丁晨，汪俊，陳慶波，唐建平，葛張森，姚燕生

(安徽建筑大學(xué) 機(jī)械與電氣工程學(xué)院，安徽 合肥 230601)

0 引言

變胞機(jī)構(gòu)最早被發(fā)現(xiàn)于包裝禮品盒簡化的機(jī)構(gòu)，由英國倫敦大學(xué)國王學(xué)院戴建生教授于1998年首次提出，與傳統(tǒng)機(jī)構(gòu)不同，變胞機(jī)構(gòu)運(yùn)行過程中拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)與自由度呈階段性變化[1]。從變胞機(jī)構(gòu)被發(fā)現(xiàn)至今，運(yùn)用其原理進(jìn)行機(jī)械創(chuàng)新設(shè)計(jì)越來越多[2-7]，同時(shí)對其相關(guān)理論研究也在不斷完善。

近年來對于變胞機(jī)構(gòu)的理論研究主要分為兩個(gè)方向，一種是結(jié)構(gòu)學(xué)研究，如運(yùn)用拓?fù)鋱D法與鄰接矩陣法來描述桿組之間的連接關(guān)系的改變，PAN等[8]用拓?fù)鋱D法直觀描述了具有變胞功能的電動(dòng)裝載機(jī)構(gòu)的構(gòu)態(tài)變化，但拓?fù)鋱D法并不能建立各個(gè)構(gòu)態(tài)之間轉(zhuǎn)換的運(yùn)算法則。WU 等[9]基于改進(jìn)鄰接矩陣法使變胞機(jī)構(gòu)各獨(dú)立構(gòu)態(tài)之間可以用變胞方程傳遞桿組之間的連接特性，進(jìn)而建立了一套完整的運(yùn)算法則，使變胞機(jī)構(gòu)各構(gòu)態(tài)之間可以進(jìn)行定量的數(shù)值計(jì)算。

另外一種是運(yùn)動(dòng)學(xué)研究，張?jiān)茓傻萚10]用旋量法分析了多種并聯(lián)變胞機(jī)構(gòu)，張滿慧等[11]用四元數(shù)學(xué)模型分析了一種典型的空間變胞機(jī)構(gòu)。然而這些運(yùn)動(dòng)學(xué)分析方法主要適用于分析空間變胞機(jī)構(gòu)。對于約束變胞機(jī)構(gòu)的研究目前涉足的學(xué)者較少。李樹軍[12]等用運(yùn)動(dòng)循環(huán)圖和等效阻力梯度模型描述平面約束變胞機(jī)構(gòu)，并指出目前尚未有有效的理論分析平面約束變胞機(jī)構(gòu)。本文分析了一種平面約束變胞舉升艙門機(jī)構(gòu)，用幾何參數(shù)法建立機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)方程組，以運(yùn)動(dòng)學(xué)方法描述平面約束變胞機(jī)構(gòu)構(gòu)態(tài)變化，并確定了舉升力與構(gòu)件參數(shù)。本文的分析方法補(bǔ)充了平面約束變胞機(jī)構(gòu)理論。

借助于結(jié)構(gòu)學(xué)與運(yùn)動(dòng)學(xué)分析方法，新型變胞機(jī)構(gòu)不斷涌現(xiàn)，本文設(shè)計(jì)的這種舉升艙門機(jī)構(gòu)用途也十分廣泛，如移動(dòng)房車舉升式太陽能電池板、電動(dòng)開窗器、舞臺升降門機(jī)構(gòu)等等。

1 機(jī)構(gòu)運(yùn)行機(jī)理描述

為了清晰描述該機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)過程，給出該機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)簡圖，結(jié)合機(jī)構(gòu)自由度變化，闡述機(jī)構(gòu)運(yùn)行機(jī)理。圖1 中，θ1、θ2、θ3分別是機(jī)構(gòu)運(yùn)行至構(gòu)態(tài)1、構(gòu)態(tài)2 和構(gòu)態(tài)3 的狀態(tài)。本艙門要求垂直升降，即要求θ3為π/2。

由平面機(jī)構(gòu)自由度G-K公式[13]

(1)式中M為機(jī)構(gòu)自由度，n表示機(jī)構(gòu)構(gòu)件總數(shù)，g 表示機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)副總數(shù)，f表示第i個(gè)運(yùn)動(dòng)副的自由度，μ是機(jī)構(gòu)中過約束數(shù)目。

