趙 昕，蔡錦倫，秦 朗

（1. 同濟大學(xué)土木工程學(xué)院，上海200092；2. 同濟大學(xué)建筑設(shè)計研究院（集團）有限公司，上海200092）

超高層結(jié)構(gòu)優(yōu)化是一個復(fù)雜的過程，以往結(jié)構(gòu)優(yōu)化主要依賴于工程師的概念和經(jīng)驗，具有一定的盲目性，費時費力。近年來，隨著敏感性分析方法的不斷發(fā)展，設(shè)計約束對材料成本的敏感性大小可定量計算，使結(jié)構(gòu)優(yōu)化邏輯更加明確。

Arora 等［1］總結(jié)了計算敏感性的三種方法，即虛功方法、伴隨變量方法和直接法。Adelman等［2］針對離散結(jié)構(gòu)，分析了對多個約束條件下的敏感性。但上述論文提到的方法均需對結(jié)構(gòu)的剛度矩陣求導(dǎo)，對于剛度矩陣維數(shù)較多的超高層結(jié)構(gòu)難以推廣。Velivasakis 等［3］首次采用虛功原理建立結(jié)構(gòu)整體剛度與構(gòu)件的關(guān)系。Charney［4］認為當(dāng)所有構(gòu)件的敏感性系數(shù)一致時，結(jié)構(gòu)達到理論上的最優(yōu)設(shè)計，但實際工程受多因素的限制，無法達到理論最優(yōu)設(shè)計。Sherbourne等［5］基于最優(yōu)準則法的數(shù)值優(yōu)化方法，在層間位移角和構(gòu)件承載力約束條件下優(yōu)化了結(jié)構(gòu)重量。Park 等［6］研究了地震作用下結(jié)構(gòu)頂點位移、層間位移角和構(gòu)件應(yīng)力約束條件下多層建筑結(jié)構(gòu)重量的優(yōu)化。Hyun等［7］研究了運用振型分解反應(yīng)譜法計算地震響應(yīng)時支撐框架結(jié)構(gòu)的算法優(yōu)化。

約束敏感性在國內(nèi)也不乏應(yīng)用。Yu 等［8］、董耀旻［9］、江祥［10］分別以風(fēng)荷載下層間位移角、風(fēng)荷載下層間位移角和一階周期、風(fēng)荷載下頂點加速度為約束條件推導(dǎo)敏感性計算公式，以實際工程為案例優(yōu)化了結(jié)構(gòu)造價。趙昕等［11］以地震作用下層間位移角和一階周期為約束，對構(gòu)件材料成本的敏感性系數(shù)計算公式做了推導(dǎo)，提出了雙約束條件下結(jié)構(gòu)優(yōu)化組合排序法。但以上論文都未涉及整體穩(wěn)定性（包括剛重比）這一超高層結(jié)構(gòu)的重要指標。

結(jié)構(gòu)整體穩(wěn)定是超高建筑結(jié)構(gòu)設(shè)計的基本要求。結(jié)構(gòu)水平變形引起的重力附加效應(yīng)稱為重力P-Δ效應(yīng)［12］。研究表明，P-Δ效應(yīng)可能使結(jié)構(gòu)位移和構(gòu)件受力增大25%～30%［13］。美國建筑荷載規(guī)范［14］和歐洲規(guī)范［15］都規(guī)定了穩(wěn)定系數(shù)θ的限值以確保結(jié)構(gòu)穩(wěn)定，中國規(guī)范采用側(cè)向剛度與重力荷載的比值，即剛重比作為整體穩(wěn)定的控制指標［16］。

劉南鄉(xiāng)［17］根據(jù)實際體型和荷載分布，采用修正算法推算了超高層結(jié)構(gòu)剛重比公式。陸天天等［18］采用上述公式研究了上海中心大廈結(jié)構(gòu)整體穩(wěn)定性。楊學(xué)林等［19］針對復(fù)雜體型高層建筑，引入樓層豎向荷載分布系數(shù)，對規(guī)范指標進行了修正。武云鵬等［20］推導(dǎo)了可用于一般水平荷載的剛重比計算公式，并進行了計算機軟件數(shù)值試驗。安東亞［21］推導(dǎo)了適用于塔式剛性連體高層結(jié)構(gòu)的剛重比限值，并指出采用規(guī)范方法將偏于保守。李少成等［22］探討了剛重比與重力二階效應(yīng)增幅和臨界屈曲荷載因子的關(guān)系。

