楊 瑞，肖志剛，袁洪波，程 曼

（河北農(nóng)業(yè)大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，河北 保定 071001）

中國(guó)是農(nóng)業(yè)大國(guó)并且水資源匱乏，節(jié)水灌溉工程建設(shè)和水肥一體化成為全國(guó)農(nóng)業(yè)發(fā)展最關(guān)心的部分。農(nóng)業(yè)部提出，希望在2020 年實(shí)現(xiàn)主要化肥零增長(zhǎng)，將主要農(nóng)作物化肥利用率達(dá)到40%以上，做到節(jié)水節(jié)肥［1］。水肥一體化技術(shù)重點(diǎn)在于將水和肥按比例配合，根據(jù)作物不同生長(zhǎng)階段養(yǎng)分需求和土壤情況，實(shí)時(shí)精準(zhǔn)施肥［2-3］。目前常用的施肥裝置一般分為3 種,文丘里施肥器、壓差式施肥罐,注肥泵［4］。 文丘里管流過(guò)水時(shí)產(chǎn)生真空吸力，吸入肥料溶液進(jìn)行施肥。壓差施肥是利用進(jìn)水管與出水管口之間的壓力差將灌溉水流入肥料罐，稀釋肥料后進(jìn)行灌溉［5］。 注肥泵將肥料注入灌溉管道，施肥比例與壓力流量和水泵轉(zhuǎn)速相關(guān)，具有施肥比例可控，運(yùn)行穩(wěn)定，控制簡(jiǎn)單，經(jīng)濟(jì)適用等優(yōu)點(diǎn)［6-7］。

常用的注肥泵有離心泵、往復(fù)泵和螺桿泵（轉(zhuǎn)子泵）等。離心泵幾乎沒(méi)有自吸作用，需要泵內(nèi)預(yù)先有一定量的液體形成壓差，而且由于葉片的作用會(huì)影響液體的流速。結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，造價(jià)低，體積小，安裝檢修方便,對(duì)應(yīng)一定流量只能達(dá)到一定揚(yáng)程［8］；往復(fù)泵是通過(guò)液體容積的收縮膨脹來(lái)混合液體，入口處形成負(fù)壓，能夠自行灌注。壓力越大，工作效率越高。適用于高壓力，小流量的清潔介質(zhì)但要求完全無(wú)泄漏，對(duì)應(yīng)一定流量可達(dá)到不同揚(yáng)程，由管路系統(tǒng)決定，結(jié)構(gòu)復(fù)雜，振動(dòng)大，體積大，造價(jià)高［9］，適合試驗(yàn)使用，不利于推廣。螺桿泵適用于中低壓力，中小流量，尤其適用于黏性較高的介質(zhì)，結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，造價(jià)低，體積小，安裝檢修方便。本試驗(yàn)使用的營(yíng)養(yǎng)液有一定的黏性，對(duì)流量范圍和壓力范圍要求并不高，對(duì)比考慮選擇較為經(jīng)濟(jì)，便于使用的螺桿泵［10-11］。

施肥泵特性分析是實(shí)現(xiàn)精準(zhǔn)配肥的基礎(chǔ)［12-14］，筆者對(duì)螺桿泵在壓強(qiáng)、流量、電壓3 個(gè)方面的特性進(jìn)行了試驗(yàn)研究，得到了三者之間的關(guān)系模型，發(fā)現(xiàn)3 個(gè)變量之間存在非線性、強(qiáng)耦合關(guān)系，有多個(gè)高階項(xiàng)［15-16］。按照泵特性直接進(jìn)行施肥流量控制計(jì)算量相對(duì)大，作為控制核心的單片機(jī)來(lái)完成這種工作，會(huì)導(dǎo)致運(yùn)算速度較慢，耗費(fèi)時(shí)間，因此需要對(duì)泵特性進(jìn)行降維簡(jiǎn)化以提高單片機(jī)運(yùn)算速度，從而提高配肥效率，實(shí)現(xiàn)快速實(shí)時(shí)配肥［17-18］，筆者采用邊折疊算法［19］對(duì)泵特性物理模型進(jìn)行降維簡(jiǎn)化，并驗(yàn)證了該方法的可行性。

