynamic caustics test system

1.2 動態(tài)應(yīng)力強度因子

外荷載作用下材料內(nèi)部產(chǎn)生裂紋后裂紋尖端的應(yīng)力場會呈現(xiàn)奇異性，動態(tài)應(yīng)力強度因子是表征裂紋尖端應(yīng)力場強弱的物理量，通常采用下式[16-17]計算：

式中：Dmax為焦散斑最大直徑（如圖2 所示），該值可通過實際拍攝圖片測量后得到；F(v）為速度調(diào)節(jié)函數(shù)，在這里取F(v）≈1；z0為參考平面到試件表面的距離，根據(jù)實驗情況取z0=800 mm；c 為應(yīng)力光學(xué)常數(shù)，取c=0.85×10?10m2/N；deff為試件的有效厚度，在該實驗條件下deff=5 mm；g 為數(shù)值因子，取g=3.17。

1.3 裂紋水平擴展速度

為了計算裂紋水平方向的擴展速度，將拍攝到的焦散圖像置于Photoshop 軟件中，通過量取不同圖片中焦散斑幾何中心在水平方向（x 方向）的位置坐標，采用下式進行計算：

式中：vx為該時刻裂紋擴展沿水平方向的瞬時速度；Δdx為相鄰焦散圖像中焦散斑幾何中心沿水平方向的位移差值；Δt 為相鄰焦散圖片間的時間差，取Δt=10 μs。

2 實驗描述

大量研究表明[18-21]，有機玻璃（polymethyl methacrylate，PMMA）在動態(tài)載荷下的斷裂行為與巖石材料類似且材料本身具有較好的光學(xué)特性，能夠用于研究巖石的動態(tài)斷裂問題，因此選用PMMA 作為實驗材料。材料的動態(tài)力學(xué)參數(shù)：膨脹波波速cp=2 320 m/s，剪切波波速cs=1260 m/s，彈性模量Ed=6.1 GPa，泊松比ν=0.31，應(yīng)力光學(xué)常數(shù) c=0.85×10?10m2/N。試件尺寸規(guī)格為220 mm×50 mm×5 mm，在每個試件的底部邊緣中心處設(shè)置長5 mm 的預(yù)制裂紋，靜止裂紋長度設(shè)置為10 mm，中點位于試件的水平軸線。裂紋的制作統(tǒng)一采用激光切割加工而成，能夠保證裂紋制作的精準，裂紋的厚度控制在0.5 mm±0.1 mm。實驗設(shè)計6 組方案，方案之間的不同在于改變預(yù)制裂紋與靜止裂紋的偏置距離L，L 分別設(shè)置為0、2、4、6、8 和10 mm，每組方案設(shè)置3 個相同試件以保證實驗結(jié)果的可靠性，6 組試件分別對應(yīng)編號P0-n～P10-n（n=1～3）。試件模型如圖4 所示，沖擊加載裝置如圖5 所示。

圖4 數(shù)字激光動態(tài)焦散實驗試件示意圖Fig. 4 Schematic representation of the specimens used in digital laser dynamic caustics test

3 實驗結(jié)果及分析

3.1 裂紋擴展路徑分析

圖6 為實驗后的試件斷裂結(jié)果（選取試件陰影區(qū)域），從圖中可以看出，在試件受到?jīng)_擊荷載作用后，均形成自下而上的貫通裂紋。為方便后續(xù)討論，定義由端點A 起裂形成的裂紋為裂紋Ⅰ，裂紋Ⅰ與靜止裂紋交匯后由端點C 起裂形成的裂紋為裂紋Ⅱ；裂紋Ⅰ開始起裂至與靜止裂紋相交為第1 階段，裂紋Ⅱ起裂直至貫通為第2 階段。

圖5 沖擊加載裝置Fig. 5 The impact loading device

圖6 試件斷裂形態(tài)Fig. 6 Fractural forms of specimens

根據(jù)試件斷裂結(jié)果可以看出：當偏置距離L 在0～6 mm 之間時，裂紋的擴展均可以視作上述2 個階段。當L=0 mm 時，在第1 階段和第2 階段，裂紋Ⅰ、裂紋Ⅱ主要受張拉作用均為垂直起裂，表現(xiàn)為典型的Ⅰ型裂紋。隨著偏置距離L 的增大，在第1 階段，裂紋Ⅰ起裂后垂直向上擴展至C1處發(fā)生偏轉(zhuǎn)并與靜止裂紋在C2處交匯，裂紋Ⅰ與靜止裂紋的交匯點C2逐漸由端點B 向端點C 移動。圖7 所示為偏置距離L 和相對應(yīng)交匯點豎向坐標值l 擬合曲線，可以看出當L 在0～6 mm 之間時，l 隨L 變化呈近似線性相關(guān)的關(guān)系：l=1.71L。在第2 階段，裂紋Ⅱ均自端點C 起裂后逐漸向落錘點偏移。