當(dāng)機(jī)構(gòu)運(yùn)轉(zhuǎn)到θ1點(diǎn)時(shí)，處于構(gòu)態(tài)1，滑塊并未壓縮彈簧，滑塊與艙門看成一個(gè)整體，此時(shí)機(jī)構(gòu)構(gòu)件數(shù)目為4，運(yùn)動(dòng)副數(shù)目為4，此時(shí)機(jī)構(gòu)自由度為：

當(dāng)機(jī)構(gòu)運(yùn)轉(zhuǎn)到θ2點(diǎn)時(shí)，處于構(gòu)態(tài)2，滑塊開始壓縮彈簧，此時(shí)機(jī)構(gòu)構(gòu)件數(shù)目為5，運(yùn)動(dòng)副數(shù)目為5，此時(shí)機(jī)構(gòu)自由度為：

當(dāng)機(jī)構(gòu)運(yùn)轉(zhuǎn)到θ3點(diǎn)時(shí)，處于構(gòu)態(tài)3，艙門門受阻，將艙門與機(jī)架看做一個(gè)整體，滑塊仍在滑動(dòng)，活動(dòng)構(gòu)件數(shù)目為4，運(yùn)動(dòng)副數(shù)目為4，此時(shí)機(jī)構(gòu)自由度

當(dāng)舉升艙門轉(zhuǎn)動(dòng)到構(gòu)態(tài)3 時(shí)，機(jī)構(gòu)通過推桿內(nèi)的絲杠自鎖。

基于文獻(xiàn)[14]，對變胞機(jī)構(gòu)類型的定義，該機(jī)構(gòu)屬于第Ⅲ類變胞機(jī)構(gòu)，此時(shí)機(jī)構(gòu)的拓?fù)鋱D如圖2。

圖1 機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)簡圖

圖2 機(jī)構(gòu)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)變化

傳統(tǒng)機(jī)構(gòu)運(yùn)行過程中拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)不發(fā)生變化，而變胞機(jī)構(gòu)運(yùn)行過程中拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)呈現(xiàn)階段性變化，這正是變胞機(jī)構(gòu)與傳統(tǒng)機(jī)構(gòu)的本質(zhì)區(qū)別。拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的改變類似于生物學(xué)細(xì)胞分裂，變胞機(jī)構(gòu)也由此得名，基于以上分析，該機(jī)構(gòu)完整運(yùn)行周期的構(gòu)態(tài)變化可以用表1 表示。

2 機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)建模

2.1 基于運(yùn)動(dòng)學(xué)模型的構(gòu)態(tài)變化分析

以下分析計(jì)算中各參數(shù)均用字母代替，θ代表艙門轉(zhuǎn)角，θ*代表構(gòu)態(tài)1 向構(gòu)態(tài)2 變換時(shí)的鄰界角，L代表O1與O2直線距離，α代表艙門初始狀態(tài)時(shí)與L的夾角，β代表θ與α之和，β∈[0,π),γ代表推桿與艙門夾角，r代表推桿與門的支撐點(diǎn)B到O1點(diǎn)距離，a代表初始狀態(tài)下推桿支撐點(diǎn)B點(diǎn)到艙門回轉(zhuǎn)中心O1的距離，d表示B點(diǎn)處的合力向回轉(zhuǎn)中心O1所作的合力臂，b代表艙門長度，X代表彈簧原長，x代表彈簧形變量，G代表艙門自重，h代表O1到O1的垂直距離，e代表O1到O1的水平距離。l代表電動(dòng)推桿長度，l?代表電動(dòng)推桿伸出速度，l?代表電動(dòng)推桿伸出加速度。θ?代表艙門角速度，θ?代表艙門轉(zhuǎn)動(dòng)角加速度，θ*代表構(gòu)態(tài)變化臨界角，d1代表驅(qū)動(dòng)力力臂，d2代表艙門重力力臂，d1min代表驅(qū)動(dòng)力最小力臂，d1max代表驅(qū)動(dòng)力最大力臂，d2代表重力力臂，d代表B點(diǎn)處合力力臂，M( )FB表示B點(diǎn)所受合力矩，F(xiàn)代表推桿驅(qū)動(dòng)力，F(xiàn)B表示推桿支撐艙門B點(diǎn)所受的合力，F(xiàn)*代表臨界處的推力，F(xiàn)1代表驅(qū)動(dòng)力力臂為最小力臂時(shí)彈簧所受壓力。F2代表驅(qū)動(dòng)力力臂為最大力臂時(shí)彈簧所受壓力，機(jī)構(gòu)原理簡圖如圖3 所示。