本文依據(jù)虛功原理和等增量分析方法，分別推導(dǎo)剛重比約束下敏感性系數(shù)公式，并分別以兩層平面框架和某超高層建筑為例計算敏感性系數(shù)，從理論和工程實踐上說明了本文優(yōu)化設(shè)計方法的可行性。

1 敏感性分析方法

1.1 敏感性系數(shù)

約束條件關(guān)于設(shè)計變量的敏感程度可用敏感性系數(shù)表示。敏感性系數(shù)是在其他設(shè)計變量不變的情況下，某設(shè)計變量發(fā)生變化給某約束條件帶來變動的程度。敏感性系數(shù)定義如下：

式中：si，k為第i個約束條件關(guān)于設(shè)計變量k的敏感性系數(shù)；Δgi為第i個約束條件的變化量；Δvk為第k個設(shè)計變量的變化量。

1.2 虛功敏感性系數(shù)分析方法

通過虛功原理可以建立設(shè)計變量與約束條件之間的顯式關(guān)系。變形體處于平衡時，結(jié)構(gòu)受到的外力發(fā)生虛變化，位移所作虛功之和等于變形體所接受的虛變形功。變形體虛功方程如下：

式中：δWe為外虛功之和；δWi為整個變形體所接受的虛變形功。

式中：δF為虛外力；Δ為位移。

變形體接受的虛變形功δWi與設(shè)計變量相關(guān)，δWi可寫成所有構(gòu)件虛變形功之和，如下式所示：

式中：k為構(gòu)件編號；P為構(gòu)件的總數(shù)；ek為第k個構(gòu)件的虛變形功。

由式（2）、（4）可得

將外虛功之和δWe看成關(guān)于約束條件的函數(shù)，則約束條件和設(shè)計變量之間的顯式關(guān)系得到建立。

線單元與殼單元內(nèi)力如圖1所示。

圖1 內(nèi)力示意圖Fig.1 Internal force diagram

線單元ek的計算公式如式（6）所示，殼單元ek的計算公式如式（7）所示。

式中：E為單元材料的彈性模量；G為單元材料的剪切模量；L為第k個線單元的長度；FX、FY、FZ、MX、MY、MZ為真實荷載作用下單元的內(nèi)力；fX、fY、fZ、mX、mY、mZ為虛擬荷載作用下單元的內(nèi)力；A為線單元的橫截面積；AY和AZ為線單元的剪切面積；IX、IY和IZ為慣性力作用下線單元的扭轉(zhuǎn)和彎曲慣性矩。

式中：h為第k個殼單元的長度；d為第k個殼單元的高度；F11、F22、F12、V13、V23、M11、M22和M12為真實荷載作用下單元的內(nèi)力；f11、f22、f12、v13、v23、m11、m22和m12為虛擬荷載作用下單元的內(nèi)力；B為殼單元的厚度；ν為單元材料的泊松比。

1.3 等增量敏感性分析方法

等增量敏感性分析方法采用通用結(jié)構(gòu)分析軟件，依次等增量增加各構(gòu)件組的材料體積或材料成本，計算設(shè)計約束的變化量，之后帶入式（1）可計算出敏感性系數(shù)。

2 剛重比敏感性分析原理

2.1 剛重比的計算

剛重比是影響重力P-Δ效應(yīng)的重要參數(shù)，通過控制結(jié)構(gòu)剛重比來保證結(jié)構(gòu)的整體穩(wěn)定性。將超高層建筑結(jié)構(gòu)等效為勻質(zhì)懸臂桿后，E為懸臂桿的彈性模量，Jd為等效慣性矩，故結(jié)構(gòu)彈性等效側(cè)向剛度為EJd。超高層混凝土、鋼結(jié)構(gòu)的整體穩(wěn)定性應(yīng)分別滿足公式（8）、（9）。

式（8）、（9）中：EJd為結(jié)構(gòu)一個主軸方向的彈性等效側(cè)向剛度；H為房屋高度；M為樓層總數(shù)；Gi為第i層重力荷載設(shè)計值，取1.2倍的永久荷載標準值與1.4倍的樓面可變荷載標準值的組合值。