圖7 裂紋尖端交匯點位置隨偏置距離的變化Fig. 7 Change of crack tip vertical coordinate intersection point with offset distance

當偏置距離L 在8～10 mm 之間時，裂紋Ⅰ自端點A 形成后，垂直向上擴展至C3處發(fā)生偏轉(zhuǎn)，未與靜止裂紋交匯而是呈拱狀不斷向試件上邊緣擴展直至貫穿試件?？梢钥闯?，存在一個臨界偏置距離（L=6 mm），當偏置距離大于該臨界偏置距離時，裂紋Ⅰ不再與靜止裂紋發(fā)生交匯。

靜止裂紋對與其平行的運動裂紋具有明顯的吸引作用。隨著偏置距離L 的不斷增大，這種吸引力逐漸降低，裂紋的擴展軌跡呈現(xiàn)明顯的差異性。

3.2 裂紋擴展的動態(tài)過程分析

由于裂紋擴展形態(tài)的相似性，在此只列出偏置距離L=0，4，6，8 mm 時的動態(tài)焦散斑圖像，如圖8 所示。當落錘與試件上邊緣接觸后，落錘的重力勢能轉(zhuǎn)化為試件內(nèi)部的應(yīng)變能，產(chǎn)生的沖擊波迅速轉(zhuǎn)化為應(yīng)力波，以落點處為圓心呈圓弧狀向試件底部傳播，可以明顯看出在應(yīng)力波的傳播過程中，靜止裂紋兩端端點B、C，預(yù)制裂紋上部端點A 均產(chǎn)生了能量積聚，具體表現(xiàn)為焦散斑的尺寸不斷增大。隨著偏置距離L 的不斷增大，裂紋的動態(tài)過程呈現(xiàn)差異性。

圖8 裂紋擴展的焦散斑圖片F(xiàn)ig. 8 Caustic photos of cracks during propagation

當L=0 mm，t=130 μs 時，焦散斑尺寸較前一時刻顯著減小，達到其起裂韌度，能量釋放，裂紋Ⅰ起裂并開始向靜止裂紋方向擴展；t=190 μs 時，裂紋Ⅰ到達端點B，焦散斑尺寸達到其整個過程的最大值，第1 階段結(jié)束，裂紋擴展進入停滯階段。運動裂紋尖端能量不斷向端點C 處轉(zhuǎn)移，并在此不斷匯聚，焦散斑尺寸不斷增大；t=260 μs 時再次達到試件的起裂韌度后起裂形成裂紋Ⅱ并逐漸向落錘點擴展直至貫穿。

當L=4 mm，t=130 μs 時，裂紋Ⅰ起裂后向上擴展并發(fā)生偏轉(zhuǎn)；t=210 μs 時與靜止裂紋發(fā)生交匯，裂紋擴展進入停滯階段；t=260 μs 時裂紋再次起裂形成裂紋Ⅱ。

當L=8 mm，t=150 μs 時，裂紋Ⅰ起裂后近似垂直向上擴展，有輕微向靜止裂紋方向偏轉(zhuǎn)的趨勢但并未與之交匯，隨后向落錘點處擴展，說明裂紋尖端應(yīng)力場產(chǎn)生彼此吸引的驅(qū)動力小于運動裂紋擴展過程中受到的阻力，并不足以使運動裂紋發(fā)生較大偏轉(zhuǎn)與靜止裂紋產(chǎn)生交匯。