1 試驗(yàn)設(shè)計(jì)及分析方法

1.1 試驗(yàn)系統(tǒng)構(gòu)建

本試驗(yàn)中的施肥泵性能測(cè)試平臺(tái)由水桶、螺桿泵、渦輪流量計(jì)、壓力傳感器、電機(jī)調(diào)速器和循環(huán)管路組成，實(shí)驗(yàn)平臺(tái)搭建如圖1 所示，具體設(shè)備如表1 所示。利用該平臺(tái)進(jìn)行試驗(yàn)時(shí)，通過(guò)改變施肥泵供電電壓達(dá)到調(diào)節(jié)其轉(zhuǎn)速，進(jìn)而調(diào)節(jié)其流量的效果，試驗(yàn)過(guò)程中通過(guò)相應(yīng)的傳感器記錄施肥泵的電壓、流量和壓力數(shù)據(jù)。

表1 實(shí)驗(yàn)設(shè)備Table 1 Experimental equipment

圖1 實(shí)驗(yàn)平臺(tái)Fig.1 Experimental platform

1.2 流量傳感器校準(zhǔn)

為了實(shí)現(xiàn)精準(zhǔn)測(cè)量，流量計(jì)在使用之前需要校準(zhǔn)。校準(zhǔn)試驗(yàn)時(shí)，選用5 L 的量筒，記錄量筒注滿水的時(shí)間來(lái)計(jì)算流量作為測(cè)量值，在不同的流量條件下進(jìn)行5 次試驗(yàn)，將流量測(cè)量值與流量計(jì)所采集的數(shù)據(jù)進(jìn)行回歸，完成后再進(jìn)行10 次試驗(yàn)對(duì)回歸結(jié)果進(jìn)行驗(yàn)證。

1.3 施肥泵特性試驗(yàn)

試驗(yàn)于2019 年4—5 月在河北農(nóng)業(yè)大學(xué)城建學(xué)院5 樓溫室中進(jìn)行。管道（PPR）直徑25 mm，工作壓力0.06 ～0.3 MPa，流量范圍0.3 ～1 m3/h。通過(guò)調(diào)節(jié)調(diào)速器改變電壓達(dá)到改變轉(zhuǎn)速的效果，使用閥門調(diào)節(jié)壓強(qiáng)，記錄流量值的變化。螺桿泵啟動(dòng)電壓為10 V，為了得到穩(wěn)定的流量、轉(zhuǎn)速、壓強(qiáng)之間的關(guān)系，將施肥泵電壓設(shè)定從12 V 增加到額定電壓值24 V，每次增加0.5 V,記錄螺桿泵出口壓力值和流量值。壓強(qiáng)從0.02 MPa 開(kāi)始，直到0.14 MPa，每次增加0.02 MPa，分別記錄流量和電壓值。流量值從0.2 m3/h 到1 m3/h，每次增加0.05 m3/h，分別記錄壓強(qiáng)值和電壓值。每組實(shí)驗(yàn)重復(fù)5 次取均值，將得到的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)記錄，共進(jìn)行720 組實(shí)驗(yàn)。將匯總的數(shù)據(jù)通過(guò)Matlab 軟件的Ezsurf 工具箱進(jìn)行多項(xiàng)式擬合并分析［20］。

1.4 降維簡(jiǎn)化方法

水泵的關(guān)系模型符合高階非線性方程，存在較多的浮點(diǎn)運(yùn)算，單片機(jī)在處理這種方程時(shí)速度較慢。該模型的物理化體現(xiàn)是1 個(gè)曲面模型，筆者利用邊折疊降維簡(jiǎn)化算法將曲面模型化簡(jiǎn)為平面模型，將非線性方程簡(jiǎn)化為線性方程，以保證精度為前提，提高單片機(jī)的運(yùn)算速度。

曲面模型簡(jiǎn)化不只是為了減少網(wǎng)格的數(shù)量，需要在保證原始模型的精度和拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上，去除影響不大的平面數(shù)量，保留體現(xiàn)模型特征的平面，得到接近原始模型的簡(jiǎn)化模型［21］。國(guó)內(nèi)外許多學(xué)者對(duì)模型的簡(jiǎn)化方法研究已經(jīng)有了一些成果，主要有去邊法，去點(diǎn)法，最大多邊形法，優(yōu)化法等［22-24］。在眾多方法中，邊折疊算法比較簡(jiǎn)單容易實(shí)現(xiàn)，簡(jiǎn)化后模型精度較高。因此，本文選擇運(yùn)用邊折疊算法簡(jiǎn)化三維曲面模型，用近似的平面代替曲面，使數(shù)學(xué)模型由非線性近似為線性模型，簡(jiǎn)化水泵特性的數(shù)學(xué)模型。比對(duì)模型化簡(jiǎn)前后數(shù)據(jù)，驗(yàn)證其有效性。

