王西強(qiáng)， 萬奇鋒， 魏 婷， 冷 福， 魏 操， 程時(shí)清*， 邸士瑩

(1.長(zhǎng)慶油田分公司第七采油廠，西安 710200；2.中國(guó)石油大學(xué)油氣資源與工程國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 102249)

水力壓裂技術(shù)已經(jīng)成為改造油氣藏，提高單井產(chǎn)能的主流手段。為了合理評(píng)價(jià)壓裂效果，必須準(zhǔn)確分析油氣井流入動(dòng)態(tài)。Muskat[1]最早研究垂直裂縫井的壓力不穩(wěn)定特性和流體的流動(dòng)方式；Prats[2]最先提出裂縫導(dǎo)流能力和井筒有效半徑的概念，解決了不可壓縮流體在高導(dǎo)流垂直裂縫中的滲流問題；Russell等[3]指出靠近無限導(dǎo)流裂縫區(qū)域?yàn)榫€性流，遠(yuǎn)離裂縫區(qū)域?yàn)閺较蛄?；Ramey等[4-5]引入瞬時(shí)Green函數(shù)和Newman乘積原理，同時(shí)提出將測(cè)壓點(diǎn)選在無量綱裂縫長(zhǎng)度的0.732處得到無限導(dǎo)流垂直裂縫井底壓力解；Cinco等[6-7]提出半解析有限導(dǎo)流垂直裂縫模型，通過求解Fredholm型積分方程得到井底壓力并劃分了四個(gè)典型流動(dòng)階段；Cinco等[8]給出天然裂縫性油藏有限導(dǎo)流垂直裂縫半解析解，該種方式可避免對(duì)時(shí)間差分；Gonzalez等[9]考慮變導(dǎo)流系數(shù)和變表皮系數(shù)給出了實(shí)空間下垂直裂縫的半解析解；劉慈群等[10]利用橢圓流方程求解關(guān)于有限導(dǎo)流垂直裂縫的滲流問題；黃瑤等[11-12]考慮裂縫閉合和地層損害建立有限導(dǎo)流裂縫模型。但是沒考慮壓裂后鋪砂不均勻和壓裂液返排造成裂縫近井端導(dǎo)流能力強(qiáng)，尖端導(dǎo)流能力差和裂縫高度小于儲(chǔ)層厚度的情況[13]；另外，對(duì)于儲(chǔ)層厚度較大的塊狀油藏，由于儲(chǔ)層物性差異，導(dǎo)致在壓裂時(shí)不可能將儲(chǔ)層完全壓開[14]和對(duì)于含底水的油井，常采用部分壓開來防止底水錐進(jìn)[15]。Kuchuk等[16]利用Green函數(shù)法給出了垂向各向異性部分射開井的壓力分布表達(dá)式；盧德唐等[17-18]用Green函數(shù)法分別對(duì)部分壓開油井和氣井的井底壓力進(jìn)行了計(jì)算。綜上，針對(duì)水力壓裂后支撐劑難以到達(dá)裂縫尖端的問題，基于裂縫導(dǎo)流能力非均勻，并考慮不能完全壓開儲(chǔ)層的情況，建立垂向各向異性儲(chǔ)層中導(dǎo)流能力不均勻的部分壓開垂直裂縫試井模型。

1 部分壓開兩段導(dǎo)流系數(shù)垂直裂縫模型

1.1 物理模型

如圖1所示，均質(zhì)無限大儲(chǔ)層中存在一口部分壓開直井。裂縫以井筒為中心對(duì)稱，方向平行于x軸，半長(zhǎng)為xf，寬度為wf，高度為hf

圖1 部分壓開兩段導(dǎo)流系數(shù)垂直裂縫物理模型Fig.1 Physical model of a partially penetrated well with a two-segment vertical fracture

基本假設(shè)：①油藏頂?shù)追忾]，水平方向無限大；②油藏為垂向各向異性，即水平方向滲透率kx=ky=kh，垂向滲透率kz=kv；③裂縫部分壓開地層，即裂縫高度小于地層厚度(hf