表1 機(jī)構(gòu)完整運(yùn)行周期構(gòu)態(tài)變化

圖3 機(jī)構(gòu)原理簡圖

本變胞機(jī)構(gòu)桿長l與機(jī)構(gòu)各參數(shù)之間的關(guān)系可表示為：

基于鏈?zhǔn)椒▌t[15]，由(5)中的變量l與θ的1階、2 階導(dǎo)數(shù)方程，可得機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程組

由于電動(dòng)推桿勻速伸出，l?為定值，則l?= 0，由(6)式得到

同樣由(6)式得到

將(7)代入(8)式得

(9)式中，基于分子變量cosβ 的方程

( 10 )式中方程f( cosβ)的函數(shù)拋物線開口朝上，其根為

機(jī)構(gòu)處于構(gòu)態(tài)1 時(shí)a=r，本例中a＜L,cosβ∈[-1,1]，(11)式中方程的根cosβ2無意義。因此cosβ1=a/L為方程f( cosβ)的根。f( cosβ)函數(shù)開口朝上，且根cosβ1大于零，函數(shù)為凹函數(shù)，f( cosβ)函數(shù)曲線先經(jīng)過四象限后經(jīng)過一象限，當(dāng)β∈[0,π/2]時(shí)，(9)式中的分母大于零，θ?的正負(fù)性取決于分子，因此

艙門上各點(diǎn)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)相同，角加速度相等，將運(yùn)動(dòng)狀態(tài)分析向推桿支撐艙門的B點(diǎn)簡化，由剛體轉(zhuǎn)動(dòng)定理，B點(diǎn)處的合力矩可表示為

B點(diǎn)所受合力矩M(FB)的正負(fù)性取決于θ?的正負(fù)，而B點(diǎn)處的合力對回轉(zhuǎn)中心O1所作的合力臂

因此B點(diǎn)處的合力可表示為

根據(jù)軸力正負(fù)性原則，F(xiàn)B＜0 時(shí)，B點(diǎn)所受合力對其定軸O1點(diǎn)施加壓力，此時(shí)彈簧無形變。FB＞0 時(shí)，B點(diǎn)所受合力對其定軸O1點(diǎn)施加拉力，此時(shí)彈簧開始受壓?；谝陨戏治鰴C(jī)構(gòu)構(gòu)態(tài)變化可以大致用圖4 表示。

圖4 機(jī)構(gòu)構(gòu)態(tài)變化與艙門角加速度的關(guān)系

表2 基于運(yùn)動(dòng)學(xué)模型的機(jī)構(gòu)構(gòu)態(tài)變化

以上基于運(yùn)動(dòng)學(xué)模型分析了的機(jī)構(gòu)構(gòu)態(tài)變化，以下分析實(shí)現(xiàn)舉升功能的舉升力與構(gòu)件參數(shù)。

2.2 舉升力與構(gòu)件參數(shù)分析

若機(jī)構(gòu)并不是變胞機(jī)構(gòu)，機(jī)構(gòu)是傳統(tǒng)機(jī)艙門機(jī)構(gòu)，機(jī)構(gòu)內(nèi)沒有彈簧構(gòu)件，驅(qū)動(dòng)力F應(yīng)當(dāng)隨艙門重力力矩增大而增大，傳統(tǒng)舉升艙式門受力簡圖如圖5 所示。

圖5 傳統(tǒng)舉升艙門機(jī)構(gòu)受力簡圖

由力矩平衡法

推桿的驅(qū)動(dòng)臂是

重力臂為艙門中心線到O1的水平距離，可表示為

與推桿之間的角度為

所以推桿所需的推力是

得益于機(jī)構(gòu)可變胞的優(yōu)勢，以構(gòu)態(tài)1 向構(gòu)態(tài)2變化臨界角處的驅(qū)動(dòng)力F，通過壓縮彈簧形變量x增大驅(qū)動(dòng)力力臂d1，使驅(qū)動(dòng)力力矩與艙門重力力矩達(dá)到平衡，這樣機(jī)構(gòu)可實(shí)現(xiàn)由臨界狀態(tài)向構(gòu)態(tài)3 的變化，受力簡圖如圖6 所示。