邊折疊原理如圖2 所示，對(duì)邊（Li,Lj）的折疊操作可以簡(jiǎn)化記為（Li,Lj→L），用新頂點(diǎn)代替原來(lái)的頂點(diǎn)，把與其相鄰的平面片刪除，形成新的平面。

圖2 邊折疊示意圖Fig.2 Side folding diagram

邊折疊法是將邊作為被刪除的基本元素，按照某種特定的條件刪除不重要的邊，保證刪除后原模型的變化最小，不影響拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的變化，迭代上述過(guò)程，直到滿足設(shè)定的條件。

2 試驗(yàn)結(jié)果及數(shù)據(jù)分析

2.1 傳感器校準(zhǔn)結(jié)果及分析

將55 次試驗(yàn)的數(shù)據(jù)整理，使用Matlab 中Curve Fitting Toll 工具箱進(jìn)行數(shù)據(jù)擬合，結(jié)果近似為1 條直線Q'=0.919 6Q+0.029 83，相關(guān)系數(shù)R2=0.993 5，如下圖3 所示。

圖3 流量回歸方程Fig.3 Flow regression equation

隨機(jī)進(jìn)行10 組試驗(yàn)，將得到的試驗(yàn)結(jié)果與校準(zhǔn)公式計(jì)算的結(jié)果進(jìn)行比較如表2 所示。通過(guò)表2 可以看出，最大誤差為6.989%，出現(xiàn)在流量為 1.003 m3/h 時(shí)，相當(dāng)于誤差為0.3 L/min。最小誤差為 0.397%，平均誤差為2.98%，流量變化約為0.228 L/min。 經(jīng)驗(yàn)證，誤差服從正態(tài)分布，可見(jiàn)得到的公式具有一定的準(zhǔn)確性。

表2 驗(yàn)證試驗(yàn)數(shù)據(jù)Table 2 Verification test data

2.2 螺桿型施肥泵特性試驗(yàn)結(jié)果及分析

筆者利用試驗(yàn)得到的數(shù)據(jù)，通過(guò)Matlab 軟件中Cftool 工具箱對(duì)壓強(qiáng)，流量以及所對(duì)應(yīng)的電壓3 個(gè)因子進(jìn)行擬合，建立水泵特性的數(shù)學(xué)模型。擬合關(guān)系式如下：

式中，f(Q,P)代表電壓；Q為流量；P為壓強(qiáng)。

由上式可以看出，3 個(gè)因子之間存在非線性，強(qiáng)耦合的關(guān)系，具有多個(gè)高次項(xiàng)，壓強(qiáng)，流量、電壓3 個(gè)因子每個(gè)因子單一變化都會(huì)影響其他因子的改變。利用Matlab 軟件中的Ezsurf 函數(shù)工具箱，得到曲面模型如下圖4 所示。

圖4 數(shù)學(xué)模型Fig.4 Mathematical model

為了驗(yàn)證泵特性數(shù)學(xué)模型的準(zhǔn)確性，進(jìn)行了15組驗(yàn)證試驗(yàn)，將實(shí)際測(cè)量電壓值與計(jì)算得到的電壓值進(jìn)行對(duì)比，對(duì)比結(jié)果如圖5 所示。可以看出，兩折線圖趨勢(shì)基本一致，證明得到的曲面模型較為精確。

圖5 數(shù)學(xué)模型驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)Fig.5 Mathematical model verification experiment

2.3 泵特性降維簡(jiǎn)化結(jié)果及分析

采用邊折疊算法進(jìn)行降維簡(jiǎn)化流程如圖6所示，結(jié)合對(duì)泵特性三維曲面圖形的行（流量），列（壓強(qiáng)）的曲線變化分析，得到最終的曲面劃分結(jié)果。

具體步驟如下：

（1）劃分子區(qū)域并編號(hào)。將施肥泵特性模型根據(jù)實(shí)際流量壓強(qiáng)和顏色深淺變化趨勢(shì)劃分為12×12的子區(qū)域，在每個(gè)子區(qū)域中采用平面對(duì)曲面進(jìn)行近似簡(jiǎn)化，并得到流量、壓強(qiáng)和電壓的1 次方程。根據(jù)簡(jiǎn)化前泵特性模型，計(jì)算每個(gè)子區(qū)域中不同流量、壓強(qiáng)對(duì)應(yīng)的電壓值；針對(duì)每個(gè)子區(qū)域，根據(jù)簡(jiǎn)化后平面數(shù)學(xué)模型計(jì)算出該區(qū)域不同流量、壓強(qiáng)對(duì)應(yīng)的近似電壓值；將第i行第j列的子區(qū)域編號(hào)為ai,j,其中i,j=1,2…,12。

