孫 睿

(江蘇省邗江中學(xué)高二(14)班，225009)

辯證法認(rèn)為，一般性富于特殊性之中，并通過特殊性表現(xiàn)出來，沒有特殊性就沒有一般性.因此，人們認(rèn)識世界總是先從特殊的個(gè)別的情形開始，先認(rèn)識和研究特殊的情形，進(jìn)而認(rèn)識和掌握一般的規(guī)律.在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中也是如此，當(dāng)我們對一般的數(shù)學(xué)問題進(jìn)行探索和求解感到毫無頭緒、無從下手時(shí)，不妨先從特殊情形開始，先分析研究特殊情形，從中尋找或發(fā)現(xiàn)一般問題的本質(zhì)或規(guī)律，發(fā)現(xiàn)解決一般性問題的思路.下面我們通過幾個(gè)具體的例題來說明，先從一個(gè)簡單的例子開始.

解析Pi是邊BC上的動(dòng)點(diǎn)，APi,BPi,PiC的值都不確定，如何求mi的值？我們可以先從特殊情形著手.邊BC上的特殊點(diǎn)有B，C及BC的中點(diǎn)D.連結(jié)AD，當(dāng)點(diǎn)Pi位于點(diǎn)B時(shí)，有APi=AB=2,BPi=0,mi=4；當(dāng)點(diǎn)Pi位于點(diǎn)C時(shí)，有APi=AC=2,PiC=0,mi=4；當(dāng)點(diǎn)Pi為中點(diǎn)D時(shí)，有mi=AD2+BD·CD=AD2+BD2=AB2=4.

由此我們可以猜想：當(dāng)點(diǎn)Pi在其它位置時(shí)都有mi=4.下面就嘗試證明這一點(diǎn).

所以m1+m2+…+m2 020=4×2 020=8 080.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)設(shè)過點(diǎn)M(0，-1)的直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)(如圖2)，試判斷以AB為直徑的圓是否均過某一定點(diǎn)，并說明理由.

設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)，直線AB的方程為y=kx-1.將其與橢圓C的方程聯(lián)立，得

(2k2+1)x2-4kx-16=0.

=x1x2+y1y2-3(y1+y2)+9

=0.

所以，TA⊥TB，點(diǎn)T(0，3)在以AB為直徑的圓上，即以AB為直徑的圓都經(jīng)過定點(diǎn)T(0，3).

例3設(shè)四邊形(指凸四邊形)ABCD的面積S=1，周長為p,兩條對角線長度之和為q,求p+q的最小值.

如何來證明這個(gè)一般結(jié)論？為了尋找證明思路，我們還是從特殊情形入手，先思考比較特殊的圖形平行四邊形ABCD.如圖3，連結(jié)AC，BD.設(shè)AC，BD交于點(diǎn)O，∠ABC=β，∠AOB=α.則

=AB·BCsinβ≤AB·BC

得(AB+BC)2≥4,即AB+BC≥2,p≥4.

這樣，我們就找到了證明一般結(jié)論的思路：將四邊形ABCD分成兩個(gè)三角形和四個(gè)小三角形，通過面積關(guān)系來實(shí)現(xiàn)問題的解決.

如圖4，設(shè)∠AOB=α,∠DAB=β1,∠ABC=β2,∠BCD=β3,∠CDA=β4.AB,BC,CD,DA邊長分別為a,b,c,d；OA,OB,OC,OD長分別為e,g,f,h.則

+absinβ2+cdsinβ4)

可得(a+b+c+d)2≥16,p≥4.