劉曉宇，袁 彬，戴太陽,殷 毅

(重慶大學(xué) 輸配電裝備及系統(tǒng)安全與新技術(shù)國家重點實驗室，重慶 400045)

0 引 言

永磁電機由于具有噪聲低、運行效率高、使用壽命長等優(yōu)勢，逐漸成為電氣自動化設(shè)備體系的重要組成。隨著永磁電機在工業(yè)中作為如輪轂電機、風(fēng)機等受到廣泛應(yīng)用，高效、節(jié)能目前正成為永磁電機的重要發(fā)展方向。

永磁電機設(shè)計中,為了提高電機性能和可靠性，需要對結(jié)構(gòu)進行優(yōu)化。如分析槽口寬度、極槽配合、磁鋼參數(shù)對轉(zhuǎn)矩波動的影響[1]；分析極槽配合和磁鋼參數(shù)對于紋波轉(zhuǎn)矩和齒槽轉(zhuǎn)矩的影響[2]。有限元法是電機結(jié)構(gòu)優(yōu)化中廣泛使用的數(shù)值方法之一，采用網(wǎng)格離散的方式，可以準確模擬電機內(nèi)部的電磁場、溫度場等分布情況。應(yīng)用于電機結(jié)構(gòu)優(yōu)化時，有限元法通過分析包含多個對象的設(shè)計區(qū)域內(nèi)場的分布情況來求解優(yōu)化問題。這些對象的結(jié)構(gòu)可能是復(fù)雜的甚至具有時變特性[3]，在這種情況下，需要在優(yōu)化過程的每個時間步長重新生成有限元網(wǎng)格，這需要耗費大量的計算時間。解決這類問題的方法之一是開發(fā)一種新的網(wǎng)格結(jié)構(gòu)，使網(wǎng)格重構(gòu)更加方便或不需要對全部網(wǎng)格進行重構(gòu)。目前，更新網(wǎng)格的方法主要是通過利用幾何參數(shù)更新網(wǎng)格節(jié)點坐標。另一種方法是通過求解彈性方程[4]或者拉普拉斯方程[5]，獲得新的節(jié)點坐標來重構(gòu)部分區(qū)域的網(wǎng)格。然而，這種類型的部分網(wǎng)格節(jié)點重新映射方法仍然是相當耗時的，而且構(gòu)成的網(wǎng)格單元甚至可能產(chǎn)生折疊?；趶较蚧瘮?shù)插值的網(wǎng)格重構(gòu)法[6]和基于優(yōu)化的移動網(wǎng)格策略[7]等方法，其算法復(fù)雜，難以實際應(yīng)用于仿真分析。參數(shù)化網(wǎng)格技術(shù)[8]可以通過將節(jié)點的坐標表示為一組向量基下的展開系數(shù)，實現(xiàn)網(wǎng)格的快速二維變形。然而，這種方法適應(yīng)于較小的形變，對于幾何變形較大的情況會出現(xiàn)網(wǎng)格重疊。因此，為了能有效解決電機結(jié)構(gòu)優(yōu)化過程中有限元法網(wǎng)格重構(gòu)的復(fù)雜性，需要一種適用于各種范圍形變的網(wǎng)格重構(gòu)方法，降低有限元計算的工作量，提高計算效率。

本文提出一種基于雙層結(jié)構(gòu)的有限元網(wǎng)格，即形變對象處于上層網(wǎng)格，該對象周圍區(qū)域位于背景網(wǎng)格。在優(yōu)化部件存在較大尺寸變化的優(yōu)化過程中，采用這種自適應(yīng)雙層網(wǎng)格結(jié)構(gòu)，可以避免網(wǎng)格的變形，不需要重新計算所有網(wǎng)格節(jié)點坐標，從而減少網(wǎng)格重構(gòu)所需的計算量。為了進一步減小計算量，提高結(jié)構(gòu)優(yōu)化的效率，本文采用基于移動最小二乘法響應(yīng)面模型，模擬目標函數(shù)與不同輸入因素之間的關(guān)系。采用有限元仿真結(jié)果校驗調(diào)整響應(yīng)面模型參數(shù)，使響應(yīng)面模型充分考慮數(shù)學(xué)描述和物理原則之間的關(guān)系,使模型更接近實際結(jié)構(gòu),從而提高響應(yīng)面模型的精度[9]。

本文以一臺48槽22對極表貼式永磁同步電機(電機Ⅰ)和一臺18槽22對極徑向磁通調(diào)制電機(電機Ⅱ)為對象,通過有限元仿真軟件建立模型,以磁鋼厚度、鐵心軸向長度、定轉(zhuǎn)子內(nèi)外徑等為優(yōu)化參數(shù),對電機轉(zhuǎn)矩與溫升, 利用自適應(yīng)雙層網(wǎng)格有限元方法，建立樣本數(shù)據(jù)組,構(gòu)建并校驗基于移動最小二乘法的響應(yīng)面模型，將建立的響應(yīng)面模型應(yīng)用于電機結(jié)構(gòu)的多目標優(yōu)化問題，證明了所提出的方法能有效優(yōu)化電機的性能。