可近似按倒三角形分布荷載作用下結(jié)構(gòu)頂點位移相等的原則，將結(jié)構(gòu)的側(cè)向剛度折算為豎向懸臂受彎構(gòu)件的等效側(cè)向剛度。EJd可按式（10）計算。

式中：q為倒三角形分布荷載的最大值；u為倒三角形分布荷載作用下結(jié)構(gòu)頂點質(zhì)心的彈性水平位移。

定義剛重比λ為

劉南鄉(xiāng)［17］考慮了高層建筑體型和荷載分布的不均勻，建議修正剛重比，修正系數(shù)為

式中：GM為豎向質(zhì)量分布修正的重力荷載設(shè)計值，可表示為

式中：Hi為第i層樓板距離地面的高度。

故修正后的剛重比λ′為

由式（14）可以看出，在結(jié)構(gòu)總高度和樓層總高度不變的情況下，結(jié)構(gòu)的剛重比與兩個量有關(guān)：倒三角荷載下頂點位移u、豎向質(zhì)量分布修正的重力荷載設(shè)計值GM。應(yīng)該注意的是，當(dāng)結(jié)構(gòu)剛度一定時，q/u一定，故倒三角形分布荷載的大小q并不影響剛重比的大小。

2.2 頂點位移項與構(gòu)件成本的關(guān)系

由式（5）可得

式中：FM為施加在M層（結(jié)構(gòu)頂層）質(zhì)心的虛擬單位力；eku為第k個構(gòu)件對應(yīng)u的虛變形功。真實工況、虛擬工況如圖2所示。

圖2 真實工況、虛擬工況示意圖Fig.2 Schematic diagram of real working condition and virtual working condition

對于線單元，在構(gòu)件長度一定的情況下，若構(gòu)件截面尺寸在優(yōu)化設(shè)計過程中保持一定比例，則AY、AZ、IX、IY、IZ與截面面積A的關(guān)系就能建立起來，也就能建立起與構(gòu)件成本c的關(guān)系。

式（16）～（19）中：B為單元橫截面的寬；H為單元橫截面的高；C為單位體積的成本；L為單位的長度；α為常數(shù)，其值為H/B。

將式（16）～（19）代入式（6），可得

式中：Cu1、Cu2為倒三角荷載下的構(gòu)件內(nèi)力、頂層質(zhì)心受到虛擬單位力時與構(gòu)件內(nèi)力、材料特性、截面尺寸比例、構(gòu)件長度、材料單位體積成本相關(guān)的常數(shù)。

式（20）對構(gòu)件成本c求偏導(dǎo)，則有

對于殼單元，在構(gòu)件高度、長度一定的情況下，構(gòu)件成本c的改變正比于構(gòu)件厚度B的改變量。由式（7）可得

式中：Cu3、Cu4為倒三角荷載下的構(gòu)件內(nèi)力、頂層質(zhì)心受到虛擬單位力時與構(gòu)件內(nèi)力、材料特性、構(gòu)件高度、構(gòu)件長度、材料單位體積成本相關(guān)的常數(shù)。式（22）對構(gòu)件成本c求偏導(dǎo)，則有

在優(yōu)化設(shè)計中，只需求得Cu1、Cu2、Cu3、Cu4，就可得到頂點位移關(guān)于構(gòu)件成本的敏感性。

2.3 質(zhì)量與構(gòu)件成本的關(guān)系

質(zhì)量矩陣M與構(gòu)件成本的關(guān)系，可轉(zhuǎn)換為各層質(zhì)量Mi與構(gòu)件成本的關(guān)系。在優(yōu)化過程中，構(gòu)件尺寸發(fā)生變化，僅影響相鄰樓層質(zhì)量。設(shè)構(gòu)件k所在樓層為K層。

根據(jù)圖3，對于水平構(gòu)件有

圖3 計算模型Fig.3 Calculation model

式中：MKH、MLH為別為K層、L層水平構(gòu)件質(zhì)量為水平構(gòu)件k的質(zhì)量密度為水平構(gòu)件k單位體積的成本；cH為水平構(gòu)件k的成本。

根據(jù)圖3，對于豎向構(gòu)件有

式中：MKV、MK-1，V、MLV分別為K層、K-1層、L層豎向構(gòu)件的質(zhì)量；為豎向構(gòu)件k的質(zhì)量密度；為豎向構(gòu)件k單位體積的成本；cV為豎向構(gòu)件k的成本。

