陳群峰

摘要：現(xiàn)象教學是情境教學的“再進一步”，就是基于真實的情境（所謂的“現(xiàn)實世界”）展開自然的探究教學。運用現(xiàn)象教學思想，嘗試高中數(shù)學《函數(shù)零點存在性定理》一課的教學，主要環(huán)節(jié)包括提供真實的現(xiàn)象、引出自然的探究、指向規(guī)范的表達、激活充分的思辨。

關(guān)鍵詞：現(xiàn)象教學 數(shù)學現(xiàn)象 數(shù)學探究 《函數(shù)零點存在性定理》

通常，數(shù)學知識教學（相對于解題教學而言）有多種形式，但是，歸納起來可以分為兩大類：第一類是教師直接講授，幫助學生理解，通常的模式是“知識—解釋—理解—應用”，可稱為“知識教學”;第二類是教師創(chuàng)設(shè)情境、導入問題，激發(fā)學習動力，引導探究建構(gòu)，通常的模式是“情境—探究—建構(gòu)—應用”，可稱為“情境教學”。從奧蘇伯爾的兩維學習分類的角度看，前者屬于接受式學習，如果注意意義關(guān)聯(lián)（而不是機械灌輸），還是能夠促進知識理解的，但是，不太利于興趣激發(fā)、思維發(fā)展;后者屬于發(fā)現(xiàn)式學習，通常利于知識理解和興趣激發(fā)、思維發(fā)展，但是，如果情境創(chuàng)設(shè)和問題引導不當（比如情境過于虛假，問題過于刻意，暗示過于明顯），便容易滑向接受式學習，即還是“牽著學生走”，突出了教師主導，弱化了學生主體。

考慮到情境教學的不足，現(xiàn)階段，國際上逐漸興起“現(xiàn)象教學”?，F(xiàn)象教學是情境教學的“再進一步”（當然，與情境教學很難有明顯的界線），就是基于真實的情境（所謂的“現(xiàn)實世界”）展開自然的探究教學，其基本的模式為“現(xiàn)象觀察—問題提出—探究建構(gòu)—理解應用”。數(shù)學現(xiàn)象可以來源于生活實際，也可來源于數(shù)學本身（都是“現(xiàn)實世界”里的），關(guān)鍵在于用數(shù)學的眼光、思維和語言來觀察、思考、表達它——也就是弗賴登塔爾所說的“橫向數(shù)學化”和“縱向數(shù)學化”以及史寧中教授所說的“三會”。與傳統(tǒng)的數(shù)學情境（問題）相比，數(shù)學現(xiàn)象是一種“還原”，更真實、更開放——其條件或結(jié)論是不完全明確的;給了學生更大的空間，可以引發(fā)問題、激起聯(lián)想、推動思考、強化表達，使探究更自然、自由，更充分、靈活——沒有明確的目標（完成）節(jié)點，可以帶來更大的延續(xù)性和創(chuàng)造性?，F(xiàn)象是世界的縮影，通過對現(xiàn)象的思考，學生不僅能夠獲得知識，而且能夠?qū)W會認識世界、改造世界的方式方法。

運用現(xiàn)象教學思想，筆者嘗試了高中數(shù)學《函數(shù)零點存在性定理》一課的教學。其主要環(huán)節(jié)如下：

一、提供真實的現(xiàn)象

函數(shù)零點存在性定理在內(nèi)容上比較抽象，學生雖然掌握了一些具體的函數(shù)，但是依然不太容易把握該定理的本質(zhì)。我們嘗試從該定理的數(shù)學內(nèi)涵出發(fā)，化數(shù)為形，設(shè)計一個真實、開放的數(shù)學現(xiàn)象，即給出一個不完整的函數(shù)圖像，讓學生自由、充分、靈活地展開探究，發(fā)現(xiàn)該函數(shù)零點的各種可能（如沒有、一個、兩個……乃至無窮多個），從而不斷豐滿認知，建構(gòu)知識。具體的現(xiàn)象設(shè)計如下：

圖1是定義在區(qū)間[0，12]上的某函數(shù)的部分圖像，請將圖形補充成完整的函數(shù)圖像，并研究函數(shù)的零點情況。

二、引出自然的探究

真實、開放的數(shù)學現(xiàn)象引發(fā)了學生的興趣，激活了學生的思維，讓學生展開了自然的探究，得到了函數(shù)零點存在性定理的有關(guān)要素“連續(xù)”和“異號”——