圖6 最小驅(qū)動(dòng)力臂時(shí)機(jī)構(gòu)受力簡圖

根據(jù)力矩平衡法

艙門轉(zhuǎn)動(dòng)過程中重力臂始終位于艙門向地面所做投影線的中點(diǎn)對O1所做的垂線長度，重力力臂隨轉(zhuǎn)角增大而增大，重力臂可表示為：

如圖6 所示，根據(jù)相似三角形原理，驅(qū)動(dòng)力力臂d1與r的比值等于O2向艙門做垂直線長度與桿長的比值，因此推桿驅(qū)動(dòng)力臂變化可表示為

艙門轉(zhuǎn)動(dòng)到臨界角θ*處，r=a，重力臂與驅(qū)動(dòng)力臂均可由已知參數(shù)求得，因此機(jī)構(gòu)由構(gòu)態(tài)1 向構(gòu)態(tài)2 變換臨界點(diǎn)處的驅(qū)動(dòng)力可表示為

以臨界角處驅(qū)動(dòng)力驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)到構(gòu)態(tài)3，驅(qū)動(dòng)力F的力臂至少為

驅(qū)動(dòng)力最小力臂與機(jī)構(gòu)各構(gòu)件參數(shù)關(guān)系為

由式(27)、(28)可得驅(qū)動(dòng)力為最小力臂時(shí)，彈簧最小形變量xmin，艙門被舉升后受阻，驅(qū)動(dòng)力力臂可以大于d1min，當(dāng)彈簧構(gòu)件選取空氣彈簧時(shí)，彈簧最大壓縮比可為1，即彈簧壓縮量為彈簧原長時(shí)，驅(qū)動(dòng)力力臂可達(dá)到最大值，如圖7 所示。

圖7 最大驅(qū)動(dòng)力臂時(shí)機(jī)構(gòu)受力簡圖

驅(qū)動(dòng)最大力臂可表示為

由上述分析，推力F的力臂d1的取值范圍取值范圍為

當(dāng)驅(qū)動(dòng)力臂是d1min時(shí)，推桿與艙門所呈夾角為

此時(shí)彈簧所受壓力為

當(dāng)驅(qū)動(dòng)力臂是d1max時(shí)，推桿與艙門所成夾角為

此時(shí)彈簧所受壓力為所受壓力為

由胡克定律

彈簧剛度K的取值范圍為

3 實(shí)例分析與Adams仿真

3.1 實(shí)例數(shù)值求解

基于實(shí)際案例，艙門各參數(shù)尺寸分別是X=0.75 m、L=1.06 m、e=0.71 m，h=0.86 m，a=0.15 m、b=1.0 8m、α=40°，G=1000 N。

由(18)、(19)、(20)、(21)、(22)式得到傳統(tǒng)舉升艙門所需舉升力

F= 5 091.1688 N ≈5 091 N

由(17)式得到構(gòu)態(tài)變化鄰界角為

θ*≈41.87°≈42°

由(26)式得構(gòu)態(tài)變化鄰界角時(shí)推桿驅(qū)動(dòng)力

F*= 2 360.699 N ≈2 361 N

以同等大小推力驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)到構(gòu)態(tài)3，由(27)式最小力臂為

d1min= 0.16657 m ≈0.167 m

由(27)、(28)式，得彈簧最小形變量為

xmin= 0.1157 m ≈0.116 m

當(dāng)驅(qū)動(dòng)力為最小力臂時(shí)，由(31)式推桿與門的夾角為

由(32)式，彈簧所受壓力為

F1=2361N×cos39°=1834.8416N ≈1835N

此時(shí)彈簧剛度為

由(29)式得到最大驅(qū)動(dòng)力臂

dmax= 0.39568 m ≈0.396 m

由(33)式，推桿與門的夾角為

由(34)彈簧所受壓力為

F2=2360N×cos 26°=2 121.1539 N ≈2 121 N

此時(shí)彈簧剛度為

彈簧剛度K的取值范圍為

[2 828 N/m,15 097 N/m]