1 數(shù)值計算方法

1.1 自適應(yīng)雙層網(wǎng)格有限元方法

圖1 設(shè)計區(qū)域及邊界示意圖

-Δui=fi在Ωi里i=1,2

(1)

[un]=0 在Γ上

(2)

u=0 在Γ上

(3)

自適應(yīng)雙層網(wǎng)格的構(gòu)建方法如下：

(1) 如圖2(a)所示，在優(yōu)化部件及整個背景區(qū)域劃分初始網(wǎng)格。在優(yōu)化過程中，背景網(wǎng)格將保持不動，與此同時，上層網(wǎng)格與背景網(wǎng)格的相對關(guān)系將保持不變。

(2) 如圖2(b)所示，在背景網(wǎng)格上確定發(fā)生兩層網(wǎng)格交疊的單元。

(a) 初始網(wǎng)格劃分

(3) 獲得交疊單元的單元信息，如節(jié)點坐標、交點坐標、節(jié)點數(shù)、單元數(shù)、單元邊界條件等，這些信息將被儲存起來供后續(xù)調(diào)用。

(4) 根據(jù)交疊單元的信息，在背景網(wǎng)格重新構(gòu)建多邊形單元替代交疊單元。

根據(jù)交疊單元的信息，進行有限元單元計算及后處理，標量值函數(shù)u(x)的插值方案如下式:

(4)

(5)

(6)

式中：φi(x)為構(gòu)成插值矩陣的系數(shù)；ξi(x)為與角度和系數(shù)有關(guān)的變量；ri=ri(x)是個體p和pi之間的歐式距離,其中角度αi如圖3所示。整個網(wǎng)格系統(tǒng)分為三種類型的單元:背景網(wǎng)格單元、上層網(wǎng)格單元、交疊網(wǎng)格單元。不同區(qū)域的單元分析可以單獨計算。圖4為雙層網(wǎng)格交疊部位示意圖。

圖4 雙層網(wǎng)格交疊部位示意圖

圖3 多邊形單元的平均值坐標

1.2 響應(yīng)面模型

本文所采用的改進的響應(yīng)面模型是基于移動最小二乘法以及先驗信息。移動最小二乘法用于搜尋響應(yīng)面模型的有效系數(shù)，先驗信息用于構(gòu)建可靠的響應(yīng)面模型。最小二乘法函數(shù)L(x)定義為如下帶權(quán)重的誤差之和:

(7)

式中：y為n×1目標函數(shù)值向量；n為實驗次數(shù);X為n×p獨立變量水平矩陣；ωi是第i個響應(yīng)值權(quán)重;x是近似位置向量;W(x)為位置x處目標函數(shù)的權(quán)重矩陣。特別的，在移動最小二乘法中，W(x)是目標函數(shù)權(quán)重的對稱矩陣。為了得到最小化的L(x)，移動最小二乘估計方法如下式:

(8)

b(x)=[XTW(x)X]-1XTW(x)y

(9)

1.3 氣隙導(dǎo)熱系數(shù)和對流換熱系數(shù)

在電機的氣隙部位，對流傳熱是通過如下等效傳熱假設(shè)實現(xiàn)的:當靜止的空氣轉(zhuǎn)移的熱量等于向流動的空氣傳遞的熱量,轉(zhuǎn)子的旋轉(zhuǎn)可以看作一個穩(wěn)定的過程,在氣隙,空氣流動的傳熱能力由靜止的導(dǎo)熱系數(shù)表示。有效導(dǎo)熱系數(shù)的計算方法如式(10)～式(11)所示[4]。

轉(zhuǎn)子表面的對流換熱系數(shù):

(10)

式中：υ為轉(zhuǎn)子表面的旋轉(zhuǎn)速度。槽內(nèi)絕緣的等效導(dǎo)熱系數(shù):

(11)

式中：λi和δi分別為不同絕緣材料的平均導(dǎo)熱系數(shù)和等效厚度。

2 數(shù)值實驗

2.1 電機結(jié)構(gòu)及參數(shù)

本文采用的永磁體材料為N35SH，最大耐熱溫度為150 ℃, 剩磁為 1.14 T，矯頑力為860 kA/m。

圖5(a)為傳統(tǒng)的48槽22對極分數(shù)槽永磁同步電機(電機Ⅰ)，相關(guān)初始參數(shù)如表1所示。圖5(b)

表1 電機Ⅰ的主要結(jié)構(gòu)參數(shù)

(a) 永磁同步電機(電機Ⅰ)

為18槽22對極徑向磁通調(diào)制電機(電機Ⅱ)，電機Ⅱ具有一個氣隙，相關(guān)初始參數(shù)如表2所示。

表2 電機Ⅱ的主要結(jié)構(gòu)參數(shù)