1.2 部分壓開兩段導(dǎo)流系數(shù)垂直裂縫井底壓力解

裂縫內(nèi)流量不均勻分布，縫內(nèi)導(dǎo)流能力也不同，沿裂縫存在壓力降，故模型的建立分為兩部分。首先建立裂縫流動(dòng)模型；然后建立油藏流動(dòng)模型，將壓裂裂縫看成線源，通過對(duì)點(diǎn)源函數(shù)積分得到無限大油藏垂直裂縫井的壓力分布式；最后將油藏模型和裂縫流動(dòng)模型耦合得到部分壓開兩段導(dǎo)流系數(shù)垂直裂縫的井底壓力解。

1.2.1 裂縫流動(dòng)模型

對(duì)于裂縫而言，可看作在y方向有源項(xiàng)qf(單位裂縫長(zhǎng)度流量)流入裂縫；同時(shí)考慮到填砂裂縫體積相對(duì)較小，忽略彈性的影響[6]，則有：

(1)

(2)

(3)

式(1)～式(3)進(jìn)行Laplace變換并求解得：

(4)

1.2.2 油藏模型

根據(jù)高春光[15]對(duì)各向異性油藏滲流理論的研究，垂向各向異性部分打開儲(chǔ)層壓力分布式為

(5)

式(5)中：考慮裂縫中流量為均勻分布。將壓裂裂縫看作線源，對(duì)式(5)進(jìn)行積分得到線源任意一點(diǎn)(xD,yD)的壓力分布?？紤]無量綱線流量qfD(xD,yD)沿裂縫為非均勻分布，無法從積分中提出。最終得到垂向各向異性部分打開儲(chǔ)層中壓裂直井的井底壓力分布式。

(6)

1.2.3 半解析井底壓力解

在裂縫壁面處基質(zhì)與裂縫壓力相等，即

(7)

用邊界元法將裂縫離散為N個(gè)等長(zhǎng)小段(如圖2所示)，每個(gè)離散段內(nèi)流量是均勻的。聯(lián)立上述模型得到：

圖2 i和j位置示意圖Fig.2 The locations of i and j

(8)

(9)

(10)

(11)

當(dāng)存在井筒儲(chǔ)集CD和表皮S時(shí)，可以利用Hurst等[20]給出的表達(dá)式：

(12)

上述公式中的無量綱量定義如下：

2 典型圖版和流動(dòng)階段

將無量綱裂縫半長(zhǎng)離散為N=20段[22]，近井端(前10段)無量綱導(dǎo)流系數(shù)FcD1=200，尖端(后10段)無量綱導(dǎo)流系數(shù)FcD2=10，hfD=0.2，得到垂向各向異性儲(chǔ)層中部分壓開兩段導(dǎo)流系數(shù)垂直裂縫井的試井典型圖版，如圖3所示。根據(jù)壓力及壓力導(dǎo)數(shù)曲線特征，可劃分7個(gè)典型階段以及過渡階段：①井筒儲(chǔ)集階段：壓力和壓力導(dǎo)數(shù)表現(xiàn)為斜率為1的直線；②過渡階段：該段持續(xù)時(shí)間由井筒儲(chǔ)集系數(shù)和表皮系數(shù)大小決定；③線性流階段：包括雙線性流階段和線性流階段，由于井儲(chǔ)和表皮效應(yīng)的影響，圖3(a)僅能明顯地看到線性流階段，壓力及壓力導(dǎo)數(shù)曲線表現(xiàn)為斜率為0.5的直線，可通過圖3(b)(不考慮井儲(chǔ)表皮)觀察雙線性流特征；④兩段導(dǎo)流特征段：壓力導(dǎo)數(shù)曲線為斜率介于0.25和0.5的直線；⑤早期徑向流階段：在壓力導(dǎo)數(shù)曲線上表現(xiàn)為斜率為0的水平直線；⑥球形流階段：為部分壓開地層的流動(dòng)特征，在壓力導(dǎo)數(shù)曲線上表現(xiàn)為斜率為-0.5直線；⑦系統(tǒng)徑向流段：在壓力導(dǎo)數(shù)曲線上表現(xiàn)為數(shù)值為0.5的水平直線。

圖3 部分壓開兩段導(dǎo)流系數(shù)裂縫典型圖版Fig.3 Type curves of partially penetrated well with two-segment conductivity fracture