3.2 ADAMS動(dòng)力學(xué)仿真

Adams 是目前最適合對變胞機(jī)構(gòu)進(jìn)行運(yùn)動(dòng)分析的軟件[16]。由上述實(shí)例數(shù)值分別建立優(yōu)化前的機(jī)構(gòu)與優(yōu)化后的機(jī)構(gòu)Adams 仿真模型。由于Adams 空間建模能力有限，借助UG 精確的空間建模能力，將機(jī)構(gòu)模型上下方向按照Z軸方向建好，轉(zhuǎn)換成Parasolid(x_t)格式，再導(dǎo)入到Adams 中。由于這種艙門是克服自重實(shí)現(xiàn)開合，為模擬現(xiàn)實(shí)中的環(huán)境，在Adams 中指定好各個(gè)活動(dòng)部件質(zhì)量，定義重力G的方向?yàn)閆軸負(fù)方向，機(jī)構(gòu)仿真模型圖如圖8 所示。

圖8 艙門等軸側(cè)視圖

根據(jù)活動(dòng)門零部件自鎖上的運(yùn)動(dòng)情況添加合理的約束關(guān)系，約束關(guān)系見表3。

表3 變胞倉門各構(gòu)件之間約束關(guān)系

添加約束后，根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)分析所得結(jié)果設(shè)置推桿驅(qū)動(dòng)力以及彈簧剛度，驅(qū)動(dòng)力設(shè)置為臨界角處驅(qū)動(dòng)力，彈簧剛度選取最大值15 097 N/m 時(shí)，仿真結(jié)果如圖9-圖11。

圖9 彈簧形變量

圖10 彈簧受力變化

圖11 艙門角加速度變化

同樣當(dāng)以臨界角處推力驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)到構(gòu)態(tài)3，彈簧剛度取最小值2 828 N/m 時(shí)，仿真結(jié)果如圖12-圖14。

圖12 彈簧形變

圖13 彈簧受力變化

圖14 艙門角加速度變化

傳統(tǒng)艙門機(jī)構(gòu)仿真模型與約束條件與變胞舉升式艙門機(jī)構(gòu)完全相同，機(jī)構(gòu)內(nèi)不添加彈簧構(gòu)件，仿真結(jié)果如圖15。

圖15 傳統(tǒng)艙門推桿舉升力變化

從圖9、10、12、13 可以看出彈簧所受最大壓力和彈簧形變量與數(shù)值計(jì)算結(jié)果完全吻合。單從彈簧受力圖與形變圖只能看出機(jī)構(gòu)運(yùn)行過程中具有兩種構(gòu)態(tài)，第一構(gòu)態(tài)為彈簧未受壓力，無形變，第二構(gòu)態(tài)為彈簧受壓形變。分別結(jié)合圖9、10 和圖12、13 可以看出，當(dāng)彈簧受到最大壓力后，即艙門受阻后，彈簧仍然有形變量，說明機(jī)構(gòu)運(yùn)行過程中還具有第3 種構(gòu)態(tài)，驗(yàn)證了機(jī)構(gòu)運(yùn)行機(jī)理分析的正確性。由圖11、圖14 可以看出，艙門角加速度經(jīng)歷由負(fù)轉(zhuǎn)變?yōu)檎俳禐榱愕倪^程，與運(yùn)動(dòng)學(xué)分析結(jié)果一致。由圖15 看出，傳統(tǒng)舉升艙門所需舉升力為5 091 N，約為變胞舉升艙門機(jī)構(gòu)的2 倍。綜合以上分析說明借助于變胞機(jī)構(gòu)的優(yōu)越性，以臨界角處推力繼續(xù)驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)運(yùn)轉(zhuǎn)是切實(shí)可行的，大大減小了舉升力。

4 結(jié)語

本文對分析了一種基于變胞機(jī)構(gòu)原理的舉升式艙門機(jī)構(gòu)，相比于傳統(tǒng)舉升艙門機(jī)構(gòu)，在安裝空間限定的情況下，可以以較小的推力舉升機(jī)構(gòu)，推力減小即可以使得電機(jī)的耗電量減小，又可使驅(qū)動(dòng)組件的重量減輕，運(yùn)輸過程耗能會減少。目前較為常見的電動(dòng)開窗器大批量安裝時(shí)，均運(yùn)用本文所運(yùn)用的變胞設(shè)計(jì)方法，能大大減小電能的消耗，應(yīng)用前景十分廣泛。運(yùn)用本文的分析方法，也確定了驅(qū)動(dòng)該變胞機(jī)構(gòu)構(gòu)態(tài)變化所需舉升力與構(gòu)件參數(shù)。為該種機(jī)構(gòu)應(yīng)用推廣提供了理論分析依據(jù)。