師 （出示上述數(shù)學現(xiàn)象）圖中的函數(shù)是否一定存在零點？

生 （展示圖像，如圖2）一定存在。

生 不贊同。（展示圖像，如圖3）畫出來的函數(shù)圖像不連在一起時，零點可能不存在。

（學生討論形成共識：當上述函數(shù)圖像連續(xù)不斷時，函數(shù)必有零點。）

師 如果其他函數(shù)圖像連續(xù)不斷，函數(shù)是否必有零點？

生 從上述函數(shù)圖像可以看出，函數(shù)圖像除了連續(xù)不斷之外，還要對于x軸而言有上有下。

師 很好！不過，“有上有下”不是嚴謹?shù)臄?shù)學語言，如何將其數(shù)學化？

生 就是一端正，一端負，圖中f（0）=-2<0，f（12）=6>0，即兩端點函數(shù)值異號。

師 請各自重新畫一個函數(shù)圖像，使得函數(shù)在指定區(qū)間內(nèi)有零點。

（學生畫圖，然后互查，推薦3—4位學生的作品展示交流。）

三、指向規(guī)范的表達

得到函數(shù)零點存在性定理的有關(guān)要素，并經(jīng)過初步的從自然語言到數(shù)學語言的嚴謹化后，只需進一步總結(jié)出規(guī)范的數(shù)學化表達，即可建立抽象的定理模型——

師 一般地，函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（a，b）上一定存在零點的條件是什么？

f（b）<0，再到f（a）f（b）<0的過程，形成結(jié)論：①函數(shù)圖像在區(qū)間（a，b）上連續(xù)不斷;②滿足f（a）f（b）<0。）

師 誰來完整表述一下函數(shù)零點存在性定理？

生 若函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[a，b]上是連續(xù)的，且f（a）f（b）<0，則函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（a，b）上有零點。

師 函數(shù)是連續(xù)的在高等數(shù)學中有嚴格的定義，我們現(xiàn)在不深入探討。我們還是像上面一樣，從圖像的角度通俗地表達其特點。

生 一般地，若函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[a，b]上的圖像是一條不間斷的曲線，且f（a）f（b）<0，則函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（a，b）上有零點。

四、激活充分的思辨

得到函數(shù)零點存在性定理后，探究沒有到此結(jié)束，因為，最初的數(shù)學現(xiàn)象中還有很多內(nèi)涵可以挖掘，還可以研究滿足條件時零點可能的個數(shù)等，從而提升學生的思維——

師 再回到最初的數(shù)學現(xiàn)象，還有問題需要研究嗎？

生 要補全圖像，有很多種可能性，可以有多個零點。

師 大家認可嗎？如果你認為可以有多個零點，請畫個示意圖。

（學生畫圖探究函數(shù)零點個數(shù)的可能性。）

師 請畫好的同學主動展示。

生 （展示圖4、圖5）可以有3個、5個零點。以此類推，可以有任意奇數(shù)個零點。

師 很好，大家可以按照他畫曲線的規(guī)律，用手勢比畫比畫，7個、9個……

（學生隨著教師的敘述用手勢比畫。）

師 確實可以有任意奇數(shù)個零點嗎？

生 確實。

師 還有其他發(fā)現(xiàn)嗎？既然可以有奇數(shù)個零點，那么可以有偶數(shù)個零點嗎？

（多數(shù)學生有些遲疑。）

生 （舉手示意）可以。（展示圖6、圖7）以此類推，可以有任意偶數(shù)個零點。

師 你是怎么想到這樣構(gòu)造函數(shù)圖像的？

生 我也是先畫了3個、5個零點的情況，就想到能不能有2個、4個的情況。（展示圖8）我發(fā)現(xiàn)之前畫的曲線是這樣的，可以看成一個開口向下、一個開口向上的類似于拋物線的曲線的組合。所以，要減少一個零點，只要參照一元二次函數(shù)Δ=0的情況，畫類似拋物線的曲線，就可以了。