從焦散斑圖像可以看出：當L=0 mm 時，裂紋Ⅰ、裂紋Ⅱ的焦散斑呈現(xiàn)明顯的左右對稱性，表現(xiàn)為典型的Ⅰ型裂紋，說明此時裂紋主要受張拉作用影響。隨著偏置距離L 的增大，裂紋Ⅰ的起裂時間基本保持相同，說明偏置距離的改變并不影響裂紋Ⅰ的起裂；當運動裂紋向靜止裂紋靠近時，靜止裂紋端部焦散斑尺寸出現(xiàn)顯著變化，表明運動裂紋尖端應(yīng)力場對靜止裂紋應(yīng)力場產(chǎn)生一定影響，靜止裂紋應(yīng)力場和與其平行的運動裂紋尖端應(yīng)力場相互作用后，會在運動裂紋和靜止裂紋之間產(chǎn)生彼此吸引的驅(qū)動力。

3.3 動態(tài)應(yīng)力強度因子分析

3.4 裂紋的運動特征分析

為了更直觀地分析不同偏置距離對裂紋運動過程的影響，分別作出裂紋尖端沿水平方向的運動速度vx與時間t 的關(guān)系圖（見圖10）和運動裂紋尖端偏轉(zhuǎn)角α 隨位移y 的變化圖（見圖11），規(guī)定靠近靜止裂紋方向的速度為負值，背離靜止裂紋方向的速度為正值，偏轉(zhuǎn)角α 指裂紋尖端在擴展過程中偏離豎直方向的角度。

由圖10 可以看出：在t=120 μs 左右時各試件裂紋Ⅰ開始起裂，速度vx在0 m/s 左右較小的范圍內(nèi)波動，此時可以將裂紋的運動視作豎直方向上的運動，即在水平方向沒有速度。隨著裂紋Ⅰ的擴展，在t=170 μs 左右時試件P2-1、P4-1和P6-1的vx值顯著增大，這一階段的速度vx分別達到峰值33、44、75 m/s，這主要是由于運動裂紋在擴展過程中受靜止裂紋尖端應(yīng)力場的影響，開始產(chǎn)生水平方向的驅(qū)動力，同時由于偏置距離L 的增大，裂紋的加速過程變長，導(dǎo)致峰值速度隨L 的增大呈現(xiàn)逐漸增大的變化規(guī)律。隨著能量在端點C 的不斷累積，裂紋Ⅱ再次起裂，起裂時的vx即達到其峰值，分別為28、40、66 m/s，可以看出，隨著偏置距離的增大，裂紋Ⅱ起裂時沿水平方向上裂紋受到的初始驅(qū)動力增大，隨后速度vx逐漸降低，裂紋沿豎直方向向試件上邊界擴展直至貫穿。對于試件P8-1和P10-1，在t=230 μs 左右時受靜止裂紋尖端應(yīng)力場作用開始明顯出現(xiàn)靠近靜止裂紋沿水平方向上的速度，隨后速度呈現(xiàn)波動狀繼續(xù)擴展，t=300 μs 左右時速度vx減小至零。

圖9 裂紋應(yīng)力強度因子隨時間的變化Fig. 9 Change of crack stress intensity factor with time

從時程特征的角度可以發(fā)現(xiàn)，當偏置距離在不同范圍內(nèi)時，裂紋的起偏時間呈現(xiàn)差異性，當偏置距離L 在0～6 mm 之間時，起偏時間保持在170 μs 左右，在0～6 mm 范圍內(nèi)偏置距離的改變對裂紋的偏轉(zhuǎn)沒有明顯影響；當偏置距離L 在8～10 mm 之間時，起偏時間明顯滯后，保持在230 μs 左右。

由圖11 可以看出：各試件裂紋Ⅰ起裂后，偏轉(zhuǎn)角度α 均從0°開始，當裂紋尖端位移y 達到14 mm 左右時，試件P2-1、P4-1和P6-1中裂紋Ⅰ開始偏轉(zhuǎn)，具體表現(xiàn)為偏轉(zhuǎn)角度開始緩慢增大，當位移值達到15 mm左右時可以明顯看出，隨著位移的繼續(xù)增大，偏轉(zhuǎn)角度顯著增大，此時裂紋Ⅰ曲裂程度加??；隨后當偏轉(zhuǎn)角度達到各自峰值后（分別為38.1°、34.6°、43.6°）開始降低直至與靜止裂紋交匯。對于試件P8-1和P10-1，當裂紋尖端位移y 達到16.5 mm 左右時偏轉(zhuǎn)角度開始緩慢增大，在位移值達到20 mm 左右時偏轉(zhuǎn)角度達到各自峰值14.2°、12.2°后緩慢降低。同樣從擴展軌跡的角度說明了當偏置距離在0～6 mm 范圍內(nèi)時對裂紋Ⅰ的偏轉(zhuǎn)沒有明顯影響，當偏置距離在8～10 mm 之間時，起偏位移滯后。