在優(yōu)化設(shè)計中，只需知道構(gòu)件位置、材料密度、材料單位成本，就可得到各質(zhì)點質(zhì)量關(guān)于構(gòu)件成本的敏感性。

2.4 重量修正項與構(gòu)件成本的關(guān)系

在結(jié)構(gòu)總高度和樓層總高度不變的情況下，豎向質(zhì)量分布修正的重力荷載設(shè)計值GM僅與第i層重力荷載設(shè)計值Gi相關(guān)。當(dāng)構(gòu)件成本發(fā)生變化時，樓層永久荷載改變，則有

2.3節(jié)推導(dǎo)了i層的質(zhì)量Mi與構(gòu)件成本的關(guān)系。當(dāng)水平構(gòu)件k所在樓層為K層時，則有

在美術(shù)史發(fā)展樣式繁多并且觀念錯綜復(fù)雜的今天，選擇“具象表現(xiàn)繪畫”這樣一個限定性很強的概念，首先符合我們自身的文化傳統(tǒng)（現(xiàn)實主義傳統(tǒng)）和藝術(shù)理想（藝術(shù)最終對人的教育作用和藝術(shù)所體現(xiàn)對自我心靈的凈化功能），其次在于它具備審美上的客觀性和表達方式的個體性特點，再次，“具象表現(xiàn)性繪畫”的語言探索本身有助于創(chuàng)造精神的開發(fā)。藝術(shù)來源于生活，又高于生活。我認為我們美術(shù)教育應(yīng)建立在客觀現(xiàn)實和主觀表達的雙重基礎(chǔ)上，對于具體的教學(xué)來說就是具象與表現(xiàn)的折衷，具象與表現(xiàn)的統(tǒng)一。它們是互為前提，共同依存的。

對于豎向構(gòu)件有

在優(yōu)化設(shè)計中，只需知道構(gòu)件位置、材料密度、材料單位成本，就可得到重量修正項關(guān)于構(gòu)件成本的敏感性。

2.5 剛重比約束與構(gòu)件成本的關(guān)系

由式（14）可得

式（30）、（31）、（32）綜合考慮了構(gòu)件成本改變對倒三角荷載下頂點位移u、豎向質(zhì)量分布修正的重力荷載設(shè)計值GM的影響。

2.6 二層平面框架

圖4 為兩層平面框架的布置，層高4 m，跨度8 m。采用C30 混凝土，成本取為400 元·m-3。每層附加的恒載質(zhì)量設(shè)為20 t。C1 和C2 柱的初始截面尺寸為400 mm×400 mm，B1和B2梁的初始截面尺寸為500 mm×300 mm。修正后剛重比為4.99。

圖4 兩層平面框架（單位：mm）Fig.4 Two-story plane frame(unit:mm)

2.6.1 虛功敏感性系數(shù)分析

利用虛功敏感性系數(shù)分析方法得到的修正后剛重比關(guān)于構(gòu)件成本的敏感性系數(shù)見表1。

由表1可以看出，頂點位移影響項為正，表示構(gòu)件尺寸增大，頂點位移減小，剛重比數(shù)值增大；重量修正影響項為負，表示構(gòu)件尺寸增大，豎向質(zhì)量分布修正的重力荷載設(shè)計值GM增大，剛重比數(shù)值減小。頂點位移影響較大，重量修正影響較小。綜合考慮兩項之和的敏感性系數(shù)都為正值。

C1、B1的頂點位移影響項較大，C2、B2的頂點位移影響項較小。說明在此案例中，對于控制倒三角荷載下頂點位移，增大C1、B1的尺寸較為有效。C2、B2的重量修正影響項絕對值較大，C1、B1的重量修正影響項絕對值較小。說明增大C2、B2的尺寸，豎向質(zhì)量分布修正的重力荷載設(shè)計值GM增大較多。由式（14）可以得出，重量改變的樓層高度越高，GM改變量越大。故構(gòu)件所在樓層越高，重量修正影響項絕對值越大。綜合考慮，C1、B1最敏感，其次為C2、B2。

表1 虛功原理計算下的兩層平面框架敏感性系數(shù)Tab.1 Sensitivity coefficient of two-story plane frame calculated by virtual work principle