師 很好！大家同樣可以按照他畫曲線的規(guī)律，用手勢比畫6個、8個……

（學生隨著教師的敘述用手勢比畫。）

師 到此，我們能夠給出：如果函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[a，b]上的圖像是一條不間斷的曲線，且f（a）f（b）<0，則函數(shù)在區(qū)間（a，b）上可以有任意有限個零點。那再進一步，能否有無限個零點？

生 （展示圖9）可以有。

師 你是怎么想到這樣構(gòu)造圖像的呢？

生 由最簡單的有無數(shù)個零點的函數(shù)f（x）=0想到的。

這里，最初畫圖時，不排除有學生有良好的數(shù)學直覺，直接畫出有偶數(shù)個零點和無數(shù)個零點的圖像。但是，我們更應該展示通過具體函數(shù)類比得到圖像的思維過程。這是一種重要的思想方法，能夠有效提升學生的學習遷移能力?？偨Y(jié)了滿足條件的各種情況后，學生又進一步反過來研究不滿足條件時零點是否存在以及可能的個數(shù)——

師 至此，由最初的數(shù)學現(xiàn)象引出的零點個數(shù)問題，我們差不多可以做一個完美的總結(jié)了。

生 如果函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[a，b]上的圖像是一條不間斷的曲線，且f（a）f（b）<0，則函數(shù)在區(qū)間（a，b）上存在零點，可以有任意有限個零點，也可以有無數(shù)個零點。

師 同學們，對于這個結(jié)論，我們還能怎么想？

生 反過來想。

師 很好！那結(jié)論對不對呢？

生 不對。也就是，如果函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[a，b]上的圖像是一條不間斷的曲線，且函數(shù)在（a，b）上存在零點，不一定要滿足f（a）·f（b）<0。

師 你們認可這一說法嗎？

（學生交流討論后，認可上述說法。）

師 如此說來，我們可以得到什么結(jié)論呢？

生 圖像是一條不間斷曲線的函數(shù)y=f（x），如果滿足f（a）f（b）<0，則在（a，b）上一定存在零點;如果滿足f（a）f（b）>0，不一定沒有零點。

師 不一定沒有就是可以有，可以有多少個？

（學生交流討論，得出可以有1個、2個……任意多個，然后進入鞏固練習環(huán)節(jié)。）

本節(jié)課的教學，在學生沒有“函數(shù)零點存在性定理”意識的基礎(chǔ)上（現(xiàn)象教學反對預習），讓學生基于對一個熟悉的數(shù)學現(xiàn)象的觀察與思考，自然生成“零點是否存在？”“如果存在，有多少種可能性？”等疑問，激發(fā)聯(lián)想。而只要有了疑問，關(guān)于“零點存在性及個數(shù)”的答案，學生非常容易獲得。學生在此過程中展現(xiàn)了強大的想象力和論證力，得到了許多“奇思妙想”（比如圖9），而教材上的“函數(shù)零點存在性定理”只是其中一個小小的結(jié)論而已。由此，學生的眼光和思維產(chǎn)生了諸多變化。

康托爾說：“數(shù)學的本質(zhì)在于它的自由?！爆F(xiàn)象教學就是給人以自由的教學：在知識面前人是受奴役的，在現(xiàn)象面前人是自由的。

本文系江蘇省教育科學“十三五”規(guī)劃課題“用數(shù)學現(xiàn)象啟發(fā)問題意識的教學實踐研究”（編號：Bb/2016/02/78）的階段性研究成果。

參考文獻：

[1] 祁平.新課程背景下數(shù)學教學的哲學思考[J].數(shù)學通報，2007（2）.

[2] 孫四周.把數(shù)學問題還原為數(shù)學現(xiàn)象——談“基于活動與體驗的例題教學”[J].數(shù)學通報，2015（10）.

[3] 孫四周.現(xiàn)象教學的內(nèi)涵與價值[J].教育研究與評論（中學教育教學），2018（3）.

[4] 水菊芳.從情境到現(xiàn)象：再進一步的數(shù)學教學[J].教育研究與評論（中學教育教學），2018（3）.

[5] 李宏銘.數(shù)學現(xiàn)象教學的實施及評價概述[J].教育研究與評論（中學教育教學），2018（3）.

[6] 水菊芳.“數(shù)學現(xiàn)象”視角下的概念教學[J].江蘇教育，2018（43）.

[7] 孫四周.用現(xiàn)象教學克服知識的碎片化[J].教育研究與評論（中學教育教學），2019（6）.