4 裂紋軌跡分形維數(shù)計算

分形幾何自謝和平[22]首次運用于巖石的破碎、損傷和斷裂等問題后，諸多學(xué)者[23-25]將其作為研究巖土材料復(fù)雜力學(xué)問題的一種手段。在分形幾何理論中，計盒維數(shù)Dn是一個能夠反映裂紋規(guī)則程度的穩(wěn)定指數(shù)，其具體算法如下：

式中：N（δ）為覆蓋δ 邊長盒子個數(shù)，δ 為計盒尺寸。

采用整像素分析方法，將裂紋斷裂后的軌跡進行二值化處理，如圖12 所示，每張圖片大小均為1 024×1 024 像素，計盒維數(shù)計算過程中網(wǎng)格的最小劃分單位是一個像素，通過MATLAB 計算程序?qū)D片進行處理。

圖12 裂紋軌跡二值圖Fig. 12 Binary diagrams of crack trajectories

圖13 為對6 組試件裂紋軌跡的計盒維數(shù)分別擬合后得到的直線?？梢钥闯觯弘S著偏置距離的增大，試件裂紋軌跡的分形維數(shù)值呈現(xiàn)先增大后減小的變化規(guī)律。偏置距離L=0 mm時對應(yīng)的分形維數(shù)值最小，最小值為1.272 2，說明在該條件下裂紋軌跡規(guī)則程度最高；臨界偏置距離L=6 mm 條件下對應(yīng)的分形維數(shù)值最大，最大值D4為1.401 3，此時裂紋軌跡的規(guī)則程度最低，裂紋破壞形態(tài)最復(fù)雜。從幾何分形的角度說明了偏置距離的改變對裂紋軌跡復(fù)雜程度的影響。

圖13 裂紋軌跡的計盒維數(shù)擬合曲線Fig. 13 Box-counting dimension fitting curves of crack trajectories

5 結(jié) 論

采用數(shù)字激光焦散線實驗系統(tǒng)，對含不同缺陷的有機玻璃（PMMA）進行三點彎曲實驗，以靜止裂紋與預(yù)制裂紋的偏置距離為單一變量，研究在不同偏置距離下靜止裂紋對運動裂紋動態(tài)斷裂行為的影響規(guī)律，所得結(jié)論如下：

（1）相互平行的運動裂紋與靜止裂紋在相同的沖擊荷載作用下存在臨界偏置距離，當偏置距離L 小于臨界偏置距離時，裂紋Ⅰ起裂后垂直向上擴展一定距離后發(fā)生偏轉(zhuǎn)并與靜止裂紋交匯，偏置距離和交匯點豎向坐標值呈近似線性函數(shù)關(guān)系；當L 大于臨界偏置距離時，裂紋Ⅰ起裂后將不會再與靜止裂紋交匯而是呈拱狀不斷向試件上邊緣擴展。

（2）偏置距離的存在不會影響裂紋Ⅰ的起裂時間和應(yīng)力強度因子，但會顯著減小裂紋Ⅱ的動態(tài)應(yīng)力強度因子，且停滯階段的時長隨偏置距離的增大而逐漸縮短。當運動裂紋向靜止裂紋靠近時，靜止裂紋尖端應(yīng)力場對與其平行的運動裂紋應(yīng)力場會產(chǎn)生一定影響，運動裂紋和靜止裂紋之間會產(chǎn)生彼此吸引的驅(qū)動力。

（3）偏置距離在不同的范圍內(nèi)時，運動裂紋的起偏時間、起偏位置呈現(xiàn)差異性：當偏置距離L 小于臨界偏置距離時，L 的改變對裂紋的起偏時間、起偏位置沒有明顯影響；當L 大于臨界偏置距離時，運動裂紋的起偏時間、起偏位置明顯滯后。

（4）試件裂紋軌跡的分形維數(shù)值隨著偏置距離的增大呈現(xiàn)先增大后減小的變化規(guī)律。裂紋擴展軌跡在臨界偏置距離條件下對應(yīng)的分形維數(shù)值最大，此時裂紋軌跡的規(guī)則程度最低，裂紋破壞形態(tài)最復(fù)雜。