（2）沿列方向?qū)ψ訁^(qū)域進(jìn)行合并。將ai,j與ai+1,j2 個(gè)子區(qū)域合并，得到新的平面方程，并分別計(jì)算該新區(qū)域?qū)?yīng)的簡(jiǎn)化前后的電壓值，再次進(jìn)行回歸擬合，如果得到的R2（決定系數(shù)）大于0.97 則認(rèn)為該次合并有效，新區(qū)域編號(hào)為ai+1,j，然后嘗試將ai+1,j與ai+2,j合并；若不滿足條件，保持原編號(hào)不變，嘗試將ai+1,j與ai+2,j合成新的平面；按照該模式對(duì)每一列子區(qū)域進(jìn)行操作，直至12 列子區(qū)域分別合并完畢。按從左到右，從下到上的順序?qū)喜⒑笞訁^(qū)域重新進(jìn)行編號(hào)a1,1…an,12（n≤12）。

（3）對(duì)重新編號(hào)后的子區(qū)域繼續(xù)進(jìn)行合并。從第2 列a1,2開(kāi)始，當(dāng)前列每個(gè)子區(qū)域分別與前一列的全部子區(qū)域按由下到上的順序嘗試進(jìn)行合并，直至第12 列子區(qū)域合并完畢。

當(dāng)前列子區(qū)域編號(hào)為ai,j，前一列子區(qū)域編號(hào)為ak,j-1，即將為ai,j與為ak,j-12個(gè)子區(qū)域進(jìn)行合并，得到新的平面方程，并分別計(jì)算該新區(qū)域?qū)?yīng)的簡(jiǎn)化前后的電壓值，再次進(jìn)行回歸擬合，如果得到的R2大于0.97 則認(rèn)為該次合并有效，新區(qū)域編號(hào)為ai,j，然后嘗試將為ai,j與為ak+1,j-1個(gè)子區(qū)域進(jìn)行合并；若不滿足條件，保持原編號(hào)不變，嘗試將為ai,j與為ak+1,j-1合成新的平面。將a1,2與第1 列所有子區(qū)域合并完成后，嘗試將a2,2與第1 列所有子區(qū)域進(jìn)行合并，直至第2 列所有子區(qū)域分別與第1 列所有子區(qū)域嘗試合并完成；按照該模式對(duì)每1 列子區(qū)域進(jìn)行操作，直至第12 列子區(qū)域合并完畢。子區(qū)域沿列方向合并結(jié)束后，每列行數(shù)不一定相等，記錄第j列的行數(shù)為rowj。

圖6 邊折疊算法流程圖Fig.6 Flow chart of edge folding algorithm

使用邊折疊算法將曲面模型近似用一些平面替代，結(jié)合對(duì)三維曲面模型的行、列曲線變化分析得到的曲面劃分如下圖7 所示。

圖7 曲面的劃分Fig.7 Surface division

曲面化簡(jiǎn)為10 個(gè)平面。每個(gè)不同顏色的區(qū)域近似表示1 個(gè)平面，與圖4 數(shù)學(xué)模型的三維曲面結(jié)合來(lái)看，右上角部分梯度變化較大，中部較平坦。梯度變化較大的地方誤差也比較大，為了減小誤差，此區(qū)域的劃分要更細(xì)致，使其能夠滿足實(shí)際的需求。

使用Plot工具箱對(duì)每個(gè)子區(qū)域的數(shù)據(jù)進(jìn)行整合，得到近似替代曲面模型的平面片的數(shù)學(xué)模型。10 個(gè)平面的數(shù)學(xué)模型如下表3 所示（為了便于表達(dá)，將第6 個(gè)平面分為6a，6b，6c）。

表3 數(shù)學(xué)模型Table 3 Mathematical model

為了評(píng)估簡(jiǎn)化模型的精度，隨機(jī)進(jìn)行15 組試驗(yàn)，記錄電壓、流量、壓強(qiáng)值，根據(jù)曲面公式計(jì)算電壓值和流量值，利用邊折疊算法進(jìn)行化簡(jiǎn)，比較原模型計(jì)算值與化簡(jiǎn)后的值。結(jié)果如下表4 所示。

表4 簡(jiǎn)化前后三維曲面電壓對(duì)比結(jié)果Table 4 Comparison of voltages before and after simplification of three-dimensional surfaces

