白艷紅 胡勁松

摘 要

微分中值定理是微分學(xué)基礎(chǔ)理論的重要內(nèi)容，是利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)的局部性質(zhì)研究函數(shù)的整體性質(zhì)的重要工具，在數(shù)學(xué)分析中有著十分重要的地位，也是教學(xué)中重點(diǎn)和難點(diǎn)。由于其結(jié)論是定性的，在證明題中的應(yīng)用相當(dāng)廣泛和重要。本文首先利用Rolle定理的結(jié)論，給出了Lagrange定理和Cauchy定理的一種簡(jiǎn)捷證明方法，并把此方法應(yīng)用到同類型的證明題中。該方法簡(jiǎn)單直接，且利于學(xué)生理解和掌握。

關(guān)鍵詞

Rolle定理;Lagrange定理;Cauchy定理;簡(jiǎn)捷證明;應(yīng)用

中圖分類號(hào)： O172.1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼： A

DOI：10.19694/j.cnki.issn2095-2457 . 2020 . 18 . 20

0 引言

微分中值定理[1-7]是利用函數(shù)導(dǎo)數(shù)的局部性質(zhì)研究函數(shù)的整體性質(zhì)的重要工具，是微分學(xué)基礎(chǔ)理論的重要內(nèi)容，包括Rolle定理，Lagrange定理，Cauchy定理，其中Lagrange定理和Cauchy定理是Rolle定理的推廣形式，它們?cè)跀?shù)學(xué)分析中有著十分重要的地位，也是教學(xué)中重點(diǎn)和難點(diǎn)。由于微分中值定理的結(jié)論都是定性的（即結(jié)論中的準(zhǔn)確數(shù)值一般都是不知道的），所以它在證明題中有著重要的應(yīng)用。凡涉及微分中值定理的證明題，一般都需要先根據(jù)題目的結(jié)論構(gòu)造輔助函數(shù)，然后再應(yīng)用微分中值定理即可得出題目的證明。所以，要完成一個(gè)給定的涉及微分中值定理的證明題目，關(guān)鍵的一步就是要構(gòu)造一個(gè)恰當(dāng)?shù)妮o助函數(shù)，這正是完成這一類題目的難點(diǎn)所在。本文，在Rolle定理結(jié)論的基礎(chǔ)上，首先給出了Lagrange定理和Cauchy定理的中統(tǒng)一的簡(jiǎn)捷證明，然后將該證明方法推廣到同類型的涉及微分中值定理證明題目，該方法簡(jiǎn)單直接，且一般都只用Rolle定理就可以完成題目的證明。

1 Lagrange定理和Cauchy定理的證明

一般教材[1-7]里關(guān)于Lagrange定理和Cauchy定理的證明都比較復(fù)雜，要講清楚輔助函數(shù)怎么來的？還要判斷它是否滿足Rolle定理的條件等。這里將微分中值定理結(jié)論中含有ξ的部分（是一個(gè)不確定的常數(shù)）設(shè)為常數(shù)k，移項(xiàng)化簡(jiǎn)使等式的一邊為零，再利用等式將所給區(qū)間的某一端點(diǎn)變?yōu)閤后作為輔助函數(shù)φ（x），然后用Rolle定理證明輔助函數(shù)中的常數(shù)就等于結(jié)論中含有的部分即可。

3 結(jié)束語

從前面的討論可以看出，本文的方法在證明過程中構(gòu)造輔助函數(shù)簡(jiǎn)單直接，判斷所構(gòu)造的輔助函數(shù)滿足Rolle定理的條件方便快捷，對(duì)很多證明題目都簡(jiǎn)單實(shí)用，且更容易讓學(xué)生接受。若在教學(xué)時(shí)傳授給學(xué)生，則一定可以更好地幫助其對(duì)微分中值定理的理解和應(yīng)用。

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