2.2 響應(yīng)面模型

為了將所提出的方法應(yīng)用于電機結(jié)構(gòu)的優(yōu)化，本文設(shè)計并優(yōu)化了分數(shù)槽永磁同步電機和徑向磁通調(diào)制電機。優(yōu)化問題可以用下式：

(12)

式中：f(X)={f1，f2} 表示目標函數(shù)，f1為轉(zhuǎn)矩，f2為溫升；gi(X)為約束條件，m為約束條件數(shù)量；X={x1,x2,…,xn}為一系列結(jié)構(gòu)參數(shù)，n為參數(shù)數(shù)量。本文通過調(diào)節(jié)兩臺電機的繞組電流來控制溫升。采用基于移動最小二乘法的電流-溫升關(guān)系模型，該模型可以替代優(yōu)化過程中的有限元仿真，能夠較大地減少優(yōu)化問題的計算時間。電機多目標優(yōu)化的結(jié)果將用于驗證提出的優(yōu)化方法的可行性。式(13)將用于驗證結(jié)果的準確性。

(13)

式中：N為對比測試中隨機樣本點的數(shù)量。本文中，溫升的響應(yīng)面模型與有限元比較測試中，選取了15個隨機樣本點，轉(zhuǎn)矩的響應(yīng)面模型與有限元比較測試中選取了20個隨機樣本點。

以溫升為例，通過磁場分析得到電機各部件的損耗后利用熱分析計算出兩臺電機的溫升。對電機Ⅰ、電機Ⅱ采用自適應(yīng)雙層網(wǎng)格有限元方法模擬電磁場分布情況，獲得電機的溫升情況，通過調(diào)節(jié)繞組電流進行采樣，對樣本點采用基于移動最小二乘法的響應(yīng)面模型建立電流-溫升關(guān)系模型，得到的電機Ⅰ、電機Ⅱ溫度模型分別如下：

yⅠ=0.000 197 32x3-0.030 456x2+2.519 1x

(14)

yⅡ=0.000 052 001x3-0.004 603x2+0.888x

(15)

電機Ⅰ、電機Ⅱ溫升隨電流變化及輸出轉(zhuǎn)矩的響應(yīng)面模擬值與有限元對比如圖6、圖7所示。由此可見，本文采用的響應(yīng)面模型對溫升及轉(zhuǎn)矩的模擬較為準確，可以作為多目標優(yōu)化問題的目標函數(shù)，替代迭代尋優(yōu)中的有限元分析。

(a) 電機Ⅰ

圖7 轉(zhuǎn)矩的響應(yīng)面模型與有限元法比較

2.3 多目標優(yōu)化

采用本文提出的自適應(yīng)雙層網(wǎng)格有限元法，結(jié)合基于移動最小二乘法的響應(yīng)面模型，依據(jù)多目標遺傳算法對電機Ⅰ、電機Ⅱ進行結(jié)構(gòu)優(yōu)化。優(yōu)化后電機的磁通分布如圖8所示。兩種電機的最高溫升都在定子繞組內(nèi)。電機Ⅰ、電機Ⅱ的定子和繞組的溫度分布如圖9所示。仿真結(jié)果顯示，優(yōu)化后的電機結(jié)構(gòu)磁通分布合理，溫度處于永磁體耐熱范圍內(nèi)。

(a) 電機Ⅰ

(a) 電機Ⅰ

多目標優(yōu)化的最終計算結(jié)果以及有限元計算次數(shù)、計算時間等數(shù)據(jù)如表3與表4 所示。

表3 電機I的優(yōu)化結(jié)果比較

表4 電機II的優(yōu)化結(jié)果比較

結(jié)果顯示，采用本文的基于自適應(yīng)有限元法的多目標優(yōu)化方法，優(yōu)化結(jié)果與基于傳統(tǒng)有限元的多目標優(yōu)化相比較為準確，能夠在保證結(jié)果準確性的前提下，有效地減少優(yōu)化時間。

3 結(jié) 語

本文研究了一種優(yōu)化永磁電機性能的方法。提出了一種自適應(yīng)雙層網(wǎng)格有限元方法，通過分離設(shè)計區(qū)域，避免優(yōu)化迭代時的整體網(wǎng)格重構(gòu)。針對影響電機輸出轉(zhuǎn)矩及溫度的參數(shù)變量,即磁鋼厚度、電機軸向長度以及電機內(nèi)外徑等參數(shù)，建立基于移動最小二乘法的響應(yīng)面模型，與有限元模擬結(jié)果對比驗證該模型的可靠性。針對永磁同步電機和徑向磁通調(diào)制電機的多目標優(yōu)化問題，以轉(zhuǎn)矩與溫度作為目標函數(shù)，實施電機結(jié)構(gòu)優(yōu)化。通過與傳統(tǒng)有限元方法的比較，驗證了準確性與可行性，以及應(yīng)用該方法可以減少優(yōu)化過程的計算量。