由表1可以看出，對于此案例，重量修正的影響很小，可忽略重量修正對結(jié)果的影響。但對于超高建筑結(jié)構(gòu)，一些構(gòu)件所在樓層數(shù)較高且構(gòu)件對剛度貢獻不大，對此類構(gòu)件，重量修正項可能起控制作用，故不可忽略重量修正影響項。

2.6.2 等增量敏感性分析與對比

為驗證虛功敏感性系數(shù)分析方法結(jié)果的正確性，用等增量敏感性分析方法也可求得敏感性系數(shù)，即依次增加C1、C2、B1和B2的截面尺寸，且構(gòu)件成本變化量相等。

當(dāng)構(gòu)件體積分別增大0.032 2 m3和0.340 0m3時，等增量敏感性分析計算出的敏感性系數(shù)見表2。由表2可以看出，增量為0.032 2 m3時，等增量敏感性分析的結(jié)果與敏感性系數(shù)方法的計算結(jié)果極為接近，相對誤差小于5%，可以驗證虛功敏感性系數(shù)分析的準確性。增量為0.340 0 m3時，等增量敏感性分析的結(jié)果與敏感性系數(shù)方法的計算結(jié)果相對誤差總體較增量為0.032 2 m3時大，相對誤差小于30%。

表2 等增量計算下的兩層平面框架敏感性系數(shù)Tab.2 Sensitivity coefficient of two-story plane frame calculated by equal increment

若3種結(jié)果都取敏感性系數(shù)最大值為100，其余構(gòu)件的敏感性系數(shù)按比例放大，則可比較3 種結(jié)果敏感性系數(shù)的相對值，如圖5所示。在優(yōu)化設(shè)計中，由敏感性系數(shù)相對值可以判斷優(yōu)化順序。等增量的取值會影響敏感性系數(shù)，但基本不會改變各構(gòu)件的敏感性系數(shù)相對值。

圖5 兩層平面框架敏感性系數(shù)相對值對比Fig.5 Comparison of relative value of sensitivity coefficient of two-story plane frame

3 單驅(qū)動約束結(jié)構(gòu)優(yōu)化策略

驅(qū)動約束是指基于約束敏感性優(yōu)化設(shè)計，考慮設(shè)計變量對其影響，將其作為設(shè)計變量求解過程中的約束條件而列入的設(shè)計約束。

3.1 結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計原理

結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計的數(shù)學(xué)模型包括三大要素：設(shè)計變量、約束條件和優(yōu)化目標。設(shè)計變量為構(gòu)件成本，構(gòu)件成本與構(gòu)件截面面積、構(gòu)件長度、材料成本相關(guān)。約束條件指優(yōu)化設(shè)計問題必需滿足的給定條件，通常和所需的結(jié)構(gòu)性能指標有關(guān)。本文中考慮的約束條件為剛重比，屬整體穩(wěn)定性約束。工程結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計的目標主要為結(jié)構(gòu)成本的最優(yōu)。結(jié)構(gòu)成本可分為建造成本和生命周期成本兩類，本文中優(yōu)化目標是建造成本。

3.2 單驅(qū)動約束優(yōu)化設(shè)計策略

單驅(qū)動約束優(yōu)化設(shè)計的流程見圖6。

圖6 單驅(qū)動約束優(yōu)化設(shè)計流程Fig.6 Flow chart of single-driven constraint optimization design

4 單驅(qū)動約束優(yōu)化設(shè)計工程案例

4.1 項目簡介

以某塔樓為分析對象，該塔樓共101層，總建筑高度468 m。結(jié)構(gòu)三維模型見圖7，采用核心筒-勁性鋼骨柱-外伸臂結(jié)構(gòu)體系。設(shè)置3道伸臂桁架，相鄰鋼骨柱之間布有外圍斜撐。該項目抗震設(shè)防烈度7度，設(shè)計基本地震加速度0.1g，設(shè)計地震分組為第三組，場地類別為Ⅱ類，場地特征周期Tg為0.45 s。