3 敏感性分析

垂向各向異性儲(chǔ)層部分壓開兩段導(dǎo)流系數(shù)垂直裂縫模型中考慮因素較多，未知變量較多。本文針對(duì)主要因素，對(duì)各向異性程度、地層壓開程度、裂縫導(dǎo)流能力和裂縫有效鋪砂長(zhǎng)度進(jìn)行敏感分析。

3.1 各向異性程度

將無量綱裂縫半長(zhǎng)離散為N=20段，近井端(前10段)無量綱導(dǎo)流系數(shù)FcD1=200，尖端(后10段)無量綱導(dǎo)流系數(shù)FcD2=100，在圖4中給出了各基礎(chǔ)參數(shù)的值，得到了考慮各向異性程度的典型曲線。對(duì)于上下邊界封閉的垂向各向異性部分壓開儲(chǔ)層，各向異性程度影響球形流及早期徑向流的出現(xiàn)及持續(xù)時(shí)間。各向異性程度越大，球形流及早期徑向流出現(xiàn)時(shí)間越晚；隨著垂向各向異性程度下降，球形流的持續(xù)時(shí)間減少，早期徑向流的持續(xù)時(shí)間增加。當(dāng)kh/kv=1時(shí)，球形流的持續(xù)時(shí)間短，典型特征幾乎消失了，而早期徑向流的特征特別明顯，在無量綱導(dǎo)數(shù)曲線上呈現(xiàn)雙“臺(tái)階”的特征，這是由于裂縫的高度特別小，出現(xiàn)了類似水平井的垂向徑向流階段，在試井解釋時(shí)這種情況將對(duì)井的類型判斷產(chǎn)生干擾。

圖4 不同各向異性程度對(duì)壓力及壓力導(dǎo)數(shù)曲線的影響Fig.4 Effect of different anisotropy degree on pressure and pressure derivative curves

3.2 地層壓開程度

基本參數(shù)設(shè)定同上，kh/kv=10，設(shè)置不同的hfD得到不同地層壓開程度的試井典型曲線如圖5所示。地層的壓開程度主要影響線性流和球形流階段。地層的壓開程度越小，出現(xiàn)球形流的時(shí)間越早，球形流持續(xù)時(shí)間越長(zhǎng)；隨著壓開程度增大，地層線性流的持續(xù)時(shí)間增加，而球形流持續(xù)時(shí)間縮短；地層的壓開程度不會(huì)影響系統(tǒng)徑向流階段。

此外，儲(chǔ)層不同壓開程度下雖然試井曲線的形狀相似，但壓力和壓力導(dǎo)數(shù)的值差別卻很大(表1)：同一時(shí)刻(如tD=10-5)，完全壓開儲(chǔ)層的無量綱壓降大約為hfD=0.8時(shí)的2倍；hfD=0.5時(shí)的3倍，無量綱壓力導(dǎo)數(shù)大約為hfD=0.8時(shí)的2倍；hfD=0.5時(shí)的4倍。而在試井解釋時(shí)通常認(rèn)為地層完全壓開，這勢(shì)必會(huì)對(duì)解釋結(jié)果的準(zhǔn)確性產(chǎn)生極大的影響。

3.3 裂縫導(dǎo)流能力

水力壓裂后，支撐劑難以到達(dá)裂縫尖端，裂縫將會(huì)出現(xiàn)不同位置導(dǎo)流能力不同的情況，本文用兩段導(dǎo)流系數(shù)來定量表征裂縫的導(dǎo)流能力，將無量綱裂縫半長(zhǎng)離散為N=20段，近井端(前10段)無量綱導(dǎo)流系數(shù)為：FcD1=200，尖端(后10段)無量綱導(dǎo)流系數(shù)FcD2分別為100、10、5、1，得到試井分析的典型曲線(如圖6所示)。裂縫尖端的導(dǎo)流系數(shù)下降會(huì)對(duì)井底壓力響應(yīng)產(chǎn)生很大影響。尖端導(dǎo)流系數(shù)越小，線性流段越明顯，持續(xù)時(shí)間越長(zhǎng)，而兩段導(dǎo)流系數(shù)特征段的持續(xù)時(shí)間不斷減少。