由上表可以看出，經(jīng)過(guò)降維簡(jiǎn)化后，電壓與數(shù)學(xué)模型計(jì)算得到的電壓有部分誤差，電壓較大時(shí)，誤差有增大的趨勢(shì)，但最大誤差不超過(guò)3%，最小誤差為0.006%，平均誤差為0.357%，電壓誤差約為0.1V，可以滿足實(shí)際需求。曲面模型計(jì)算的流量值與邊折疊算法化簡(jiǎn)后的流量值之間存在一定的誤差，經(jīng)計(jì)算，誤差符合正態(tài)分布(表5)。

表5 簡(jiǎn)化前后三維曲面流量對(duì)比結(jié)果Table 5 Comparison results of 3D surface flow before and after simplification

可以看出，壓強(qiáng)較大時(shí)，誤差逐漸增大，壓強(qiáng)小于0.04 MPa 時(shí)，誤差也會(huì)有所增加，壓強(qiáng)在兩者之間時(shí)，誤差相對(duì)比較小。所以在曲面的左下方和右上部分需要將平面劃分的較小來(lái)減小誤差，中間部分比較平坦，劃分較少，與上圖曲面劃分原則相吻合?；?jiǎn)前后最大誤差約為5.527%，相當(dāng)于有0.38 L/h 的誤差，最小誤差約為0.279%，平均誤差為0.717%。實(shí)際測(cè)量值與化簡(jiǎn)后的最大誤差為12.497%，誤差約為0.625 L/h，最小誤差為0.064%，平均誤差約為1.309%。精度可以滿足實(shí)際需求。

3 討論

經(jīng)測(cè)試，降維化簡(jiǎn)僅適用于三維曲面，需要將曲面劃分為矩形塊進(jìn)行進(jìn)一步簡(jiǎn)化，有一定局限性。

編寫單片機(jī)程序，分別使用化簡(jiǎn)前后公式進(jìn)行計(jì)算比較。結(jié)果表明，利用化簡(jiǎn)后的10 個(gè)公式進(jìn)行編程運(yùn)行更簡(jiǎn)單快捷。簡(jiǎn)化后的模型在單片機(jī)中運(yùn)行穩(wěn)定，運(yùn)行速度提升了54.8%，具有更好的運(yùn)算效率。通過(guò)試驗(yàn)獲得螺桿泵的特性，建立了數(shù)學(xué)模型，針對(duì)水肥一體化營(yíng)養(yǎng)液的調(diào)控，實(shí)現(xiàn)了按比例施肥有效提高資源的利用率，并且減少環(huán)境的污染的效果。使用邊折疊算法化簡(jiǎn)數(shù)學(xué)模型，對(duì)比化簡(jiǎn)前后的模型，存在一定的誤差，但在允許的范圍內(nèi)（表6）。簡(jiǎn)化后得到的數(shù)學(xué)模型，使得單片機(jī)程序更加簡(jiǎn)單，一定程度上節(jié)約了運(yùn)行時(shí)間，降低了對(duì)單片機(jī)的要求，節(jié)約了成本。但是筆者僅對(duì)螺桿泵特性模型進(jìn)行了簡(jiǎn)化，對(duì)于不同泵的特性模型簡(jiǎn)化是否適用是接下來(lái)需要繼續(xù)進(jìn)行的工作。

表6 運(yùn)行參數(shù)對(duì)比Table 6 Comparison of operating parameters

4 結(jié)論

為了實(shí)現(xiàn)精準(zhǔn)配肥，筆者選用造價(jià)低、結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單的潛水型螺桿泵進(jìn)行泵特性的試驗(yàn)測(cè)試及分析研究，得到了關(guān)于流量、壓強(qiáng)、電壓三者之間的關(guān)系模型。利用邊折疊簡(jiǎn)化算法完成了對(duì)泵特性模型的降維簡(jiǎn)化，并做了對(duì)比驗(yàn)證試驗(yàn)。結(jié)果表明：

（1）簡(jiǎn)化后流量的誤差服從正態(tài)分布，平均誤差不超過(guò)3%。

（2）簡(jiǎn)化后壓強(qiáng)的誤差服從正態(tài)分布，最大誤差不超過(guò)3%。

相對(duì)于施肥泵的精度要求，這一誤差在可接受范圍內(nèi)。使用化簡(jiǎn)后的數(shù)學(xué)模型能夠減少單片機(jī)的運(yùn)算時(shí)間，提高了效率，降低了編程的難度。