圖7 案例結(jié)構(gòu)體系Fig.7 Structural system of the case study

4.2 單驅(qū)動約束優(yōu)化設(shè)計

4.2.1 構(gòu)件成組

為減少優(yōu)化問題求解所需的時間，現(xiàn)將待優(yōu)化構(gòu)件成組，結(jié)果見表3。

表3 構(gòu)件組的位置與命名Tab.3 Location and naming of component groups

4.2.2 控制約束狀態(tài)分析

《高層建筑混凝土結(jié)構(gòu)技術(shù)規(guī)程》（JGJ 3―2010）規(guī)定結(jié)構(gòu)剛重比不應(yīng)小于1.4，初始模型按式（14）計算出的X向剛重比為1.48，Y向剛重比1.47，冗余度分別為5.71%和5.00%。故Y向剛重比為控制約束，處于約束過度狀態(tài)。

4.2.3 構(gòu)件敏感性分析

參考平面二層框架案例，采用虛功敏感性系數(shù)分析方法計算敏感性系數(shù)；同時，采用等增量敏感性分析方法，各構(gòu)件組分別增加200 萬元的造價計算剛重比約束關(guān)于各構(gòu)件組成本的敏感性。

圖8 比較了兩種方法的敏感性系數(shù)相對值，兩種方法的結(jié)果較為吻合。部分高區(qū)構(gòu)件敏感性為負，增大構(gòu)件尺寸則剛重比減?。恢袇^(qū)、低區(qū)構(gòu)件敏感性為正，增大構(gòu)件尺寸則剛重比增大。總體來說，成本敏感性由大到小排序為：剪力墻、勁性鋼骨柱、伸臂桁架、外圍斜撐。

4.2.4 優(yōu)化策略制定

依據(jù)敏感性系數(shù)相對值將構(gòu)件組分為4 類，如表4所示，對相對敏感性系數(shù)取絕對值，大于30的構(gòu)件定義為敏感構(gòu)件，其余為不敏感構(gòu)件。

第一個優(yōu)化步，應(yīng)先減小Na、Na的構(gòu)件尺寸，使剛重比增大，冗余度進一步增大；第二個優(yōu)化步，減小Pa的構(gòu)件尺寸，使剛重比減小，冗余度減??；第三個優(yōu)化步，檢查約束數(shù)值，若仍有冗余，再減小Pa的構(gòu)件尺寸，使剛重比減小，若約束不足，增大Pa的構(gòu)件尺寸。

4.2.5 構(gòu)件尺寸優(yōu)化

三個優(yōu)化步剛重比和成本改變見表5。

圖8 剛重比敏感性系數(shù)相對值比較Fig.8 Comparison of relative values of sensitivity coefficients of stiffness-weight ratio

表4 剛重比約束條件下構(gòu)件組分類Tab.4 Components group classification under stiffness-weight ratio constraint

表5 三優(yōu)化步剛重比和成本改變Tab.5 Change of stiffness-weight ratio and cost in three optimal steps

4.2.6 驗證其余約束

首先檢查整體約束：周期8.10 s，剪重比1.40%，滿足要求；最大層間位移角1/490（出現(xiàn)在Y向79層），不滿足要求。調(diào)整構(gòu)件尺寸后，一階周期7.97 s，最大層間位移角1/503（出現(xiàn)在Y向80 層），剛重比1.46，剪重比1.41%，都滿足要求。再檢查組件約束（外框承擔(dān)剪力比）和構(gòu)件約束，都滿足要求。最終構(gòu)件優(yōu)化結(jié)果見表6，共計優(yōu)化939.1萬元。

表6 剛重比約束下的優(yōu)化結(jié)果Tab.6 Optimization results under stiffness-weight ratio constraint

5 結(jié)論

基于剛重比敏感性的超高層結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計方法是一種有效的優(yōu)化設(shè)計方法，采用該方法可以有效降低剛重比約束下超高層建筑的經(jīng)濟成本。該優(yōu)化設(shè)計方法為基于敏感性的超高層結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計自動化的進一步發(fā)展提供了良好基礎(chǔ)。采用虛功敏感性系數(shù)分析方法，利用推導(dǎo)所得公式可編程計算敏感性系數(shù)，結(jié)果精確。等增量敏感性分析方法對于不同的約束條件，都可利用通用結(jié)構(gòu)分析軟件計算敏感性系數(shù)，且增量越小，精度越高。虛功敏感性系數(shù)分析方法對于不同的約束條件需重新推導(dǎo)公式；等增量敏感性分析方法試算模型多、計算量大，且結(jié)果精確程度受構(gòu)件分組的影響。工程應(yīng)用需考慮實際情況靈活選用不同方法。