圖6 不同裂縫導(dǎo)流系數(shù)對(duì)壓力及壓力導(dǎo)數(shù)曲線的影響Fig.6 Effect of different fracture conductivity on pressure and pressure derivative curves

3.4 裂縫有效鋪砂長(zhǎng)度

將無量綱裂縫半長(zhǎng)離散為N=20段，近井端無量綱導(dǎo)流系數(shù)為：FcD1=200，尖端無量綱導(dǎo)流系數(shù)為：FcD2=10，在圖7中有計(jì)算所需的基礎(chǔ)參數(shù)?？紤]有效鋪砂的裂縫長(zhǎng)度對(duì)應(yīng)的離散段N1分別為0、5、10、15、20，得到典型曲線(如圖7所示)。壓裂裂縫的有效鋪砂長(zhǎng)度主要影響雙線性流段、兩段導(dǎo)流特征段的出現(xiàn)時(shí)間及持續(xù)時(shí)間。有效鋪砂長(zhǎng)度越大，雙線性流段的持續(xù)時(shí)間越短，兩段導(dǎo)流特征段的出現(xiàn)時(shí)間越早，持續(xù)時(shí)間越短，線性流段的出現(xiàn)時(shí)間越早，持續(xù)時(shí)間越長(zhǎng)。

圖7 不同裂縫有效鋪砂長(zhǎng)度對(duì)壓力及壓力導(dǎo)數(shù)曲線的影響Fig.7 Effect of different values of effective sanding length on pressure and pressure derivative curves

4 實(shí)例應(yīng)用

新疆油田一口壓裂直井新井投產(chǎn)日產(chǎn)油37.27 m3·d-1，壓恢測(cè)試時(shí)間95.98 h。由于井儲(chǔ)和表皮影響，兩段導(dǎo)流系數(shù)特征段被掩蓋，但根據(jù)壓裂施工報(bào)告知地層未完全壓開，通過解釋該井來驗(yàn)證本文提出方法的實(shí)用性。基礎(chǔ)參數(shù)如下：井徑0.07 m，儲(chǔ)層有效厚度15 m，有效孔隙度0.158，綜合壓縮系數(shù)0.001 9 MPa-1，地層原油體積系數(shù)1.175，地層原油黏度5.84 mPa·s，末點(diǎn)壓力7.837 MPa。用本文提出的模型和Saphir軟件有限導(dǎo)流模型解釋上述壓裂直井的實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)如表2、圖8所示?？梢钥闯觯喝绻雎缘貙拥膲洪_程度和裂縫內(nèi)不均勻分布的導(dǎo)流系數(shù)，解釋得到裂縫半長(zhǎng)和地層壓力偏大，有效滲透率偏低。

表2 解釋結(jié)果對(duì)比表

圖8 實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)與理論模型擬合圖Fig.8 Fitting graph of theorical model and recorded pressure

5 結(jié)論

(1)裂縫內(nèi)導(dǎo)流能力有差異會(huì)影響井底壓力響應(yīng)，壓力的差異程度取決于裂縫兩端導(dǎo)流系數(shù)比，在試井解釋時(shí)應(yīng)考慮這種情況對(duì)井底壓力響應(yīng)特征的影響。

(2)考慮裂縫內(nèi)為兩段導(dǎo)流系數(shù)，試井典型曲線會(huì)出現(xiàn)兩段導(dǎo)流系數(shù)特征段：斜率介于0.25～0.5的直線段，這為識(shí)別壓裂裂縫內(nèi)導(dǎo)流能力不均勻提供了理論依據(jù)。

(3)對(duì)于上下邊界封閉的垂向各向異性部分壓開儲(chǔ)層，各向異性程度和地層的壓開程度會(huì)影響球形流及早期徑向流的出現(xiàn)時(shí)間和持續(xù)時(shí)間。

(4)新疆油田某區(qū)塊壓裂直井實(shí)例解釋表明，如果忽略地層的壓開程度和裂縫內(nèi)不均勻分布的導(dǎo)流系數(shù)，解釋得到裂縫半長(zhǎng)和地層壓力偏大，有效滲透率偏低，新模型更加貼合實(shí)際情況。